Elemente der Analysis I

SS 2010 Dr. Ch. Bock

Elemente der Analysis I

Ubungsblatt 4¨

Aufgabe 1. Man beweise durch vollst¨andige Induktion:

∀n∈N : n³≤3ⁿ.

Anleitung: Nachdem man die Behauptung f¨ur n = 0,1,2 gepr¨uft hat, f¨uhre man einen In- duktionsanfang bei n= 3 und einen Induktionsschluß unter der Voraussetzung n≥3 durch.

Man mache sich klar, warum dadurch die Behauptung f¨ur alle n∈N bewiesen wird. — Das Vorgehen, den Induktionsanfang nicht bei n = 0 , sondern bei einer anderen ganzen Zahl durchzuf¨uhren, bezeichnet man alsVerschobenen Induktionsanfang.

Aufgabe 2. Zeige f¨ur allen∈N₊ X

k=1

n 1

k(k+ 3) = 1 3

11 6 − 1

n+ 1− 1

n+ 2− 1 n+ 3

.

Aufgabe 3. Sei q∈Rmit 0< q <1. Weiter sei (a_n)_n∈N eine Folge derart, daß gilt

∀n∈N₊|a_n+1−a_n| ≤q|a_n−a_n−1|. Zeige

(i) ∀n∈N|an+1−an| ≤qⁿ|a1−a0|, (ii) ∀n,m∈N₊

m≥n+ 1 =⇒ |a_m−a_n| ≤ _q−1^q |a_n+1−a_n| ,

(iii) (a_n)_n∈N ist eine Cauchy-Folge.

Aufgabe 4. Zeige

∞

X

k=1

1

k(k+ 1) = 1 und

∞

X

k=2

∞

X

l=2

1 k^l = 1.

bitte wenden

Aufgabe 5.

(i) Beweise oder widerlege die Konvergenz von

∞

X

k=1

2^k

3^k+ 4^k und

∞

X

k=1

4^k 3^k+ 4^k.

(ii) Zeige, daß die Reihe

∞

X

k=1

1

k(k+ 2) gegen 3

4 konvergiert.

Aufgabe 6. Untersuche die angegebenen Reihen sowohl auf Konvergenz als auch auf absolute Konvergenz:

(i)

∞

X

k=0

(−1)ⁿ k

k+ 1, (ii)

∞

X

k=0

k

2^k, (iii)

∞

X

k=1

(−1)^k

pk(k+ 1), (iv)

∞

X

k=1

1 pk²(k+ 1),

(v)

∞

X

k=0

cos(k+ 1)

k²+ 1 , (vi)

∞

X

k=0

k!

k^k, (vii)

∞

X

k=0

k!2^k

k^k , (viii)

∞

X

k=1

(−1)^k

√k ,

(ix)

∞

X

k=0

k^3/2 k⁴+ 4k²+ 1. Aufgabe 7.

(i) Es sei P∞

k=1a_k² eine konvergente Reihe. Zeige, daß dann P∞

k=1a_ka_k+1 und P∞ k=1 aⁿ

n

absolut konvergieren.

(ii) Gib eine Reihe P∞

k=0a_k an, so daßP∞ k=1 aⁿ

n absolut konvergiert undP∞

k=1a_k² nicht in R konvergiert.

Hinweis: Es darf verwendet werden, daßP∞ k=1

1

k^s genau dann konvergiert, wenn gilts >1.

Abgabe: Freitag, den 11.06.2010 in der Vorlesung 2