Das Rechnen mit Termen 1. Teil

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Das Rechnen mit Termen

1. Teil

Algebra

Kapitel 7

Gymnasiale Untertstufe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

Name:

Vorname:

27. Oktober 2021

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Uberblick ¨¨ uber die bisherigenALGEBRA- Themen:

1 Unsere Zahlen

1.1 Wie die Zahlen zu uns kamen 1.2 Nicht-dezimale Zahlensysteme 1.3 Grosse Zahlen

2 Die nat¨urlichen Zahlen 2.1 Die Rechenoperationen 2.2 Vermischte Operationen 2.3 Das Rechnen mit Potenzen

Eine Lernaufgabe zum Distributivgesetz:

Kreuz und Quer und doch sicher richtig

3 Mengenlehre 3.1 ¨Ubersicht

3.2 Die Menge im mathematischen Sinne 3.3 Darstellungsformen

3.4 Teilmengen

3.5 Rechnen mit Mengen 3.7 Unterrichtspolka 4 Teiler & Vielfache

4.1 Einleitung & Definitionen 4.2 Teilbarkeitss¨atze

4.3 Primzahlen

4.4 Einige S¨atze aus der Zahlentheorie 4.5 Der ggT und das kgV

5 Die ganzen Zahlen 5.1 Einleitung 5.2 Repetition

5.3 Das Rechnen mit ganzen Zahlen

5.4 EineAufgabenpolkazum Rechnen mit ganzen Zahlen 5.5 Koordinatensysteme

6 Die rationalen Zahlen

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Inhaltsverzeichnis

7 Das Rechnen mit Termen 1

7.1 Einleitung & ¨Uberblick. . . 1

7.2 Unsere Wissen in der Algebra - eineSOL-Repetition . . . 2

7.3 Einfache Termumformungen . . . 3

7.3.1 Summen & Differenzen . . . 3

7.3.2 Produkte & Potenzen . . . 4

7.3.3 Quotienten . . . 5

7.3.4 Anwendungen des Distributivgesetzes . . . 7

7.4 Polynome . . . 11

7.4.1 Der Begriff des Polynoms . . . 11

7.4.2 Polynomwerte & der Begriff der Funktion . . . 14

7.5 Das Rechnen mit Polynomen . . . 17

7.5.1 Diskussion im Plenum . . . 21

7.6 Anwendungen von Funktionen. . . 22

7.7 Aufgaben zu Anwendungen von Funktionen (mit GeoGebra) . . . 29

7.7.1 Unsere Anwendungsbeispiele: . . . 29

7.7.2 Etwas Bearbeitungstechnik . . . 31

7.7.3 Die Notenberechnung und der Schieberegler . . . 32

7.8 Meine Zusammenfassung. . . 33

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7 Das Rechnen mit Termen

7.1 Einleitung & ¨ Uberblick

Das Ziel ist eine grosse und nachhaltige Kompetenz im Umgang mit dem Rechnen mit Zahlen & Buchstaben.

Um die wichtigsten Definitionen & Rechengesetze zusammenzutragen beginnen wir mit einerSOL-Repetitionunseres Wissen ¨uber die Algebra, insbesondere der Zahlenmengen und des Rechnens mit Zahlen.

Mit vielen Beispielen und ebenso vielen Aufgaben werden wir miteinfachen Termumformungen die Rechenoperationen und -gesetze zur Anwendung brin- gen.

Der Begriff des Polynoms wird eingef¨uhrt und im Rechnen mit ihnen werden die im letzten Abschnitt erarbeiteten F¨ahigkeiten angewendet und gefestigt.

Wir werden die Polynome auch f¨ur einen ersten Schritt in die Analysis verwenden und den Begriff derFunktion einzuf¨uhren.

BeimRechnen mit Polyomenwerden wir unsere F¨ahigkeiten weiter festigen.

Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen werden wir mitPhotomatarbeiten.

