1 Der Satz von Montel Es sei U C eine oene Menge und F

Raum der holomorphen Funktionen

ImerstenAbshnittsdiesesKapitelsversehen wirdenVektorraumderaufeineroenen

Menge U C holomorphen Funktionen mit einer geeigneten Metrik und diskutieren

grundlegende Eigenshaften wie Konvergenz und Kompaktheit in diesem metrishen

Raum. Zentrales Resultat dieses Abshnitts ist der Satz von Montel, welher besagt,

dass man kompakte Mengen K in dem unendlihdimensionalen (topologishen) Vek-

torraumH (U)analogzum Satz vonHeine-Borel durhihre Beshranktheitund Abge-

shlossenheit harakterisierenkann.

DeranshlieendeAbshnitt



uberdieRiemannsheZeta-Funktionbeshreibt einesder

beruhmtesten und groten oenen Probleme der gesamten heutigen Mathematik. Ei-

ne positiveBeantwortungder sogenannten Riemannshen Vermutung hatte zahlreihe

Konsequenzen, insbesondere inder Zahlentheorie.

1 Der Satz von Montel

Es sei U C eine oene Menge und F := H (U) der Vektorraum aller auf U holo-

morphen Funktionen. Fur eine kompakte Menge K F denieren wir die Funktion

p

K

:F !R durh

p

K

(f):=sup

z2K

jf(z)j:

Dann ist p

K

eine Halbnorm (vgl. Analysis II) auf F, d.h. p

K

besitzt fur allef;g 2 F

die folgenden Eigenshaften:

i) p

K

(f)0,

ii) p

K

(f)=jjp

K

(f)furalle2C,

iii) p

K

(f +g)p

K

(f)+p

K (g).

Die folgenden topologishen Begrie sind fur diesen Abshnitt zentral.

1.1 Denition. a)Eine Folge (f

n

)F heit kompakt konvergentgegen f 2F, wenn

lim

n!1 p

K (f f

n )=0

furjedes Kompaktum K U gilt.

b) Eine Menge V F heit Umgebung von f 2F, falls ein Kompaktum K U und

ein ">0 existieren,derart dass

V

K ;"

(f)=fg 2F :p

K

(g f)<"gV

gilt.

) Eine Menge V F heit oen, falls fur alle f 2 V die Menge V eine Umgebung

vonf ist.Eine Menge AF heit abgeshlossen, falls F nA oenist.

d) Ein System fV

i

: i 2 Ig von Teilmengen von F heit Fundamentalsystem von

Umgebungen von f 2F, fallsgilt:

i) jedes V

i

istUmgebung vonf,

ii) furjede Umgebung V vonf existiert eini2I mitV

i V.

Die Menge aller so denierten oenen Mengen deniert dann eine Topologie auf F,

welhe TopologiederkompaktenKonvergenzgenanntwird.ZumBeispielistdasSystem

fV

K ;"

:K U kompakt;" >0g einFundamentalsystem von Umgebungen vonf 2 F.

Diese Topologie besitzt ferner die folgendenEigenshaften.

1.2 Lemma.

a) F ist Hausdorsh, d.h. fur allef;g 2F mitf 6=g existieren Umgebungen V

1 von

f bzw. V

2

von g mit V

1

\V

2

=;.

b) F ist metrisierbar, d.h. es existiert eine Metrik d auf F, so dass fur jedes f 2 F

das System fg 2F :d(f;g)<";" >0g ein Fundamentalsystem von Umgebungen von

f ist.

Beweis.a)NahVoraussetzung existierteinKompaktum K U mitr :=p

K

(f g)>

0. Setzt man V

1 :=V

K ;"

(f) und V

2 :=V

K ;"

(g) mit"=r=2, so folgtdie Behauptung.

b)DurheinegeeigneteWahlvonRehtekeninU konnenwireinesogenannteAusshopfungs-

folge (K

n )

n2N

in U nden, d.h. eine Folge von kompakten Mengen K

n

in U mit

K

n

ÆK

n+1

, derart dass fur ein beliebiges Kompaktum K U fur mindestens ein

n

0

2N K K

n

0 gilt (



Ubungsaufgabe!). Ist (K

n

) eine solhe Ausshopfungsfolge, und

setzt man

d(f;g):=

1

X

n=1 2

n

minf1;p

K

n

(f g)g;

so istd eine Metrik auf F.

