1. F¨ uhre den Beweis von Satz 4.8 aus: Ist C ein zyklischer [n, k]-Linearcode ¨ uber F

Endliche K¨ orper und Codierung

Ubung, LVA 405.351 ¨

C. Fuchs

11. ¨ Ubungsblatt , WS 2020/21 07.01.2021

1. F¨ uhre den Beweis von Satz 4.8 aus: Ist C ein zyklischer [n, k]-Linearcode ¨ uber F

, dann ist C ein Polynomcode mit Generatorpolynom gleich dem eindeutig bestimm- ten normierten Polynom g(x) mit minimalem Grad in C.

2. Ausgehend von Aufgabe 2 auf dem 6. ¨ Ubungsblatt berechne man:

a) die Anzahl der bin¨ aren zyklischen Linearcodes der L¨ ange 21,

b) alle Werte k f¨ ur die ein bin¨ arer zyklischer [21, k]-Linearcode existiert, c) die Anzahl der bin¨ aren zyklischen [21, 12]-Linearcodes,

d) ein Generatorpolynom f¨ ur jeden bin¨ aren zyklischen [21, 12]-Linearcode.

3. Sei C ein zyklischer [n, k]-Linearcode. Zeige, dass es ein eindeutiges Codewort c gibt, das ein Einselement von C ist (d.h. es gilt c · c

= c

mod x

− 1 f¨ ur alle c

∈ C).

4. Bestimme das Minimalpolynom g(x) ¨ uber F

einer primitiven 9-ten Einheitswurzel.

F¨ ur den von g(x) erzeugten (zyklischen) Polynomcode bestimme man die Parameter

n, k und d.