Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

(1)

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Definitionen und Sätze

Prof. Dr. Christoph Karg

Studiengang Informatik Hochschule Aalen

Wintersemester 2021/2022

7.10.2021

Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum

Definition 1.1 Sei Ω eine endliche oder abzählbar unendliche Menge. Sei Pr : Ω 7→ R eine Abbildung.

(Ω, Pr ) ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Für alle ω ∈ Ω gilt: 0 ≤ Pr [ω ] ≤ 1.

2. ∑

ω ∈ Ω Pr [ω ] = 1.

(2)

Ereignis

Definition 1.2. Sei (Ω, Pr ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.

Eine Menge A ⊆ Ω heißt Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit Pr [A ] des Ereignisses A ist definiert als

Pr [A ] = ∑

ω ∈ A

Pr [ω ] .

Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 3 / 73

Prinzip von Laplace

Prinzip von Laplace:

Wenn nichts dagegen spricht, kann man davon ausgehen, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind.

Formal: Für alle ω ∈ Ω gilt:

Pr [ω ] = 1

k Ω k .

Voraussetzung: k Ω k < ∞

(3)

Rechenregeln

Additionssatz

Satz 2.1 (Additionssatz) Für zwei disjunkte Ereignisse A und B gilt:

Pr [ A ∪ B ] = Pr [ A ] + Pr [ B ] .

Allgemein: Sind die Ereignisse A ₁ , . . . , A _n paarweise disjunkt, dann gilt:

Pr [ _n

∪

i=1

A _i ]

=

∑ n i=1

Pr [A _i ] .

Für eine unendliche Menge von disjunkten Ereignissen A ₁ , A ₂ , . . . gilt:

Pr [ _∞

∪

i=1

A _i ]

=

∑ ∞ i=1

Pr [ A _i ] .

Rechenregeln

Elementare Rechenregeln

Satz 2.2 Für zwei beliebige Ereignisse A und B gilt:

1. Pr [ ∅ ] = 0, Pr [Ω ] = 1.

2. 0 ≤ Pr [ A ] ≤ 1.

3. Pr [ A ]

= 1 − Pr [A ].

4. Wenn A ⊆ B, dann Pr [ A ] ≤ Pr [B ].

(4)

Rechenregeln

Siebformel

Satz 2.3 (Siebformel) Für zwei Ereignisse A und B gilt:

Pr [A ∪ B ] = Pr [A ] + Pr [ B ] − Pr [A ∩ B ] . Für drei Ereignisse A ₁ , A ₂ und A ₃ gilt:

Pr [ A ₁ ∪ A ₂ ∪ A ₃ ]

= Pr [ A ₁ ] + Pr [ A ₂ ] + Pr [ A ₃ ]

−Pr [ A ₁ ∩ A ₂ ] − Pr [ A ₁ ∩ A ₃ ]

− Pr [ A ₂ ∩ A ₃ ] + Pr [ A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ ] Allgemein: Für n ≥ 2 Ereignisse A ₁ , . . . , A _n gilt:

Pr [ A 1 ∪ . . . ∪ A n ]

= ∑

S ⊆ {1,...,n}

(−1) ^∥ ^S ^∥ ⁺¹ Pr [ ∩

i ∈ S

A _i ]

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Definition 3.1 Gegeben sind die Ereignisse A und B, wobei Pr [B ] > 0.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit Pr [ A|B ] von A gegeben B ist definiert durch

Pr [A|B ] = Pr [A ∩ B ]

Pr [ B ] .

(5)

Multiplikationssatz

Satz 3.5 (Multiplikationssatz) Gegeben sind die Ereignisse A ₁ , . . . , A _n .

Angenommen,

Pr [ A ₁ ∩ . . . ∩ A _n ] > 0.

Dann gilt:

Pr [ A ₁ ∩ . . . ∩ A _n ] = Pr [ A ₁ ] · Pr [ A ₂ |A ₁ ] · Pr [ A ₃ |A ₁ ∩ A ₂ ]

· . . . · Pr [A _n |A ₁ ∩ . . . ∩ A _n−1 ] .

