Elemente der Analysis II

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Kapitel 1: Vektoren

Informationen zur Vorlesung:

http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/

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Kapitel 1: Vektoren

Bemerkung

In der Vorlesung Elemente der Analysis I wurden Funktionen f :R→R untersucht (Stetigkeit, Ableitungen, Konvexit¨at,. . .). Mit solchen Funktionen kann man aber nursehr einfachePh¨anomene angemessen beschreiben, zum Beispiel

stetige Verzinsung:f(x) =K₀e^px (x Zeit)

Nachfrage f(x), die NUR vom Preis abh¨angt (xPreis) Produktions-Output beinur einemInput-Faktor (x= Menge des Inputs)

Fast alle physikalischen oder ökonomischen Vorgänge hängen aber von vielen Faktoren oder Variablen ab und für deren Beschreibung taugen solche Funktionen R→Rnicht!

J. Wengenroth () 8. Mai 2009 2 / 29

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(a) F¨ur die Produktion von Pfannkuchen ben¨otigt man als Zutaten Eier, Milch und Mehl. Zur Beschreibung der Produktion muss man also (mindestens kennen)

x= Anzahl Eier, y=l Milch undz=g Mehl

Beschreibt f den Vorgang des Verr¨uhrens und Backens, so erh¨alt man etwa f(3,1/4,80) = 3Pfannkuchen oderf(3,1/4,500) = 4

ungenießbarer Klumpen.

(b) Man muss die Zutaten einkaufen und hat dabei Kosten k(x, y, z) = 30x+ 80y+ 0.05z Eurocent.

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Kapitel 1: Vektoren 1.2 Beobachtungen

1.2 Beobachtungen

Das f in (a) l¨asst sich nicht leicht beschreiben und diese

”Modellbildung” ist nicht Teil der Analysis (siehe aber 1.11).

Die Zuordnung kin (b) ist viel einfacher.

Bei mehr als drei Faktoren k¨onnte man statt x, y, z auch α, β, γ, δ, ε, . . . zur Bezeichnung der St¨uckzahlen, Mengen und Gewichte benutzen, aber irgendwann gehen die Buchstaben aus.

Trick zur Vermeidung dieses Problems: Schreibex1, x2, x3 statt x, y, z oder x₁, x₂, . . . , x₁₁₇, falls es 117 Faktoren gibt.

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So wie Folgen (xn)n∈N aus 2.1.1 der Vorlesung EA I AbbildungenN→R sind, hat man auch hier eine Abbildung, die der Nummer k∈ {1, . . . ,177}

eines Faktors die zugeh¨orige St¨uckzahl oder Menge zuordnet.

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Kapitel 1: Vektoren 1.3 Definition

1.3 Definition

Ein (reeller) n-dimensionaler Vektor xist eine Abbildung {1, . . . , n} →R, die also jeder ”Koordinatennummer” k∈ {1, . . . , n} eine Zahlx_k ∈R zuordnet (die k-te Koordinate). Schreibweisen:

x= (x1, . . . , xn) = [x1, . . . , xn]Zeilenvektor undx=





 x₁

... xn





 Spaltenvektor.

Mit Rⁿ bezeichnen wir die Menge allern-dimensionalen Vektoren.

Auch wenn das aus der Definition folgt, lohnt es sich anzumerken, dass zwei Vektoren x= [x₁, . . . , x_n]∈Rⁿ undy = [y₁, . . . , y_m]∈R^m genau dann gleich sind, wenn n=mund x1=y1, x2 =y2, . . . , xn=yn.

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Veranschaulichung des R²:

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des R³

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des R⁴: Jeder Punkt desR³ bekommt eine Farbe (rot = warm, schwarz = kalt).

des R⁵: ”W¨armefilm” (x1, x2, x3 Raumkoordinatenx4: Temperatur, x₅: Zeit)

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Kr2afte und Pfeile

Eine etwas andere Veranschaulichung: Fasse einen Vektorx= [x₁, . . . , x_n] als Kraft aus, die am Ursprung O = [0, . . . ,0]zieht. Bei dieser Vorstellung ist es günstig, den ”Punkt” x als ”Pfeil” aufzufassen ( mit einer Richtung und einer Länge, siehe unten). Hat man nun zwei Kräfte xund y, die am Ursprung ziehen, so ist er einer Gesamtkraft z ausgesetzt:

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Die Komponenten vonz ergeben sich durch Addition der Komponenten von x und y.

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Kapitel 1: Vektoren 1.4 Definition (Rⁿalso Vektorraum)

1.4 Definition ( R

ⁿ

also Vektorraum)

(a) F¨ur x= [x1, . . . , xn]und y= [y1, . . . , yn]definieren wir die Summe x+y = [x₁+y₁, . . . , x_n+y_n].

(b) F¨ur x= [x₁, . . . , x_n]und a∈Rist das a-fache von xdefiniert als ax= [ax₁, ax₂, . . . , ax_n]

(a≥1 Streckung,0≤a <1 Stauchung,a <0 Spiegelung)

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F¨urx, y, z ∈Rⁿ und a, b∈Rgelten (a) x+y =y+x Kommutativit¨at

(b) (x+y) +z=x+ (y+z)Assoziativit¨at (c) x+y = O⇐⇒x= (−1)y

(d) (a+b)x=ax+bxund a(x+y) =ax+ay Distributivit¨at (e) a(bx) = (ab)x

(f) 1x=x

Bemerkung: Die sechs Aussagen sind die Axiome eines allgemeinen (reellen) Vektorraums. Statt(−1)y schreibt man −y und stattx+ (−y) auch x−y. Wie in EA I schreibt man

m

P

j=1

x^j =x¹+. . .+x^m f¨ur Vektoren x¹, . . . , x^m∈Rⁿ.

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Kapitel 1: Vektoren 1.6 Basen inRⁿ

(a) Für k∈ {1, . . . , n} heißt der Vektore^k= [0, . . . ,0,1,0. . .0], dessen k-te Komponente 1und alle übrigen0sind, der k-te Einheitsvektor in Rⁿ. Für jedesx= [x1, . . . , xn]gilt dann

x=

n

X

k=1

x_ke^k.

Jedes x∈Rⁿ ist also auf eindeutige Weise alsLinearkombination der Einheitsvektoren darstellbar. Die Menge {e¹, . . . , eⁿ} heißt deshalb Standardbasis des Rⁿ. Jede Kraft ist ” ¨Uberlagerung der

Einheitskr¨afte”.

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(b) Allgemeiner heißt{z¹, . . . , zⁿ}eine Basis desRⁿ, wenn jedesx∈Rⁿ auf eindeutige Weise als Linearkombinationx=a1z¹+. . .+anzⁿ darstellbar ist (siehe Vorlesung Elemente der Linearen Algebra).

(c) Beispiel: z¹ = [1,1]und z²= [2,1] bilden eine Basis desR²: Sind n¨amlichx= [x₁, x₂]∈R² und a₁, a₂∈R, so gilt

x=a₁z¹+a₂z²⇐⇒[x₁, x₂] = [a₁, a₁] + [2a₂, a₂] = [a₁+ 2a₂, q₁+a₂]⇐⇒

x₁=a₁+ 2a₂ x₂=a₁+a₂

⇐⇒

a₂=x₁−x₂ a₁= 2x₂−x₁

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Kapitel 1: Vektoren 1.7 Beispiel

1.7 Beispiel

Die Komponenten vony = [y₁, . . . , y_n]seien die Preise von G¨utern g₁, . . . , g_n und die Komponenten von x= [x₁, . . . , x_n]seien die St¨uckzahlen des Ein- oder Verkaufs. Dann ist

n

P

k=1

x_ky_k =x₁y₁+. . .+x_ny_n die Bilanz (die also ausgeglichen ist, falls die Summe Null ergibt).

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(a) F¨ur x, y∈Rⁿ heißt hx, yi=x₁y₁+x₂y₂+. . .+x_ny_nSkalarprodukt von x, y. Die Vektoren x, yheißen orthogonal oder senkrecht

zueinander, fallshx, yi= 0. Schreibweise x⊥y.

(b) F¨ur x∈Rⁿ heißt kxk=p

hx, xi=p

x²₁+. . .+x²_n(euklidische) L¨ange oder Norm von x.

(c) F¨ur x, y∈Rⁿ heißt kx−yk euklidischer Abstand zwischenx und y.

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Kapitel 1: Vektoren 1.8 Definition (Rⁿals euklidischer Raum)

hx, yi>0,hy, zi= 0,hx, zi<0

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Bemerkung: Ist die Dimension nicht durch den Kontext klar, so schreibt man gelegentlich hx, yi_nund kxk_n.

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Kapitel 1: Vektoren 1.9 Satz

1.9 Satz

F¨urx, y, z ∈Rⁿ und a, b∈Rgelten (a) hx, yi=hy, xi Symmetrie

(b) hx, ay+bzi=ahx, yi+bhx, zi Bilinearit¨at

(c) kx+yk² =kxk²+ 2hx, yi+kyk² Binomische Formel (d) x⊥y⇐⇒ kx+yk² =kxk²+kyk² Pythagoras (e) kaxk=|a| kxk positive Homogenit¨at

(f) |hx, yi| ≤ kxk kyk Ungleichung von Cauchy-Schwarz (g) kx+yk ≤ kxk+kykDreiecksungleichung

(h) | kxk − kyk | ≤ kx−yk untere Dreiecksungleichung.

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(a), (b) und (c) durch Ausrechnen. (d) folgt sofort aus (c).

(e) folgt aus √

a²=|a|.

(f) F¨ur alle t∈Rist wegen (c) und (e)

0≤ kx+tyk²=kxk²+ 2hx, yit+kyk²t² =:f(t). Minimieren:

f⁰(t) = 2hx, yi+ 2kyk²t= 0 fallst=−hx, yi/kyk². Also 0≤f

− hx, yi/kyk²

=kxk²− hx, yi²/kyk² und daher hx, yi² ≤ kxk²kyk² (der Fallkyk= 0 ist klar).

(g)

kx+yk² =kxk²+2hx, yi+kyk²≤ kxk²+2kxk kyk+kyk²= (kxk+kyk)².

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Kapitel 1: Vektoren Beweis

Beweis

(h) kxk=kx−y+yk ≤ kx+yk+kyk, alsokxk − kyk ≤ kx−yk und damit kyk − kxk ≤ ky−xk=kx−ykwegen (e) f¨ur a=−1. 2 Warum ist der Satz von Pythagoras so banal? Bei der Interpretation von kxk als L¨ange wird er schon benutzt!

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e¹, . . . , eⁿ Einheitsvektoren im Rⁿ. Dann gilt f¨ur jedes x∈Rⁿ

x=

n

X

j=1

hx, e^jie^j.

Dies folgt aus hx, e^ji=

n

P

k=1

x_ke^j_k=x_k, weile^j_k=

0 k6=j 1 k=j . Die Skalarproduktehx, e^jisind also gerade die Koeffizienten in der eindeutigen Darstellung als Linearkombination der Standard-Basis.

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Kapitel 1: Vektoren 1.11 Ausgleichsgerade

1.11 Ausgleichsgerade

(a) Für zwei Merkmale (zum Beispiel Nachfrage und Preis) wird ein sehr schlichtes Modell der Form f(t) =at+bangenommen. Hat man tatsächliche ”Daten”(x₁, y₁),(x₂, y₂), . . . ,(x_n, y_n) ermittelt (also zum Beispiel Absätze y₁, . . . , y_n bei Preisenx₁, . . . , x_n, so will man die ”Modellparameter” a, b∈Rso bestimmen, dass die

Geradengleichung m¨oglichst gut zu den Daten passt (und hofft dann, dassf(t) eine gute Prognose f¨ur die Fachfrage bei Preis tist).

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1.11 Ausgleichsgerade

(b) Eine M¨oglichkeit, den ”Abstand” zwischen den Daten (x₁, y₁), . . . ,(x_n, y_n) und den Funktionswerten

(x₁, f(x₁)), . . . ,(x_n, f(x_n))zu minimieren, geht auf Gauß zur¨uck:

Minimiere die Summe der Residuenquadrate, das heißt

d(a, b) =

n

X

k=1

(f(x_k)−y_k)²=

n

X

k=1

(ax_k+b−y_k)² =kax+bu−yk²

wobei x= [x1, . . . , xn], y = [y1, . . . , yn]undu= [1, . . . ,1].Dann heißt f(t) =at+bAusgleichsgerade der Daten.

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(c) Mit Satz 1.9 (b) und (c) berechnen wir

d(a, b) =b²kuk²+ 2bhax−y, ui+kax−yk²

Für festes a∈Rist dies die Gleichung einer nach oben geöffneten Parabel in der Variablen bund die ist minimal für

b_min =−^hax−y,ui_kuk₂ =−ax+y, wobeix= ^hx,ui_kuk2 = _n¹

n

P

k=1

x_k und y= _n¹

n

P

k=1

yk die arithmetischen Mittelwerte sind. Also gilt

d(a, b) ≥ d(a, b_min) =−^hax−y,ui_kuk2 ² +kax−yk²

= a²

kxk²−nx²

−2ahx, yi+ 2an x y+kyk²−ny².

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Dies ist wieder eine Parabel in der Variablen aund daher minimal f¨ur amin= hx,yi−n x y

kxk²−nx² . Wir haben damit gezeigt:

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F¨ur Daten(x₁, y₁), . . . ,(x_n, y_n) mit mindestens zwei verschiedenen x₁, . . . , x_nist die Ausgleichsgerade f(t) =at+bgegeben durch

a= hx, yi −nx y

kxk²−nx² undb=y−ax.