Im Folgenden interessieren wir uns fur die Vollstandigkeit des Raumes H (U). Hierzu

denieren wir zunahst den Begri der Cauhyfolge in diesemZusammenhang.

1.3 Denition. Eine Folge (f

n

) F heit Cauhyfolge in F, wenn fur jedes " > 0

und jedes Kompaktum K U einN

0

2N existiert mit

p

K (f

n f

m )<"

furallen;mN

0 .

Es giltdann das folgende Lemma.

1.4 Lemma. DerVektorraumH (U) ist vollstandig,d.h. jede Cauhyfolgein H (U) ist

konvergent.

Beweis. Es sei (f

n

) eine Cauhyfolge in F und z

0

2 U. Dann ist K := fz

0

g kompakt

und zu jedem ">0existiert ein N

0

2N mit

jf

n (z

0 ) f

m (z

0 )j=p

K (f

n f

m )<"

furallen;m N

0

.Daherist(f

n (z

0

))eineCauhyfolgeinC undwegenderVollstandig-

keit von C existiert f(z

0

) := lim

n!1 f

n (z

0

) 2 C fur alle z

0

2 C. Nah Denition der

kompakten Konvergenz konvergiert die Folge (f

n

) auf jedem Kompaktum K U

gleihmaig gegen eine Funktion f : U ! C. Der Satz von Weierstra ?? impliziert,

dass f 2F gilt,und somit dieBehauptung.

Fassen wir alle Eigenshaften des Vektorraums F und der zugehorigen Topologie zu-

sammen,so giltdas folgendeResultat.

1.5 Satz. Ist U C oen, so ist H (U) ein vollstandiger, metrisher Raum.

In der Sprahe der Funktionalanalysis ist F sogar ein komplexer Frehetraum. Da in

metrishen RaumendieBegrie

"

kompakt\ und

"

folgenkompakt\ ubereinstimmen,ist

diefolgende Denition naturlih.

1.6 Denition. a) Eine Menge M F heit kompakt, falls jede Folge in M eine in

M konvergente Teilfolgebesitzt.

b) Eine Menge M F heit beshrankt, falls p

K

(M) := fp

K

(f) : f 2 Mg R fur

jedes Kompaktum K U beshrankt ist.

DasfolgendebemerkenswerteTheoremvonMontelbesagt,dassmankompakteMengen

K imunendlihdimensionalenVektorraumH (U)analogzumSatzvonHeine-Borel(vgl.

Analysis I) durh ihre Beshranktheit und Abgeshlossenheit harakterisieren kann.

1.7 Theorem. (Satz von Montel).

Es sei U C oen. Dann ist eine Menge F H (U) genau dann kompakt, wenn sie

beshrankt und abgeshlossen ist.

Der im Folgenden beshriebene Beweis des Satzes von Montel beruht auf dem, uns

shon aus der Vorlesung

"

Gewohnlihe Dierentialgleihungen\ her bekannten Satz

vonArzela-Asoli, welhenwir hier wiederumnurzitieren,abernihtbeweisen wollen.

1.8 Satz. (Satzvon Arzela-Asoli).

Es seiU C eineoeneMenge. DannisteineMengeF C(U;C) genaudannrelativ

kompakt, wenn gilt:

a) fur jedes z 2U ist ff(z):f 2Fg beshrankt,

b) F ist gleihgradig stetig in jedem Punkt z

0 2U.

Der Begri der gleihgradigen Stetigkeit ist hierbei wie in der Vorlesung gewohnlihe

Dierentialgleihungen deniert. Eine Menge F C(U;C) heit gleihgradig stetig in

z

0

2U, falls zu jedem " >0 einÆ>0 existiert,so dass

jf(z) f(z

0 )j"

gilt furalle z2U mitjz z

0

jÆ und allef 2F.

Beweis. Ist F F = H (U) kompakt, so ist F klarerweise abgeshlossen. Ferner, da

p

K

:F !R stetigist,istp

K

(F)R einekompakteMengeinR undsomitbeshrankt.