Beispiel: Geburtstagsproblem

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1 -0.5 0 0.5 1

y

x

exp(-x) 1-x

Approximation von 1 − x durch e ^−x

(6)

Beispiel: Geburtstagsproblem (Forts.)

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz 3.7 (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit) Angenommen die Ereignisse A ₁ , . . . , A _n bilden eine Partition von Ω, d.h.

∪ n

i=1 A i = Ω und für alle i 6 = j gilt A i ∩ A j = ∅ . Dann gilt für jedes Ereignis B ⊆ Ω:

Pr [ B ] =

∑ n i=1

Pr [ B|A _i ] · Pr [ A _i ] .

(7)

Satz von Bayes

Satz 3.9 (Satz von Bayes) Gegeben sind die paarweise disjunkten Ereignisse A ₁ , . . . , A _n . Falls B ⊆ A ₁ ∪ . . . ∪ A _n mit Pr [ B ] > 0, dann ist für ein beliebiges i ∈ {1, . . . , n}

Pr [ A _i |B ] = Pr [ B|A _i ] Pr [ A _i ] Pr [ B ]

= Pr [ B|A _i ] · Pr [ A _i ]

∑ n

j=1 Pr [ B|A _j ] Pr [ A _j ] .

Satz von Bayes (Forts.)

Satz 3.9 (Satz von Bayes) Für eine unendliche Folge von paarweise disjunkten Ereignissen A ₁ , A ₂ , . . . mit B ⊆ ∪ _∞

i=1 A _i gilt analog, dass Pr [ A _i |B ] = Pr [B|A _i ] Pr [A _i ]

Pr [ B ]

= Pr [B|A i ] · Pr [ A i ]

∑ _∞

j=1 Pr [ B|A _j ] Pr [ A _j ] .

(8)

Unabhängige Ereignisse

Definition 4.1 (Unabhängigheit) Die Ereignisse A und B sind unabhängig, falls

Pr [ A ∩ B ] = Pr [ A ] Pr [ B ] gilt.

Konsequenz: Für zwei unabhängige Ereignisse A und B gilt:

Pr [ A|B ] = Pr [ A ] .

Unabhängige Ereignisse (Forts.)

Definition 4.3 (Unabhängigkeit) Die Ereignisse A ₁ , . . . , A _n sind unabhängig, wenn für alle Teilmengen S ⊆ {1, . . . , n} gilt, dass

Pr [ ∩

i ∈ S

A _i ]

= ∏

i ∈ S

Pr [ A _i ] .

(9)

Eine nützliche Eigenschaft

Notation: A ⁰ = A und A ¹ = A.

Satz 4.4 Seien A ₁ , . . . , A _n beliebige Ereignisse. Sei k ∈ {1, . . . , n}

und sei {i ₁ , . . . , i _k } ⊆ {1 , . . . , n} eine beliebige Auswahl von Indizes.

Angenommen, für alle (b ₁ , . . . , b _n ) ∈ {0, 1} ⁿ gilt:

Pr [

A ^b ₁

¹

∩ . . . ∩ A ^b _n

ⁿ

]

= Pr [ A ^b ₁

¹

]

· . . . · Pr [ A ^b _n

ⁿ

]

.

Dann gilt für alle ( b _i

₁

, . . . , b _i

_k

) ∈ {0, 1} ^k , dass Pr [

A ^b _i

₁ⁱ¹

∩ . . . ∩ A ^b _i

_k^ik

]

= Pr [

A ^b _i

₁ⁱ¹

]

· . . . · Pr [

A ^b _i

_k^ik

] .

Nachweis der Unabhängigkeit von Ereignissen

Satz 4.5 Die Ereignisse A ₁ , . . . , A _n sind genau dann unabhängig, wenn für alle ( b ₁ , . . . , b _n ) ∈ {0, 1} ⁿ gilt, dass

Pr [

A ^b ₁

¹

∩ . . . ∩ A ^b _n

ⁿ

]

= Pr [ A ^b ₁

¹

]

· . . . · Pr [ A ^b _n

ⁿ

]

,

wobei A ⁰ _i = A _i und A ¹ _i = A _i .

