Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt

Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010

Dr. Robert Haller-Dintelmann 02.06.2010

David Bücher

Christian Brandenburg

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Konvergenzkriterien/Konvergenzradien) (a) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.

(i) X∞ n=1

2ⁿ

3ⁿ+n, (ii) X∞ n=1

n²

2ⁿ, (iii) X∞ n=1

1

pn(n+1), (iv) X∞ n=1

n+1 2n+1

n

.

(b) Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen.

(i) X∞ n=1

n!

nⁿxⁿ, (ii) X∞ n=1

1 7ⁿ+1

x³ⁿ

n² , (iii) X∞ n=0

n^pxⁿ, p∈N, (iv) X∞ n=3

ⁿ X

k=1

1 k

xⁿ.

Untersuchen Sie bei (ii), (iii) und (iv) auch das Konvergenzverhalten auf dem Rand.

Aufgabe G2 (Cauchy-Produkt) Zeigen Sie

X∞ n=1

nxⁿ⁻¹= 1 (1−x)² für allex∈(−1, 1), indem Sie die PotenzreiheP_∞

n=1nxⁿ⁻¹als ein Cauchy-Produkt schreiben.

Aufgabe G3 (Konvergenz von Reihen)

Welche der folgenden Aussagen implizieren die absolute Konvergenz der ReiheP∞

n=1a_n? Welche der Aussagen impliziert die Konvergenz? Welche sind sogar äquivalent zur Konvergenz?

(a) Die Folge€ n²a_nŠ∞

n=1konvergiert.

(b) Für allen∈Ngilt die Ungleichung

a_n+1 a_n

<1.

(c) ∀" >0∃n₀∈N∀p∈N

n₀+p

X

n=n₀

a_n

< "

! .

(d) Die Folge pn

|a_n|∞

n=1konvergiert.

(e) _a

n+1 a_n

∞

n=1ist eine Nullfolge.

(f) ∃n₀∈N∃" >0∀n≥n₀



a_n+1 a_n

≤1−"‹ . (g) Es gibt einn₀∈N, so dass1>

a_n+1 a_n

≥1−¹_nfür allen>n₀. (h) Die Folge der Partialsummen s_m∞

m=1, wobeis_m:=Pm

n=1a_n, ist beschränkt.

(i) Die Folge der Partialsummen s_m∞

m=1, wobeis_m:=Pm

n=1a_n, ist beschränkt undlim_n→∞a_n=0.

(j) Die Folge b_m∞

m=1, wobeib_m:=Pm n=1np

na_n, ist beschränkt.

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Hausübung

Aufgabe H1 (Konvergenzkriterien/Konvergenzradien) (a) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.

(i) X∞ n=1

2n+1

3n²+4n−1, (ii) X∞ n=0

(−1)ⁿ⁺¹n n²+1 .

(b) Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen.

(i) X∞ n=0

x³ⁿ

(5+ (−1)ⁿ)²ⁿ, (ii) X∞ n=0

2n n

xⁿ.

Untersuchen Sie bei (i) auch das Konvergenzverhalten auf dem Rand.

Aufgabe H2 (Gegenbeispiele) (a) Zeigen Sie, dass die Reihe

X∞ n=0

(−1)ⁿ pn+1

konvergiert, aber das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst nicht konvergiert.

Warum ist dies kein Widerspruch zu dem in der Vorlesung bewiesenen Satz über die Konvergenz des Cauchy- Produktes?

(b) Es sei

a_n= (₁

n, fallsngerade,

−_n¹2, fallsnungerade.

Zeigen Sie, dass die ReiheP∞

n=1a_nnicht konvergiert. Ist dies ein Widerspruch zum Leibniz-Kriterium?

Aufgabe H3 (Potenzreihen) Es seiP∞

n=0a_nxⁿeine Potenzreihe mit Konvergenzradiusr>0(dabei ist auchr=∞zugelassen).

(a) Zeigen Sie: Die PotenzreiheP∞

n=1n|a_n|xⁿhat ebenfalls Konvergenzradiusr.

(b) Ist%∈Rmit0< % <r, dann konvergiert die ReiheP∞

n=1n|a_n|%ⁿ⁻¹. (c) Ist das auch für die ReihenP∞

n=1n^p|a_n|%ⁿ⁻¹, wobeip∈N, bzw. fürP∞

n=1nⁿ|a_n|%ⁿ⁻¹richtig?

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