Mögliche Variationen durch

Hinweise zu den nachfolgenden Anhängen:

Die Anhänge haben unterschiedlichen Charakter. Manche dienen nur der Ver- deutlichung allgemeiner Argumentationen (z.B. 1, 4-6, 21-24, 48-50). Das schließt nicht aus, daß sie auch als Planungshintergrund für entsprechende Un- terrichtseinheiten dienen können (Ausnahmen: 4, 5). Zugehörige Erfahrungen sind aber noch nicht repräsentativ. Anhang 2 ist eine Zusammenstellung von Va- riationen, wie sie in einer amerikanischen Versuchsklasse beobachtet wurden (D. Brutlag in Brown; Walter 1993). Die Anhänge 11, 12, 14, 55, 56 und 62 ent- stammen dem Unterricht von Mitgliedern der Planungsgruppe, Anhang 7 liegt eine Mathematikstunde in einer Saarbrücker Grundschule zugrunde. Nachträg- lich: Auch Beispiel 1 zeigt Variationen, wie sie einer von uns in mehreren Klas- sen 7-9, auch in zwei Oberstufenkursen veranlaßt hat, übrigens mit unterschied- lichem Anklang (von verbreitetem Desinteresse über ungeteilte Aufmerksamkeit bis zu einhelliger Begeisterung). Die Anhänge 18, 25, 39 und 42 kommen aus der Arbeit mit Lehramtskandidaten, Anhang 26 aus einer Lehrerfortbildungsver- anstaltung (wobei die Initialaufgabe in einem mitgebrachten Schulbuch zufällig gewählt wurde). Den Anhängen 10, 16, 20, 31, 33, 37, 52 und 53 liegen Planun- gen und Erfahrungen aus dem Unterricht zugrunde.

Indessen stellt eines all dieser Beispiele konkreten Unterricht dar, und keines kann unmittelbar als roter Faden für einen solchen Unterricht dienen. Schon deshalb nicht, weil die jeweiligen Varianten beim Aufschreiben linear hinterein- andergefügt werden müssen, im Unterricht aber als bloße Vorschläge gesammelt und vorstrukturiert werden sollten (s.

5

).

Anders die Anhänge 54-62. Dies sind nachträgliche Protokolle von Kollegen über Unterrichtseinheiten, die dem Variieren dienten. Ohne Musterstunden zu sein, zeigen sie (in je eigener Dokumentationsweise), daß ein solcher Unterricht möglich und sinnvoll ist. Der Leser fühle sich aufgefordert, uns weitere Bei- spiele (beiderlei Art) zur Verfügung zu stellen.

In diesem Zusammenhang weisen wir auch auf einen Unterrichtsbericht von Ulshöfer 1998 hin, der sich auf die Variation einer Aufgabe zur Kombinatorik in Klasse 10 bezieht. Sie ist außerhalb unseres Projekts und fast zufällig, jedenfalls situationsbedingt entstanden, entspricht aber im Verlauf und der nachträglichen Reflexion völlig unserer Intention. Auch die Variationen über eine klassische Extremwertaufgabe (Heuß 1999) sind hier zu nennen.

Auf eine einheitliche Darstellung unserer Variationsbeispiele haben wir bewußt verzichtet. Jedoch ist bei fast jeder Variante hervorgehoben, welcher Teil der Ausgangsaufgabe (des „Themas“) oder einer früheren Variation abgeändert wurde und welche Strategie dieser Änderung explizit oder implizit zugrunde liegt.

Weitere Beispiele bis hin zu originalen Variationsleistungen einzelner Schüle- rinnen und Schüler finden sich in Henning; Leneke 2000.

Anhang 1: Parallelogrammdrittelung

Initialaufgabe:

Ein Parallelogramm soll von einer Ecke aus durch 2 Geraden in 3 inhaltsgleiche Teilflächen zerlegt werden.

Lösung:

Die zugehörige Diagonale halbiert die Parallelogrammfläche. Darum braucht man jedes der beiden Teildreiecke nur noch geeignet zu dritteln.

Mögliche Variationen durch

Verallgemeinern:

V a) Zerlegung durch n Geraden in n+1 inhaltsgleiche Teilflächen

V b) Zerlegung von irgendeinem Punkt der Ebene aus (außen, auf dem Rand, innen (?))

V c) Zerlegung eines (allgemeinen) Vierecks V d) Zerlegung durch Streckenzüge

Spezialisieren:

S a) Zerlegung eines Rechtecks, einer Raute, eines Quadrats S b) wie V b), aber von einem Seitenmittelpunkt aus

Analogisieren:

A a) Zerlegung eines Kreises

A b) Zerlegung eines Spates (Quaders) durch Ebenen von einer Kante (Ecke) aus

A c) Zerlegung durch zwei Geraden parallel zu einer gegebenen Geraden A d) Dreiteilung des Parallelogrammrandes

A e) Dreiteilung von einer Diagonale her

A f) Dreiteilung mittels zweier Kreisbögen von gegenüberliegenden Ecken aus Zerlegen und Zusammensetzen:

Z a) Zusätzliche Zerlegung von der Gegenecke her. Frage nach Teil- und In- haltsverhältnissen

Z b) Kombination von V a) und V b)

Z c) Kombination zweier Zerlegungen nach A c) mit Seiten als Richtgeraden

Anhang 2: Zahlenspiel

Initialaufgabe:

Nimm eine vierziffrige natürliche Zahl, bei der alle Ziffern verschieden sind.