(10)

Kombination von unabhängigen Ereignissen

Satz 4.6 Sind A, B und C unabhängige Ereignisse, dann sind auch A ∩ B und C bzw. A ∪ B und C unabhängige Ereignisse.

Zufallsvariablen

Zufallsvariable

Definition 5.1 (Zufallsvariable) Gegeben ist ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ereignisraum Ω.

Eine Abbildung X : Ω 7→ R heißt Zufallsvariable (über Ω). Eine

Zufallsvariable X über einer endlichen und abzählbar unendlichen

Ergebnismenge Ω heißt diskret.

(11)

Zufallsvariablen

Bedingte Zufallsvariable

Definition 5.2 (Bedingte Zufallsvariable) Sei X eine

Zufallsvariable und A ein Ereignis mit Pr [A ] > 0. Die bedingte Zufallsvariable X|A besitzt die Dichte

f _X|A (x) = Pr [ X = x|A ] = Pr [

X ⁻¹ ( x ) ∩ A ] Pr [ A ] .

Zufallsvariablen

Dichte und Verteilung einer Zufallsvariablen

Definition 5.3 (Dichte und Verteilung) Sei X eine diskrete Zufallsvariable über dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω.

Die Dichtefunktion (kurz: Dichte) von X ist die Funktion f _X : R 7→ [ 0 ; 1 ] mit

f X (x) = Pr [X = x] = ∑

ω ∈ X

⁻¹

(x)

Pr [ ω ] .

Die Verteilungsfunktion (kurz: Verteilung) von X ist die Funktion F X : R 7→ [0; 1] mit

F _X ( x ) = Pr [ X ≤ x ] = ∑

x

^′

≤ x

Pr [ X = x ^′ ] .

(12)

Zufallsvariablen

Beispiel: Summe zweier Würfel

Dichte der Augensumme zweier Würfel

Zufallsvariablen

Beispiel: Summe zweier Würfel (Forts.)

Verteilung der Augensumme zweier Würfel

(13)

Zufallsvariablen

Kombination Zufallsvariable und Funktion

Satz 5.7 Sei X eine Zufallsvariable über dem

Wahrscheinlichkeitsraum Ω und sei f : R 7→ R eine beliebige Abbildung. Dann ist f ( X ) eine Zufallsvariable über Ω.

Erwartungswert

Definition 6.1 (Erwartungswert) Der Erwartungswert Exp [ X ] einer diskreten Zufallsvariablen X ist definiert als

Exp [ X ] = ∑

x ∈ W

_X

x · Pr [ X = x ]

= ∑

x ∈ W

X

x · f _X ( x )

vorausgesetzt die obige Summe konvergiert absolut.

(14)

Erwartungswert

Berechnung von Erwartungswerten

Satz 6.4 Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Sei A 1 , . . . , A n eine Partition des Ereignisraums Ω.

Angenommen, es gilt Pr [ A _i ] > 0 für alle i ∈ {1, . . . , n}.

Dann ist:

Exp [ X ] =

∑ n i=1

Exp [ X|A _i ] · Pr [ A _i ] .

Erwartungswert

Berechnung von Erwartungswerten (Forts.)

Satz 6.4 (Variante 2) Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Sei A 1 , A 2 , A 3 , . . . eine Partition des Ereignisraums Ω.

Angenommen, es gilt Pr [ A _i ] > 0 für alle i ∈ {1, 2, 3, . . . }, die Erwartungswerte Exp [ X|A _i ] existieren und die Summe

∑ _∞

i=1 Exp [ X|A _i ] · Pr [ A _i ] konvergiert.

Dann ist:

Exp [ X ] =

∑ ∞ i=1

Exp [ X|A _i ] · Pr [ A _i ] .

(15)

Erwartungswert

Berechnung von Erwartungswerten (Forts.)

Satz 6.6 Sei X eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert existiert.

Dann gilt:

Exp [ X ] = ∑

ω ∈ Ω

X (ω) · Pr [ ω ] .