WirbetrahtennundieumgekehrteAussage.DaF nahVoraussetzung beshranktist,

ist klarerweise dieBedingunga) des Satzes von Arzela-Asoli erfullt.Um dieBehaup-

tung zu beweisen, genugt es nah dem Satz von Arzela-Asoli also zu zeigen, dass F

in jedem z

0

2 U gleihgradigstetig ist. Hierzu z

0

2U und " >0. Nah Voraussetzung

existierenKonstantenr;M >0,sodassB

r (z

0

)U undjf(z)jM furallez 2B

r (z

0 )

und alle f 2F gilt.Wahlt man z 2U mitjz z

0

j<r=2, f 2F und (t):=z

0 +re

it

furt2[0;2℄, sogilt nah dem Cauhyshen Integralsatz

jf(z

0

) f(z)j = 1

2

Z

f()

1

z

0

1

z

d

= 1

2

Z

f()

z

0 z

( z

0

)( z)

2M

r jz

0 zj:

Wahlen wir Æ <minf r

2

; r"

4M

g,so folgt

jf(z

0

) f(z)j<" fur alle f 2F;

sofern nurjz

0

zj<Æ gilt.

1.9 Bemerkung. Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass der Satz von Montel im

Reellen falsh ist. Als Gegenbeispiel betrahte man etwa die Menge F := fsinnx :

n 2 Ng. Dann ist F beshrankt, aber F ist niht kompakt, da wegen des Satzes von

Arzela-Asoli dieFunktionenmenge F nihtgleihgradig stetig ist.

Wir beshlieendiesen Abshnitt mitdem Satz vonVitali,einer Folgerungdes Satzes

vonMontel.

1.10 Korollar. (Satz vonVitali).

Es sei G C ein Gebiet und M G eine Menge, welhe einen Haufungspunkt in G

besitzt. Ist F H (G) beshrankt und (f

n

) F eine Folge, welhe punktweise auf M

konvergiert, so existiert f(z) := lim

n!1 f

n

(z) fur alle z 2 G und f : G ! C ist eine

holomorphe Funktion.

Beweis. Nah dem Satz von Montel ist F H (G) kompakt und es genugt daher zu

zeigen,dass dieFolge(f

n

)hohstenseinenHaufungspunkt inH (G)besitzt.Seien aber

f und g zwei Haufungspunkte derFolge (f

n

),sogiltfj

M

=gj

M

und der Identitatssatz

impliziertf =g.

2 Die Riemannshe Zeta-Funktion

Die in diesem Abshnitt beshriebene Riemannshe Zeta-Funktion wurde seit ihrer

EinfuhrungimJahre 1859durhB.RIEMANNvonGenerationenvonMathematikern

intensiv erforsht. Eines der beruhmtesten ungelosten Probleme der gesamten Mathe-

matikbesteht darin, dieNullstellender Zeta-Funktion zu bestimmen.

Wir beginnenmit der Denition der Zeta-Funktion.

Istz 2C undk 2N, sogiltjk z

j=je zlogk

j=e

Re(z)logk

unddahergiltfurRe(z)1+"

n

X

k=1 jk

z

j n

X

k=1 k

(1+")

;

welhes bedeutet, dass die Reihe P

1

n=1 1

n z

in H (U) mit U = fRe(z) > 1g lokal

gleihmaigund absolutgegen eine holomorpheFunktion konvergiert.

2.1 Denition. Die Riemannshe Zetafunktion istfurRez >1 deniert durh

(z):=

1

X

n z

:

EineweitereFunktionvonInteresseindiesemZusammenhangistdieshoninAnalysis

II eingefuhrteGamma-Funktion, welhe fur z2C deniert ist durh

(z):=

e z

z 1

Y

n=1 1+

z

n )

1

e z=n

;

wobei die Konstante so gewahlt ist, dass (1) = 1 gilt. Die Konstante heit

Eulershe Konstante und kann zu

= lim

n!1

(1+ 1

2

+:::+ 1

n

) logn

bestimmtwerden.Mankannzeigen,dass einemeromorpheFunktionaufC ist,welhe

nur einfahe Poleinz =0; 1; 2;:::mit Residiuen

Res ( n)= ( 1)

n

n!