Wir schliessen das Kapitel mit weiteren Anwendungen zu den Funktionen (ohnedie verwendetetn Funktionsgleichungen herzuleiten) und werdenGeoGe- bra und einen Teil seiner Anwendungesm¨oglichkeiten im Zusammenhang mit Funktionen kennenlernen

Als Aufgabensammlung verwenden wir von Gebauer/Zinn/ . . . Algebra 1

von Gebauer/Zinn/ . . . 2. Auflage, 1993 in der ¨ublichen Darstellung:Aufgabenpool ;Pflicht

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7.2 Unsere Wissen in der Algebra - eine SOL-Repetition

Wir werden diese Repetition inGruppenundselbst¨andig organisiertdurchf¨uhren.

Aufgaben 7.1 Der Auftrag:

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7.3 Einfache Termumformungen

Wir beginnen miteinfachen Termumformungenund werden dieses anhand von vielen Beispielen besprechen und jeweils auf die angewendeten Gesetzm¨assigkei- ten hinweisen.

Noch mehr Beispiele m¨usst ihr als Aufgaben l¨osen.

7.3.1 Summen & Differenzen

Im Folgenden geht es darum, die gegebenen Terme (wenn m¨oglich) durchTer- mumformungenzu vereinfachen:

Beispiel 7.1 a+a+a+a+a=

b+ 2b+ 3b+ 4c+ 5c+ 6c=

d+ 2d−3d+ 4d−5d=

e+ 2e+ 3e²−5e+ 6e³−7e²+ 8e=

2f+ 3f −(2f+ 3g) + (3g−2f) =

(h+k+l)−(h+k) + (l−k+h) =

[5i−6j+ (7j−8i)]−[2i−(j−i)] =

Wichtige eigene Bemerkungen:

Aufgabenpool: 104 - 126 ; 104d, 108c, 111b, 118b, 122c, 124a, 126

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7.3.2 Produkte & Potenzen

Im Folgenden geht es wieder darum, die gegebenen Terme (wenn m¨oglich) durch Termumformungenzu vereinfachen:

Beispiel 7.2 m·m²·m⁴=

5n·4n²·3n³=

4p²·5pq·6q⁴=

(−2r²)·(3rs²)³·s⁰=

t·u²·3v⁴·0·5(w⁶)⁷+x⁰=

(−2xy)·(−3x²y)⁴·(−5xy²) =

¹₂z·⁴₃z²· ⁹₈z³·10z⁴=

Aufgabenpool: 127 - 151 ; 128c, 132d, 134b, 138b, 144b, 148b, 151

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7.3.3 Quotienten

Vereinfache die folgenden Terme so weit wie m¨oglich:

Beispiel 7.3 12x²: 6 =

24ab²: 4ab=

625r²s³: 15rs³=

(−144pq⁴) : (−6q)²: (−p) =

(−35p²)³: 7²p: (−25p⁴) =

Aufgabenpool: 152 - 161 ; 154c, 156d, 158c, 160f, 161b

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Warum dürfen wir machen, was wir gemacht haben/ noch machen werden ? Begründe jede Änderung in der Darstellung . . .

5a−7(b+ 3) + 6(b−2) = 5a−(7b+ 21) + (6b−12) (1) (2)

= 5a−7b−21 + 6b−12 (3) (4)

= 5a+ (−7b) + (−21) + 6b+ (−21) (5) (6)

= 5a+ 6b+ (−7b) + (−21) + (−12) (7) (8)

= 5a+b·(6−7) + ((−21) + (−12)) (9) (10)

= 5a+b(−1) + (−33) (11)

(12)

= 5a−b−33 (13)

und was fehlt ?