Erwartungswert

Monotonie des Erwartungswerts

Satz 6.7 (Monotonie des Erwartungswerts) Seien X und Y Zufallsvariablen über dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω.

Falls für alle ω ∈ Ω die Ungleichung X (ω) ≤ Y (ω) gilt, dann gilt

Exp [X] ≤ Exp [Y].

(16)

Erwartungswert

Linearität des Erwartungswerts

Satz 6.8 (Linearität des Erwartungswerts) Sei X eine Zufallsvariable und seien a, b ∈ R beliebige Zahlen.

Dann gilt:

Exp [a · X + b] = a · Exp [X] + b.

Erwartungswert

Nochmals Berechnung von Erwartungswerten

Satz 6.9 Sei X eine Zufallsvariable mit W _X ⊆ N ⁰ . Dann gilt:

Exp [X] =

∑ ∞ i=0

Pr [X ≥ i ] .

(17)

Erwartungswert

Linearität des Erwartungswerts

Satz 6.10 (Linearität des Erwartungswerts) Seien X ₁ , . . . , X _n Zufallsvariablen und a ₁ , . . . , a _n ∈ R beliebige Zahlen.

Für die Zufallsvariable X = a ₁ X ₁ + . . . + a _n X _n gilt:

Exp [ X ] = a ₁ · Exp [ X ₁ ] + . . . a _n · Exp [ X _n ] .

Erwartungswert

Multipikativität des Erwartungswerts

Satz 6.12 (Multiplikativität des Erwartungswerts) Für unabhängige Zufallsvariablen X ₁ , . . . , X _n gilt

Exp [ X ₁ · . . . · X _n ] = Exp [ X ₁ ] · . . . · Exp [ X _n ] .

(18)

Varianz und Standardabweichung

Definition 7.2 (Varianz) Sei X eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ = Exp [X].

Die Varianz Var [ X ] von X ist definiert als Var [ X ] = Exp [

( X − µ) ² ]

= ∑

x ∈ W

_X

( x − µ) ² · Pr [ X = x ] .

Definition 7.3 (Standardabweichung) Die Standardabweichung (Streuung) von X ist definiert als

σ X = √

Var [X].

Berechnung der Varianz

Satz 7.6 Für eine beliebige Zufallsvariable X gilt Var [X] = Exp [

X ² ]

− Exp [X] ² .

(19)

Varianz einer linearen Funktion

Satz 7.8 Für eine beliebige Zufallsvariable X und a, b ∈ R gilt Var [a · X + b] = a ² · Var [X] .

Varianz unabhängiger Zufallsvariablen

Satz 7.10 Seien X ₁ , . . . , X _n unabhängige Zufallsvariablen. Sei X = X ₁ + . . . + X _n . Dann gilt:

Var [ X ] = Var [ X ₁ ] + . . . + Var [ X _n ] .

(20)

Diskrete Verteilungen Gleichverteilung

Gleichverteilung

Eine Zufallsvariable X mit W _X = {1, 2, . . . , n}, n ∈ N , ist gleichverteilt, falls

f _X ( k ) = 1 n für alle k ∈ {1, 2, . . . , n}.

Es gilt:

• Exp [ X ] = ⁿ⁺¹ ₂

• Var [ X ] = ⁿ

²

₁₂ ⁻¹

Diskrete Verteilungen Gleichverteilung

Bernoulli-Verteilung

Eine Zufallsvariable X mit W _X = {0, 1} ist Bernoulli-verteilt mit dem Parameter p, 0 ≤ p ≤ 1, symbolisch X ∼ Ber(n, p), falls

f _X ( x ) =

{ p x = 1, 1 − p x = 0.

Es gilt:

• Exp [X] = p

• Var [ X ] = p − p ²

(21)

Diskrete Verteilungen Binomialverteilung

Binomialverteilung

Eine Zufallsvariable X mit W _X = {0, 1, 2, . . . , n} ist binomialverteilt mit den Parametern n und p, symbolisch X ∼ Bin(n, p), falls

Pr [X = k ] = ( n

k )

p ^k (1 − p) ^n−k für alle k = 0, 1, 2, . . . , n.

