Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis

Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz

WS 2014/2015 03.11.2014

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

3. Übungsblatt

Aufgabe 13 (Übung)

a) Die Folge (a_n) sei definiert durcha_n:=_n+1²ⁿ . Beweisen Sie die Konvergenz von (a_n) gegen einaüber die Definition, indem Sie zu jedemε >0 einn₀(ε) finden mit |a_n−a|< εfür alle n>n₀(ε).

b) Sei (a_n) eine Folge, die gegenakonvergiert. Zeigen Sie, dass die Folge (α_n), definiert durch α_n:= inf{a_k: k>n}monoton wachsend gegenakonvergiert.

Aufgabe 14 (Tutorium)

a) Zeigen Sie: Istb∈Cmit |b|>1, so divergiert (bⁿ).

b) Beweisen Sie: Ist (a_n) eine Folge, so gilt: (a_n) ist konvergent⇒(a_n) ist beschränkt.

c) Die Folge (a_n) sei rekursiv definiert durcha₁:=

√

2,a_n+1:=√

2 +a_nfürn∈N. Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe 15 (Übung)

Zeigen Sie die folgenden Aussagen.

a) Istpein (komplexes) Polynom, so folgt

pn

|p(n)| →1 (n→ ∞).

b) Istk∈Nundz∈Cmit |z|>1, so gilt

n^k

zⁿ →0 (n→ ∞).

Aufgabe 16 (Tutorium)

Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (a_n) auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.

a) a_n= P_n

k=1k n² .

b) a_n=

√

9n²+ 2n+ 1−3n.

c) a_n= 3 + 4i 5

!n

.

d) a_n=(n+ 2)⁴²−n⁴² n⁴¹ .

e) a_n=1 +n³−2n⁴ n3ⁿ−4n² .

f) a_n= 1−1 n

!n

.

HM1PHYS–3 03.11.2014 — bitte wenden —

g) a_n= 1 + 1 n²

!n

.

h) a_n= ⁿ

√ n!.

i) a_n= Yn

k=2

1− 1 k²

! .

j) a_n= ⁿ

√

aⁿ+bⁿ+cⁿ, a, b, c>0.

Aufgabe 17 (Übung)

Zeigen Sie die folgenden Aussagen über eine beliebige Folge (a_n).

a) Konvergieren die beiden Teilfolgen (a_2k) und (a_2k+1) gegen denselben Grenzwerta, so konvergiert auch (a_n) gegena.

b) aist ein Häufungswert von (a_n)⇔Es existiert eine Teilfolge (a_nk) von (a_n) mita_nk →afür k→ ∞.

c) (a_n) ist konvergent⇔(a_n) ist eine Cauchyfolge.

Aufgabe 18 (Tutorium)

a) Sei (a_n) eine Folge und die Teilfolgen (a_2k), (a_2k+1) und (a_3k) konvergieren. Beweisen oder widerlegen Sie (durch ein Gegenbeispiel), dass (a_n) konvergiert.

b) Finden Sie Beispiele für Folgen mit den folgenden Eigenschaften:

(i) (a_n) hat genau die Zahlen 1 und−1 als Häufungswerte.

(ii) (b_n) hat jede natürliche Zahl als Häufungswert.

(iii) (c_n) hat keinen Häufungswert und ist weder nach oben noch nach unten beschränkt.

(iv) (d_n) konvergiert gegen 2014, ist aber nicht monoton.

(v) (e_n) hat 0 als einzigen Häufungswert, jedoch konvergiert (e_n)_n∈Nnicht.

HM1PHYS–3 03.11.2014