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7.3.4 Anwendungen des Distributivgesetzes

1. Ausmultiplizieren

Beispiel 7.4 5x·(3a+b) =

5x·(3a+b−c) =

12a³b⁴·(5c−6d²+ 7b³−ab) =

2. Ausklammern

Beispiel 7.5 2c+ 2d=

5c²d−10cd=

1e²+ 2e³f−3e²f²=

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3. Ausdividieren

Beispiel 7.6 (25x+ 20y−15z) : 5 =

(−24ax²+ 12bx−18x²) : 6x=

(−24ax²+ 12bx−18x²) : 6 :x=

(22t³x²+ 11t⁶x³−33x²t²) : ¹₂xt=

4. Mehrfache Anwendung des Distributivgesetzes

Zur Vorbereitung: (a+b)(c+d) =

Beispiel 7.7 (e+f)(g+h) =

(j²+k³)(k²+j³) =

(r+s)(w−x) =

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Zur Vorbereitung: (a−b)(c+d−e) =

Beispiel 7.8 (f−g)(h+i−j) =

(f−g)(h+i+j) =

(f+g)(h−i−j) =

(5x+ 2)(3x−1) =

(y−5)(y−3) =

(t−2)(t+ 3) =

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Weitere Beispiele:

Beispiel 7.9 (x+ 1)(x²−2x+ 3) =

(x−1)·x·(x+ 2)·3

(r+ 1)(r−2)(r+ 3) =

(s³+ 2t)(3t²−2s)(s²+t²) =

Aufgabenpool: 162 - 192 ; 165a, 171b, 172b, 181a, 183a, 188a, 190c, 191d

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7.4 Polynome

7.4.1 Der Begriff des Polynoms

Zur Einf¨uhrung des Begriffs die folgenden Beispiele:

x²−x

3x³+ 2x²+x¹−42

r²⁰−r³⁴+r³

t⁶+ 5t⁴−7t+ 12

Eine Weiterf¨uhrung der Definition f¨uhrt auf die folgende Darstellung:

Def.: Ein Polynom n-ter Ordnung (in x) ist ein mathematischer Ausdruck der folgenden Form:

a0+a1·x+a2·x²+a3·x³+ . . . +an·xⁿ mit ai, x∈R, an6= 0 undai=konst.

Beispiel 7.10 2 + 3x+ 4x² ist ein Polynom . . . mita0=

a1= a2=

5−0.2y+ 3y²−√ 8y³ ist ein Polynom . . . mita0=

a1= a2= a3=

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2z²+ 1−5z ist ein Polynom . . . mita0=

a₁= a₂= a₃=

3r²−9r³³

ist ein Polynom . . . mita0=

a1= a2= a₃= . . . =−9

3x²−66x⁷⁸+ 12x⁵⁴ ist ein Polynom . . . mita0=

a1= a2= a3= . . . =−66 . . . = 12 . . . = 54 a₁₀₀=

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23q³p²−4p⁵+ 6pq ist ein Polynom . . .

mita₀= a₁= a₂= a₃= a4=

Gib ein Beispiel eines

1. Polynoms 6ter Ordnung inx. . .

2. Polynoms 354ten Grades intohne konstantes Glied . . . 3. Polynoms 354ten Grades intmit konstantem Glied . . .

4. Polynoms 23ten Grades inq, mit einem Vielfachen der 16ten Potenz vonq . . .

5. Polynoms 23ten Grades inq, mit einem Vielfachen der 32ten Potenz vonqund einem konstanten Glied . . .

6. Polynoms 32ten Grades inq, mit einem Vielfachen der 32ten Potenz vonpund ohne konstantes Glied . . .

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7.4.2 Polynomwerte & der Begriff der Funktion

Durch Ersetzen der Parameter in einem Polynom durch Zahlenwerte erhalten wir einenWert f¨ur das Polynom:

Beispiel 7.11 Berechne den Wert des Binoms 5a²−bf¨ur 1. a= 1, b= 2,

2. a= 2, b= 1, 3. a= (−2), b= 0.

Berechne die Werte des Trinoms (−2)c³−c²d+cd² f¨ur

1. c= 2, d= (−3), 2. c= 0, d= (−1), 3. c=a, d=b², 4. c= 2a, d= (−4b), 5. c=d.

Für ein Polynom, das nur von einer Variablen abhängig ist, können wir die folgende Schreibweise einführen:

P(x) =x²+ 3x−5

und die Berechnung von Polynomwerten l¨asst sich dann wie folgt darstellen:

P(2) =

P(0) =

P(−1) =

Aufgabenpool: 1 - 8 ; 4a, 5, 8a

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Bei der Bestimmung von Polynomwerten wird jeweils einer Variablen genau ein Wert zugeordnet, was uns auf einen zentralen Begriff der Mathematik f¨uhrt, den Begriff derFunktion:

Def.: EineFunktionist

Bem.: Begriffserkl¨arungen/ Sprechweisen:

Beispiel 7.12 Bestimme die Funktionswerte:

1. f(x) =x²−2x+ 3 (a) f(0) = (b) f(−1) =

(c) f(2) =

2. g(t) =t−7 (a) g(0) = (b) g(−2) =

(c) g(1) =

3. v(s) =−s+ 23 (a) v(3) = (b) v(−7) =

(c) v(t) =

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Beispiel 7.13 Bestimme die weiteren Funktionswerte:

4. a(b) =−2b³+ 3b² (a) a(0) = (b) a(−1) =

(c) a(2) =

5. b(a) =a³−4a+ 23 (a) b(4) =

(b) b(−2) = (c) b(r^s) = (d) b(¹₂) =

(e) b(2a) =

6. t(x) =−2x+x²+ 1.5 (a) t(y) =

(b) t(−2r) = (c) t(¹₂) = (d) t(³₂) =

7. h(a) =a³−a², k(b) =b²−1 (a) h(0)−k(0) =

(b) k(x) +h(x) = (c) h(2)−k(−1) =

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7.5 Das Rechnen mit Polynomen

Beim Rechnen mit Polynomen gehen wir gleich wie bei den Termumformun- genvor, d.h., wir m¨ussen einmal mehr die . . . befolgen, von welchen uns bis jetzt die folgenden schon bekannt sind:

Wir werden abernichtwie üblich mit der Theorie & einführenden Beispielen an die zugehörigen Aufgaben herangehen, sondern aus den vorgegebenen Auf- gaben müsst ihr eure Theorieunterlagen selber zusammenstellen und mit drei für euch wichtigen Beispiele und euren eigenen Bemerkungen ergänzen.

Dazu werde ich euch für den Einstieg jeweils fünf Aufgaben mit den Lösungen &

dem zugehörigen Aufgabenpool angeben. Ihr müsst diese Aufgaben mit eurem Banknachbarn diskutieren, eure Erkenntnisse aufschreiben und mit drei selber aus dem Aufgabenpool ausgewählten Beispielen ergänzen.

Zur Unterst¨utzung werden wir mit Photomatarbeiten:

https://www.photomath.net/de/

MitPhotomatkönnt ihr die Lösungswege und die Resultate selbständig über- prüfen.

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Addition & Subtraktion: Kapitel 2 (a) Aufgaben (L¨osung): 12a) (−7v+ 10w)

24c) (2p+ 2q)

36a) (−2m²−3m+ 2) 43b) (−z+ 3)

44b) (0) Aufgabenpool: 9 - 44

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Multiplikation: Kapitel 2 (b)

Aufgaben (L¨osung): 52a) (m⁷−m⁵+m³−m)

54b) (y1²y4+y1y2y4+y1y3y4+y1y²4) 78a) (x⁴−10x²y²+ 16y⁴)

88b) (a⁵+b⁵) 98c) (a+b−11) Aufgabenpool: 45 - 106

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Division: Kapitel 2 (b)

Aufgaben (L¨osung): 114a) (¹₂b²) 116c) (₂₈¹mq)

122b) (₂₁⁸z²−⁵₆z−₁₄⁹) 124a) (−1)

128a) (²₃c) Aufgabenpool: 109 - 128

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7.5.1 Diskussion im Plenum

Meine Erkenntnisseaus der Diskussion mit der ganzen Klasse:

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7.6 Anwendungen von Funktionen

Die Funktionen bilden ein sehr interessantes und weitläufiges Gebiet in der Ma- thematik. Neben den äusserst interessanten Diskussionen von Funktionstypen (ab 3. Gym bis zur Matura) haben die Funktionen auch einen sehr grossen An- wendungsbereich in der Wirtschaft, Biologie, Gesellschaft, natürlich der Physik und vielem mehr . . .