Es gilt:

• Exp [X] = n · p

• Var [ X ] = n · p · ( 1 − p )

Binomialverteilung (Forts.)

(22)

Binomialverteilung (Forts.)

Satz 9.1 Wenn X ∼ Bin ( n _X , p ) und Y ∼ Bin ( n _Y , p ) , dann gilt für Z = X + Y, dass Z ∼ Bin(n _X + n _Y , p).

Diskrete Verteilungen Geometrische Verteilung

Geometrische Verteilung

Eine Zufallsvariable X mit W _X = N ist geometrisch verteilt mit dem Parameter p, symbolisch X ∼ Geo ( p ) , falls

Pr [ X = k ] = ( 1 − p ) ^k−1 · p für alle k ∈ N .

Es gilt:

• Exp [X] = ¹ _p

• Var [X] = ^1−p _p

2

(23)

Geometrische Verteilung (Forts.)

Satz 9.2 (Gedächtnislosigkeit) Falls X ∼ Geo ( p ) , dann gilt

Pr [ X > y + x | X > x] = Pr [X > y] .

(24)

Diskrete Verteilungen Poisson Verteilung

Poisson Verteilung

Eine Zufallsvariable X mit W _X = N ⁰ ist Poisson verteilt mit dem Parameter λ, symbolisch X ∼ Poi(λ), falls

Pr [ X = k ] = e ^−λ λ ^k k ! für alle k ∈ N ⁰ .

Es gilt:

• Exp [X] = λ

• Var [ X ] = λ

Poisson Verteilung (Forts.)

(25)

Poisson Verteilung (Forts.)

Gesetz der seltenen Ereignisse: Für alle λ ∈ N gilt:

n lim →∞

( n k

) ( λ n

) k (

1 − λ n

) n−k

= λ ^k k! e ^−λ

Poisson Verteilung (Forts.)

Satz 9.5 Summe von Poisson Verteilungen Seien X ₁ , . . . , X _n unabhängige Zufallsvariablen, wobei X _i ∼ Poi(λ _i ) für alle i = 1, . . . , n.

Sei X = X ₁ + . . . + X _n . Dann gilt: X ∼ Poi (λ 1 + . . . + λ n ) .

(26)

Diskrete Verteilungen Hypergeometrische Verteilung

Hypergeometrische Verteilung

Seien N, M, n näturliche Zahlen mit der Eigenschaft M ≤ N und n ≤ N.

Die Zufallsvariable X ist hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, M und n (symbolisch: X ∼ Hyp ( N , M , n ) ), falls

Pr [ X = k ] = ( _M

k

)( _N−M

n−k

) ( _N

n

)

für alle k ∈ {0, 1, . . . , n}.

Es gilt:

• Exp [X] = ⁿ _N ^· ^M

• Var [ X ] = ⁿ ^· _N ^M (

1 − ^M _N ) _N−n

N−1

Diskrete Verteilungen Hypergeometrische Verteilung

Hypergeometrische Verteilung (Forts.)

(27)

Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten Markov Ungleichung

Markov Ungleichung

Satz 10.1 (Markov Ungleichung) Sei X eine Zufallsvariable, die nur nicht-negative Werte annimmt.

Dann gilt für alle t ∈ R mit t > 0, dass

Pr [X ≥ t ] ≤ Exp [X]

t . Äquivalent:

Pr [ X ≥ t · Exp [X]] ≤ 1 t .

Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten Ungleichung von Chebyshev

Ungleichung von Chebyshev

Satz 10.2 (Ungleichung von Chebyshev) Sei X eine Zufallsvariable und t ∈ R mit t > 0.

Dann gilt

Pr [ |X − Exp [X] | ≥ t ] ≤ Var [X]

t ² .