; n =0;1;2;:::

besitzt. Fur z 2 C mit z 6= 0; 1; 2;::: erfullt dieGamma-Funktion die Funktional-

gleihung (z+1)=z (z) und ferner gilt

(z)= Z

1

0 e

t

t z 1

dt; Rez >0:

Insbesonderedeniert aufderrehtenHalbebenefz 2C :Rez >0geineholomorphe

Funktion. Weitergilt

(2.1)

1

(x)

=

(1 x)

sin(x)=

(1 x)

2sin(

x

2 )os(

x

2 )

; 1<x<0:

Setzen wir t=nu, so folgt

n z

(z)= Z

1

0 e

nt

t z 1

dt:

Summieren wir



uber diese Gleihung



uberallen 2N, sofolgt

(2.2) (z) (z)=

1

X

n=1 n

z

(z)= 1

X

n=1 Z

1

0 e

nt

t z 1

dt:

UnsernahstesZielistes,dieobigeSummationundIntegrationzuvertaushen.Hierzu

ist das folgende Lemma nutzlih, dessen Beweis wir dem Leser als



Ubungsaufgabe

uberlassen.

2.2 Lemma. a) Es sei a >1 und S :=fz 2C :Rez ag und " >0. Dann existiert

Æ 2(0;1), so dass fur alle z 2S gilt

Z

(e

t

1) 1

t z 1

dt

<";

sofern nur Æ > >>0 gilt.

b) Es seiA 2R und S :=fz2 C :Rez Ag und ">0. Dannexistiert Æ>1, so dass

fur alle z 2S gilt

Z

(e

t

1) 1

t z 1

dt

<";

sofern nur >>Æ gilt.

2.3 Korollar. a) Gilt 1 < a < A < 1 und S := fz 2 C : a Rez Ag, so

konvergiert das Integral

Z

1

0 (e

t

1) 1

t z 1

dt

gleihmaig auf S.

b) Gilt A2R und S :=fz2C :Rez Ag,so konvergiertdas Integral

Z

1

1 (e

t

1) 1

t z 1

dt

gleihmaig auf S.

2.4 Satz. Fur Rez >1 gilt

(z) (z)= Z

1

0 (e

t

1) 1

t z 1

dt:

Beweis. Nah Korollar 2.3 deniert das obige Integral eine holomorphe Funktion in

fz 2 C : Rez > 1g. Nah dem Identitatssatz genugt es also die obige Gleihheit fur

z =x>1 zu zeigen.

Nah Lemma 2.2existieren ; 2R mit<, so dass

Z

0 (e

t

1) 1

t x 1

dt <

"

4

; und Z

1

(e

t

1) 1

t x 1

dt<

"

4

gilt.Ferner, da P

n

k=1 e

kt

P

1

k=1 e

kt

=(e t

1) 1

fur allen2N gilt,folgt

1

X Z

0 e

nt

t x 1

dt<

"

4 und

1

X Z

1

e

nt

t x 1

dt<

"

4 :

Die Gleihung (2.2) liefert zusammen mit der Tatsahe, dass P

e nt

gleihmaigauf

[ ;℄ gegen (e t

1) 1

konvergiert,die Beziehung

(x) (x) Z

1

0 (e

t

1) 1

t x 1

dt

"+

1

X

n=1 Z

e

nt

t x 1

dt Z

(e

t

1) 1

t x 1

dt

<":

Nah diesen Vorbereitungen wollen wir nun den Denitionsbereih der Zeta-Funktion

zunahst auf fz 2 C : Rez > 1g und shlielih auf ganz C ausdehnen. Hierzu

betrahten wir dieLaurententwiklung der Funktion z 7!(e z

1) 1

,welhe durh

(2.3)

1

e z

1

= 1

z 1

2

+h(z)

fur eine in einer Umgebung U von 0 holomorphen Funktion h gegeben ist. Der Term

1

e t

1 1

t

istsomit auf U beshrankt und das Integral

Z

1

0

1

e t

1 1

t

t z 1

dt

konvergiertdaher gleihmaigauf kompakten Teilmengen von fz 2C :Rez >0g und

stellt dort eine holomorphe Funktion dar. Dahergilt

(2.4) (z) (z)= Z

1

0

1

e t

1 1

t

t z 1

dt+ 1

z 1 +

Z

1

1 t

z 1

e t

1

dt =:G(z):

Da der erste und derdritte Term aufder rehten Seite jeweilsholomorphe Funktionen

auffz 2C :Rez >0gdarstellen,kannman(z)furRez >0durh(z):= (z) 1

G(z)

denieren. Damit ist eine meromorphe Funktion in fz 2 C : Rez > 0g mit einem

einfahen Polin z =1 mitResiduumRes

(1) =1.