Wir werden die folgenden Situation durch Funktionen darstellen. Die Funkti- onsgleichungen werden wirohneHerleitung verwenden.

Wirtschaft

Wir wollen die Entwicklung eines Kontos untersuchen, das mit einem Startkapital von Fr. 1’000.- er¨offnet wir und mit einem j¨ahrlichen Zins- satz von 5% verzinst wird:

Biologie

Wir wollen der Frage nachgehen, wie sich der Algenteppich auf einem Teich vergr¨ossert, wenn er heute morgen um 8:00 schon mit 5% Algen bedeckt ist und die Algenfl¨ache sich alle 4 Stunden verdoppelt:

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Gesellschaft

Wir wollen uns hier mit der Frage beschäftigen, wie sich die Bevölkerungs- anzahl in der Schweiz entwickelt, wenn wir von einer Bevölkerungszahl im Jahr 2010 von 7.825 Mio und eine halbjährlichen Wachstum von 1% aus- gehen:

Geometrie

Wir wollen unseren Geometriekenntnissen etwas vorgreifen und uns mit dem Umfang und Fl¨acheninhalt eines Kreises in Abh¨angigkeit vom Radius befasssen:

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Funktionen lassen sich auchgraphisch darstellen.

Wir wollen dies am Beispiel der Kreisfl¨ache aufzeigen:

Erstelle eine Wertetabelle:

Anwendungsm¨oglichkeiten:

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Um den grossen Aufwand f¨ur die Darstellung zu vereinfachen, wollen wir ein Gratisprogramm verwenden, das wir schon in der Geometrie kennengelernt haben:

GeoGebra

Der download ist zu finden unter

www.geogebra.org

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F¨ur unsere Anwendungen ben¨otigen wir die folgende Startseite:

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Wir schliessen unseren Exkurs in den Bereich der Funktionen mit folgendem Beispiel:

Beispiel 7.14 Für die Berechnung des Kugelvolumens und der Kugelo- berfläche (jeweils in Abhängigkeit des Radius) können wir die folgende Funktion verwenden:

V(r) =4π

3 r³ , O(r) =2π 3 r²

Stelle die zugeh¨origen Funktionen graphisch dar.

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1. Berechne das Volumen und die Oberfl¨ache einer Kugel, mit (a) Radius = 3cm,

(b) Radius = 5cm, (c) Radius = 10m, (d) Durchmesser = 5mm.

2. Bestimme den Radius der Kugel, so dass (a) das Volumen = 1m³ ist,

(b) die Oberfl¨ache = 4cm² ist,

(c) Oberfl¨ache & Volumen den gleichen Wert haben.

3. Berechne (a) V(2) = (b) O(3) =

4. Bestimme die notwendigen Radien, damit folgendes gilt:

(a) Die Oberfl¨ache ist 10, (b) das Volumen ist 24.

5. L¨ose die folgenden Gleichungen:

(a) O(x) = 10 (b) V(x) = 20

(c) 4π

3 r³= 20 (d) O(r) =2π

3 r²= 16

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7.7 Aufgaben zu Anwendungen von Funktionen (mit GeoGebra)

7.7.1 Unsere Anwendungsbeispiele:

1. Wir gehen von einem Konto aus, das mit einem Startkapital von Fr. 1’000.- am 1. Januar 2010 er¨offnet und mit einem j¨ahrlichen Zinssatz von 5%

verzinst wird.

(a) Wie goss ist das Verm¨ogen nach 10 Jahren ?

(b) Wie gross ist das Verm¨ogen am 31. Dezember 2020 ? (c) In wie vielen Jahren wird sich das Verm¨ogen verdoppeln?

(d) In welchem Jahr waren nur Fr. 900.- auf dem Konto?

(e) Wann hat das Konto Fr. 100.- Gewinn erzeugt ?

2. Wir gehen von nun einem Konto aus, das mit einem Startkapital von Fr.

150’000.- am 1. Januar 2010 er¨offnet und mit einem j¨ahrlichen Zinssatz von 7.5% verzinst wird.