(28)

Stetige Zufallsvariablen Einführendes Beispiel

Beispiel Glücksrad

4 8 5

1 2

10

7

12 6 11

9 3

ϕ

Stetige Zufallsvariablen Definition

Stetige Zufallsvariable

Definition 11.2 (Stetige Zufallsvariable)

Eine stetige Zufallsvariable X ist definiert durch eine integrierbare Dichtefunktion f _X : R 7→ R ⁺ 0 mit der Eigenschaft

∫ _∞

− ∞

f _X (x) dx = 1.

Die zu f _X gehörende Verteilungsfunktion F _X ist definiert als F _X ( x ) = Pr [ X ≤ x ] =

∫ x

− ∞

f _X ( t ) dt

(29)

Stetige Zufallsvariablen Definition

Ereignis

Definition 11.3 (Ereignis) Sei X eine stetige Zufallsvariable.

Eine Menge A ⊆ R , die durch Vereinigung A = ∪

k I _k abzählbar vieler paarweise disjunkter Intervalle beliebiger Art (offen, halboffen,

geschlossen, einseitig unendlich) gebildet werden kann, heißt Ereignis.

Das Ereignis A tritt ein, wenn X einen Wert aus A annimmt. Die Wahrscheinlichkeit von A ist definiert als

Pr [ A ] =

∫

A

f _X ( x ) dx = ∑

k

∫

I

_k

f _X ( x ) dx.

Stetige Zufallsvariablen Erwartungswert und Varianz

Erwartungswert und Varianz

Definition 11.7 (Erwartungswert und Varianz)

Sei X eine stetige Zufallsvariable. Der Erwartungswert von X ist Exp [ X ] =

∫ _∞

− ∞

t · f _X ( t ) dt, falls das Integral ∫ _∞

− ∞ |t| · f _X ( t ) dt endlich ist.

Die Varianz von X ist

Var [X] = Exp [

(X − Exp [X]) ² ]

=

∫ _∞

− ∞

(t − Exp [X]) ² f _X (t) dt, wenn Exp [

(X − Exp [X]) ² ]

existiert.

(30)

Stetige Zufallsvariablen Erwartungswert und Varianz

Formel zur Berechnung des Erwartungswerts

Satz 11.8 Sei X eine stetige Zufallsvariable und sei g : R 7→ R eine Abbildung. Für die Zufallsvariable Y = g(X) gilt:

Exp [ Y ] =

∫ _∞

− ∞

g ( t ) · f _X ( t ) dt.

Stetige Verteilungen Gleichverteilung

Gleichverteilung

Die stetige Zufallsvariable X ist gleichverteilt über dem Intervall [a, b], wobei a < b, falls sie die Dichte

f _X (x) = { 1

b−a x ∈ [a; b], 0 sonst.

besitzt. Die entsprechende Verteilung ist:

F _X (x) =

 



 

0 x < a,

x−a

b−a a ≤ x ≤ b, 1 x > b.

Es gilt:

• Exp [ X ] = ^a+b ₂

• Var [X] = ^(a−b)

²

(31)

Stetige Verteilungen Normalverteilung

Normalverteilung

Eine stetige Zufallsvariable X ist normalverteilt mit den Parametern µ ∈ R und σ ∈ R , symbolisch X ∼ N (µ, σ ² ), falls sie die Dichte

f _X (x) = 1

√ 2πσ ² · exp (

− (x − µ) ² 2σ ²

)

besitzt. Hierbei ist exp(x) = e ^x . Anstatt f _X (x) schreibt man auch φ( x ; µ, σ) .

N ( 0, 1 ) nennt man die Standardnormalverteilung.

Normalverteilung (Forts.)

Die Verteilungsfunktion von X ∼ N (µ, σ ² ) ist

Φ(x; µ, σ) = 1

√ 2πσ ²

∫ x

− ∞

exp (

− (t − µ) ² 2σ ²

) dt

Diese Funktion nennt man Gauß’sche Phi-Funktion. Falls µ = 0 und σ = 1, dann schreibt man kurz Φ(x).

Es gilt:

• Exp [ X ] = µ

• Var [ X ] = σ ²

(32)

Normalverteilung (Forts.)

Transformation einer Normalverteilung

Satz 12.2 Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit X ∼ N (µ, σ ² ).

