Prof. Dr. W. M¨uller Bonn, den 25. 01. 2007 Mathematisches Institut
Universit¨at Bonn
Analysis auf Mannigfaltigkeiten I (WS 2006/07)
Ubungsblatt 12¨
Aufgabe 1. Es sei U ⊂ Rn offen und F : U → R eine glatte Funktion. Dann ist der GraphM :={(x, F(x)) : x ∈U} eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit in U×R, die durch
M =r−1(0) , r(x, y) =F(x)−y gegeben ist. Zeigen Sie:
∂r
∂yι∗(dy) = −
n
X
j=1
∂r
∂xjι∗(dxj).
Zeigen Sie: F¨ur die Standardvolumenform dSM auf M (vgl. Blatt 11, Aufgabe 4) gilt:
dSM =
"
1 +
n
X
j=1
∂F
∂xj 2
#1/2
ι∗(dx1∧...∧dxn),
indem Sie den Term ι∗(dy) eliminieren. Sei nun noch g : M → R eine stetige Funktion. Dann gilt:
Z
M
g(x, y) dSM = Z
U
g◦F(x)
"
1 +
n
X
j=1
∂F
∂xj 2
#1/2
dx1∧...∧dxn,
falls das Integral existiert.
Aufgabe 2.Es sei f : [a, b]→R eine positive Funktion und M :={(x, y, z)∈R3 :y2+z2 =f2(x)}
die zugeh¨orige Rotationsfl¨ache in R3. Zeigen Sie:
vol(M) = 2π Z b
a
f(x)p
1 + (f0(x))2dx.
Aufgabe 3. Sei Sn ⊂ Rn+1 die Standardsph¨are im Rn+1 und An(p) = −p die Antipodenabbildung aufSn.
1. Berechne den Abbildungsgrad von An, indem man A∗n(dSSn) betrachte.
2. Zeige, dassAn homotop zur Identit¨at ist, fallsn ungerade ist.
3. Zeige: Es gibt genau dann ein nirgends verschwindendes Vektorfeld auf Sn, wenn n ungerade ist.
Hinweis: Im geraden Fall liefert ein nirgends verschwindendes Vektorfeld auf nat¨urliche Weise eine Homotopie zwischen der Identit¨at und der Antipoden- abbildung.
Bitte wenden.
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Aufgabe 4.Ist M ⊂Rn eine Untermannigfaltigkeit und ι:M ,→Rn , x∈M 7→x∈Rn
die Einbettungsabbildung, so notieren wir ab sofort vereinfacht dxj statt ι∗(dxj).
Man berechne:
1. Z
M
3zdy∧dz+ (x2+y2)dz∧dx+xzdx∧dy f¨ur den Sattel
M :={(x, y, z)∈R3 :z =xy, x2+y2 < R} , R >0.
2. Z
Sn−1
dx2∧...∧dxn.
3. Z
Z
(x21+x22+x23)dSZ , Z :=S1×(−1,1)⊂R3.
4. Z
P
(zdx∧dy+ 2xdy∧dz)
und Z
P
(x+y+z)dSP f¨ur das Paraboloid
P :={(x, y, z)∈R3 :z =x2+y2 < R} , R >0.
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