(a) Wie goss ist das Verm¨ogen nach 10 Jahren?

(b) Wie gross ist das Verm¨ogen am 31. Dezember 2020?

(c) In wie vielen Jahren wird sich das Verm¨ogen verdoppeln?

(d) Wann hat das Konto Fr. 100.- Gewinn erzeugt?

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3. Wir betrachten einen Teich, der heute morgen um 6:00 mit 5% Algen bedeckt war und dessen Algenfl¨ache sich alle 4 Stunden verdoppelt.

(a) Wann ist die H¨alfte des Teiches mit Algen bedeckt?

(b) Nach wie vielen Stunden sind 75% des Teiches mit Algen bedeckt?

(c) Wie lange dauert es, bis der ganze Teich mit Algen bedeckt ist?

(d) Um 12:00 sind wie viele % des Teiches mit Algen bedeckt?

4. Wir betrachten das Bev¨olkerungswachtum in der Stadt Z¨urich.

2012 lebten 394 012 in der Stadt und das Wachstum betr¨agt 1.2%.

(a) Bestimme die Bev¨olkerungszahl in Z¨urich (unter der Annahme, dass das Wachstum konstant bleibt) in den Jahren

(i) 2013 , (ii) 2015 , und (iii) 2020.

(b) Wann werden 400’000 Einwohner in der Stadt leben?

(c) Wann wir die 1/2 MillionGrenze ¨uberschritten?

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7.7.2 Etwas Bearbeitungstechnik Wir betrachten die folgenden Funktionen:

f(x) =√

x , g(x) =e^x , h(x) =−x²+ 2x+ 8

1. Stelle die Funktionen in einem Koordinatensystem graphisch dar, dabei sollen folgende Einstellungen vorgenommen werden:

Alle Graphen sollen die gleiche Linienst¨arke 5 und aber verschiedene Linienarten haben,

Der Graph von f(x) soll blau und in der gleichen Farbe fett und kursiv mit graph(f) beschrieben sein,

Das gleiche f¨ur den Graphen von g(x) in violett und den Graphen vonh(x) in gr¨un,

Die Achsen sind anzuschreiben,

Die Funktionsgleichungen aller Funktionen sollen in der Darstellung vorkommen.

2. Bestimme und l¨ose:

(a) f(0) = (b) g(−1) =

(c) h(2) = (d) f(x) = 2

(e) g(x) = 1 (f) h(x) = 0

(g) Bestimme die Schnittstellen vonf undg.

(h) Bestimme die Schnittpunkte von g undh.

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7.7.3 Die Notenberechnung und der Schieberegler Wir gehen von der folgenden Situation aus:

F¨ur die Note 6 werden 20 Punkte verlangt und keine Punkte sollen die Note 1 geben.

Die zugeh¨orige Funktionsgleichung zur Berechnung der Noten in Abh¨angigkeit der Punktzahl lautet in diesem Fall:

n(p) = 5 20·p+ 1

1. Stelle die Funktionsgleichung graphisch dar und beschrifte die Achsen sinnvoll.

2. Bestimme die Note f¨ur 16 Punkte.

3. Bestimme die notwendige Punktzahl fr einen Vierer.

4. Bestimme die Fuktionsgleichung für den Fall, dass 25 Punkte für eine Sechs notwendig sind und bestimme damit wieder die notwendige Punktzahl für eine Vier.

5. F¨uhre einen Parameter f¨ur die Punktzahl ein, die notwendig ist um eine 6 zu erhalten. Stelle anschliessend die Situation mit einem Schieberege- ler graphisch dar und beantworte unter dessen Verwendung die folgenden Fragen:

(a) Wie muss die notwendig Punktzahl f¨ur eine 6 gestetzt werden, damit mit 10 Punkten noch eine 4 erreicht wird?

(b) Was f¨ur eine Note ergeben dann 14 Punkte ?

(c) Wie viele Punkte sind dann noch f¨ur ein 6 notwendig ?

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