Dann gilt für beliebige a ∈ R − {0} und b ∈ R , dass Y = aX + b

normalverteilt ist mit Y ∼ N (aµ + b, a ² σ ² ).

(33)

Additivität der Normalverteilung

Satz 12.5 (Additivität der Normalverteilung) Die

Zufallsvariablen X ₁ , . . . , X _n seien unabhängig und normalverteilt mit den Parametern µ i und σ i für i = 1, . . . , n.

Dann ist die Zufallsvariable

Z = a ₁ X ₁ + . . . + a _n X _n

normalverteilt mit Erwartungswert µ = a ₁ µ 1 + . . . + a _n µ n und Varianz σ ² = a ² ₁ σ ² ₁ + . . . + a ² _n σ ² _n .

Stetige Verteilungen Exponentialverteilung

Exponentialverteilung

Eine Zufallsvariable X ist exponentialverteilt mit Parameter λ ∈ R , symbolisch X ∼ EX P (λ), falls sie die Dichte

f _X ( x ) =

{ λ · e ^−λx x ≥ 0,

0 sonst

besitzt.

Die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariable X ist für x ≥ 0

F _X (x) =

∫ x 0

αe ^−λt dt = 1 − e

^−λx

.

Für x < 0 ist F _X ( x ) = 0.

(34)

Exponentialverteilung (Forts.)

Angenommen, X ∼ Exp (λ) . Dann gilt:

• Exp [X] = ¹ _λ

• Var [ X ] = _λ ¹

2

Exponentialverteilung (Forts.)

(35)

Multiplikation mit einer Konstanten

Satz 12.7 Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter λ.

Für jedes a > 0 ist die Zufallsvariable Y = aX exponentialverteilt mit Parameter ^λ _a .

Gedächtnislosigkeit

Satz 12.8 (Gedächtnislosigkeit) Eine stetige Zufallsvariable X mit Wertebereich R ⁺ ist genau dann exponentialverteilt, wenn für alle x, y > 0 gilt:

Pr [ X > x + y | X > y ] = Pr [ X > x ] .

(36)

Minimum exponentialverteilter Zufallsvariablen

Satz 12.9 Gegeben sind die paarweise unabhängigen Zufallsvariablen X ₁ , . . . , X _n .

Angenommen, X _i ist exponentialverteilt mit Parameter λ i für i = 1, . . . , n.

Dann ist die Zufallsvariable X = min{X ₁ , . . . , X _n } exponentialverteilt mit dem Parameter λ 1 + . . . + λ n .

Grenzwertsätze Der Zentrale Grenzwertsatz

Der Zentrale Grenzwertsatz

Satz 13.1 (Zentraler Grenzwertsatz) Angenommen, die

Zufallsvariablen X ₁ , . . . , X _n besitzen jeweils dieselbe Verteilung und seien unabhängig. Erwartungswert und Varianz von X _i existieren für i = 1, . . . , n und seien mit µ bzw. σ ² bezeichnet, wobei σ ² > 0 gelten soll.

Betrachte die Zufallsvariablen Y _n = X ₁ + . . . + X _n für n ≥ 1.

Es gilt: Die Folge der Zufallsvariablen Z _n = Y _n − nµ

√ σ ² n

konvergiert gegen die Standardnormalverteilung. Formal: Für alle x ∈ R gilt:

n lim →∞ Pr [ Z _n ≤ x ] = Φ( x ).

(37)

Grenzwertsätze Grenzwertsatz von DeMoivre

Grenzwertsatz von DeMoivre

Satz 13.3 (Grenzwertsatz von DeMoivre) Die Zufallsvariablen X ₁ , . . . , X _n seien Bernoulli-verteilt mit gleicher

Erfolgswahrscheinlichkeit p. Dann gilt für die Zufallsvariable H _n = X ₁ + . . . + X _n ,

dass die Verteilung der Zufallsvariablen Z _n = H _n − np

√ np ( 1 − p )

für n → ∞ gegen die Standardnormalverteilung konvergiert.

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik