Prof. Dr. W. M¨uller Bonn, den 14. 12. 2006 Mathematisches Institut
Universit¨at Bonn
Analysis auf Mannigfaltigkeiten I (WS 2006/07)
Ubungsblatt 8¨
Aufgabe 1.SeiM eine glatten-Mannigfaltigkeit undT∗M das Kotangentialb¨undel mit Projektion π : T∗M → M. Dann wird durch θp(v) := p(dπ(v)), p ∈ T∗M eine 1-Form definiert. Berechne θ und ω :=dθ in lokalen Koordinaten. Zeige, dass ωp f¨ur jeden Punktp∈T∗M eine symplektische Bilinearform1 aufTpT∗X definiert.
Zeige, dass ω∧. . .∧ω
| {z }
n−mal
eine nirgends verschwindende 2n-Form ist.
Aufgabe 2. Sei X ⊂Rn eine Untermannigfaltigkeit. Zeige: Zu jeder k-Form ω auf X exisitiert eine k-Form ˜ω aufRn mit ˜ω|X =ω. Zusatzfrage f¨ur Gelangweilte: geht das auch mit geschlossenen Formen?
Aufgabe 3.Berechne dxj, sowie dxj∧dxk und dx1∧dx2∧dx3 auf R3 in Polarko- ordinaten (d.h. man w¨ahle eine Karte, die den Polarkoordinaten entspricht).
Aufgabe 4.Berechne die deRahm Kohomologie von S1. Aufgabe 5.Berechne die deRham Kohomologie von Tn.
1ωp ist schiefsymmetrisch und nicht entartet.