Fur0<Rez <1gilt

(z 1) 1

= Z

1

1 t

z 2

dt:

Setzen wir dies in dieGleihung (2.4) ein, so folgt

(2.5) (z) (z)= Z

1

0

1

e t

1 1

t

t z 1

dt; 0<Rez <1:

DieGleihung (2.3)impliziertweiter,dasseineKonstanteexistiertmit 1

e t

1 1

t +

1

2

t fur allet2(0;1℄.Deshalb konvergiert das Integral

Z

1

1

e t

1 1

t +

1

2

t z 1

dt

gleihmaigauf kompakten Teilmengen von fz2C :Rez > 1g. Fernerexistiert eine

Konstante mit 1

t 1

e t

1

t

fur allet1;daher konvergiert das Integral

Z

1

1

1

e t

1 1

t

t z 1

dt

gleihmaig auf kompakten Teilmengen von fz 2 C : Rez < 1g. Setzt man diese

Integralein dieGleihung (2.5)ein, sofolgt

(2.6)

(z) (z)= Z

1

0

1

e t

1 1

t +

1

2

t z 1

dt 1

2z +

Z

1

1

1

e t

1 1

t

t z 1

dt=:G

1 (z)

1

2z

;

fur 0 < Rez < 1. Da der erste und der dritte Term auf der rehten Seite jeweils

holomorphe Funktionen auf S

1

:= fz 2 C : 1 <Rez < 1g darstellen, konnen wir

auf S

1 durh

(z):=

(

G1(z)

(z)

1

2z (z)

; z 2S

1 nf0g;

1

2

; z =0

denieren. Wegen Res (0) = 1 folgt aus dem Riemannshen Hebbarkeitssatz, dass

eine holomorpheFunktion auf ganz S

1

ist. Kombinierenwir dies mit(2.4), so ist (z)

nun deniert furalle z 2fw2C :Rew> 1g und besitzt inz =1 einen einfahen

Pol.Furz 2S

0

:=fw2C : 1<Rew<0ggilt

Z

1

1 t

z 1

dt= 1

z :

Setzt man dies in dieGleihung (2.6) ein, so folgt

(2.7) (z) (z)=

Z

1

0

1

e t

1 1

t +

1

2

t z 1

dt; z 2S

0 :

Benutzt man dieIdentitaten

1

e t

1 +

1

2

= i

2 ot (

it

2

) und ot(

it

2 )=

2

it 4it

1

X

n=1 1

t 2

+4n 2

2

;

so folgt

1

e t

1 1

t +

1

2

1

t

=2 1

X

n=1 1

t 2

+4n 2

2

:

Einsetzen in(2.7) und Vertaushen und Summation und Integration liefert

(z) (z) = 2 Z

1

0

1

X

n=1 1

t 2

+4n 2

2

t z

dt (2.8)

= 2(2) z 1

(1 z) Z

1

t z

t 2

+1

dt; z 2S

0 :

Ist x2R \S

0

sofolgt durh dieSubstitution s=t 2

(2.9)

Z

1

0 t

x

t 2

+1 dt=

1

2

1

os (

x

2 );

Kombiniertman dies mitden Gleihungen (2.8), (2.9) und (2.1), sofolgt der folgende

Satz.

2.5 Satz. (Funktionalgleihung der Zeta-Funktion).

Fur alle z 2fw2C : 1<Rew<0g gilt

(2.10) (z)=2(2)

z 1

(1 z)(1 z)sin(z=2):

Genau genommen haben wir bisher die obige Gleihheit nur fur relle x 2 (0;1) ge-

zeigt. Da beide Seiten der obigen Gleihung jedoh holomorphe Funktionen im Strei-

fen fz 2 C : 1 < Rez < 0g darstellen, folgt die Funktionalgleihung fur alle

z 2fw2C : 1<Rew<0gaus dem Identitatssatz.

Wir konnen dieses Argument noh wie folgt ausdehnen: die rehte Seite der Funktio-

nalgleihungistholomorphinder ganzenlinkenHalbebenefz 2C :Rez <0gundwir

verwenden die Funktionalgleihung um (z) fur z mit Rez < 0 zu denieren. Somit

gilt das folgende Theorem

2.6Theorem. DiesodenierteZeta-Funktionist einemeromorpheFunktionaufganz

C mit einem einizigen Pol in z = 1 der Ordnung 1 und Residuum Res

(1) = 1. Fur

z 6=1 gilt die Funktionalgleihung (2.10).

Da dieFunktion z 7! (1 z)Poleinz =1;2;:::besitztund daz 7!(z)holomorph

in z =2;3;:::ist,folgt aus der Funktionalgleihung

(2.11) (1 z)sin(z=2) =0; z =2;3;:::

Da diePole von (1 z) in z =2;3;::: einfah sind und da (z) 6=0 fur diese z gilt,

mussen alle Nullstellen von (2.11) einfah sein. Weiter, da sin(z=2) 6= 0 gilt fur alle

ungeraden z 2Z, folgt(1 z)=0 fur allez =3;5;:::. Dies bedeutet

(z)=0 furalle z = 2; 4; 6;::::

Mit



ahnliher Argumentation zeigen wir, dass keine weiteren Nullstellen auerhalb

des Streifensfz 2C :0Rez 1g besitzt.

2.7 Denition. Die Punkte z = 2; 4; 6;::: heien die trivialen Nullstellen der

Wir sind nun in der Lage eine der beruhmtesten oenen Fragen der Mathematik zu

formulieren.

2.8. Die Riemannshe Vermutung.

Ist z eine Nullstelle der Zeta-Funktion im kritishen Streifen, so gilt Rez = 1

2 .

Es ist bekannt, dass keine Nullstellen z mit Rez = 1 und somit via der Funktio-

nalgleihung auh keine mit Rez = 0 besitzt. Weiter wei man, dass unendlih viele

Nullstellen z von mitRez = 1

2

existieren. Es istjedoh unbekannt, ob Nullstellenz

von im kritishen Streifen mitRez6=1=2 existieren.

Wir beshlieen dieses Kapitelmitdem Eulershen Primzahlensatz.

2.9 Theorem. (Eulersher Primzahlensatz).

Ist (p

n

) die Folge der Primzahlen und Rez >1 so gilt

(z)= 1

Y

n=1

1

1 p z

n

:

Beweis. Die geometrishe Reihe impliziert,dass

1

1 p z

n

= 1

X

j=1 p

jz

n

; n 1

gilt.Betrahtenwir furn1ProduktevonTermen(1 p z

k )

1

fur1k n, sofolgt

durh Ausmultiplizieren

n

Y

k=1

1

1 p z

k

= 1

X

j=1 n

z

j

;

wobei in der rehten Summe nur



uber diejenigen n

1

;n

2

;::: zu summieren ist, in de-

ren(eindeutigbestimmte)PrimfaktorenzerlegunglediglihdiePrimzahlenp

1

;p

2

;:::;p

k

vorkommen. Der Grenzubergang n !1liefertdann die Behauptung.

2.10 Bemerkungen. a) Das obigeProdukt Q

1

n=1

1

1 p z

n

heit Euler-Produkt.

b)DieDarstellungderZeta-FunktionalsEuler-Produktzeigtinsbesonderedass(z)6=

0 giltfurallez 2C mitRez >1.

2.11 Bemerkung. Der obige Satz von Euler zeigt insbesondere, dass es unendlih

viele Primzahlen gibt. Ware dies niht so, hatte das Euler-Produkt fur z ! 1 einen

endlihen Grenzwert, im Widerspruh dazu, dass nah Theorem 2.6 in z = 1 einen

Hadamard und de la Vallee-Poussin fanden 1896 unabhangig voneinander den ersten

Beweis des shon von Gau vermuteten Primzahlensatzes, welher besagt, dass

lim

x!1

(x)logx

x

=1

gilt. Hierbei bezeihnet (x) die Anzahl der Primzahlen p mit p x. Der Beweis

des Primzahlensatzes benutzt die logarithmishe Ableitung

0

der Zeta-Funktion und

basiert auf der Tatsahe, dass diese Funktion abgesehen von einem Pol in z = 1 ho-

lomorph auf einer Umgebung der abgeshlossenen Halbebene fz 2 C : Rez 1g ist.

Letzteres ergibt sih aus dem shon oben erwahnten Resultat, dass dieZeta-Funktion

auf der Geraden Rez =1keine Nullstellen besitzt.