Stelle die Ziffern so um, daß einmal eine möglichst große und zum anderen eine möglichst kleine Zahl entsteht. Subtrahiere die zweite von der ersten neugebil- deten Zahl. Verfahre mit der Differenz in gleicher Weise usw.

Lösung:

Man landet stets bei 6174. Diese Zahl wiederholt sich dann ständig: 7641 – 1467

= 6174 .

Mögliche Variationen durch

Analogie:

A a) Beginne mit einer dreiziffrigen Zahl.

(Man landet stets bei 495.)

A b) Nimm eine dreiziffrige Zahl. Verdopple jede Ziffer. So kommst Du zu einer neuen dreiziffrigen Zahl. Nimm notfalls die Quersumme der verdoppelten Ziffer.

(Nach genau 6 Schritten erscheint wieder die Ausgangszahl.)

A c) Nimm eine dreiziffrige Zahl. Stelle die Einerziffer voran. Erhöhe die neue Einerziffer um 2. Wenn diese Summe zweiziffrig ist, so nimm nur deren Einerziffer.

(Nach genau 15 Schritten erhält man wieder die Ausgangszahl.)

A d) Nimm eine dreiziffrige Zahl. Wenn sie durch 3 teilbar ist, so teile sie durch 3. Andernfalls nimm das Quadrat der Quersumme.

(Entweder landet man bei 1 oder beim Zyklus 169 - 256.) Verallgemeinerung:

Bildet man aus einer natürlichen Zahl nach irgendeiner festen Vorschrift eine neue Zahl mit gleichvielen Ziffern, so landet man schließlich bei einer be- stimmten Zahl oder bei einem Zyklus.

(Nachweis über das Schubfachprinzip: Verteilt man m (> n) Objekte irgendwie auf n Fächer, so liegen in mindestens einem Fach zwei oder mehr dieser Objek- te.)

Anhang 3: Kreisgleichung

Initialproblem:

Wie läßt sich ein Ursprungskreis analytisch charakterisieren?

Lösung:

{P(x;y)| x² + y² = r²} oder kurz x² + y² = r² ( mit r ∈ ⁺)

Sich anbietende Variationen

(einfache Erweiterungen, Alternativen):

Wie läßt sich ein Kreis mit Mittelpunkt M ≠ Ursprung O charakterisieren?

Läßt sich der Ursprungskreis noch anders charakterisieren? Elementargeome- trisch? Als Funktionsgraph? Als Vereinigung von Funktionsgraphen? Mit Polar- koordinaten? Als Parameterfunktion?

Naheliegende Variationen

(Analogien, Kontextwechsel):

Wie läßt sich eine Tangente an einen Ursprungskreis charakterisieren? Wie eine Ellipse? Welche Punktmenge verbirgt sich hinter x² − y² = r² ? Hinter x² ⋅ y² = r² und hinter x² : y² = r² ?

Ungewöhnliche Variationen

(Erweiterungen und Verallgemeinerungen):

Was für eine Punktmenge wird durch x³ + y³ = r³ dargestellt? Kann man sie noch anders darstellen? Welche Eigenschaften hat sie?

Wie sieht die Schar xⁿ + yⁿ = rⁿ aus ? Welche Eigenschaften hat sie?

(Hierzu ein leicht zu erstellendes Computerbild.

) Was ergibt sich für x^-1 + y^-1 = r^-1 ? Für x + y = r ? Für [x] + [y] = [r] ? Allgemein für f(x) + f(y) = f(r ) , wobei f für irgendeine Funktion steht?

Anhang 4: Schulbuchseite

Original:

Zu 6.:

Wie ist das, wenn die Temperaturen um 5° sinken? Um 3° steigen? Erst um 4°

steigen und dann um 6° fallen?

Wo ist es am kältesten, wo am wärmsten? Warum?

Um welche Jahreszeit könnte es sich handeln?

Gibt es vergleichbare Situationen?

Zu 7.:

Bilde Dir weitere solche Aufgaben!

Ersetze die Zahlen ganz oder teilweise durch ihre Gegenzahlen! Was fällt auf?

Ersetze − durch + !

Wandle mindestens eine Aufgabe in eine Textaufgabe um!

Zu 8.:

Berechne 3 − x für x ∈ {−3;−2;...;2;3} ! Berechne x − 3 für die angegebenen Zahlen.

Welche Zahl muß man für x einsetzen, damit sich −3 (−1;0;1;3) ergibt?

Was passiert, wenn x wächst (fällt)?

Zu 9.:

Kann man noch anders prüfen? Auch mit dem Taschenrechner?

Gib dem Nachbarn eine (richtige oder falsche) Gleichung und lasse sie ihn prü- fen. Prüfe selbst dessen Aufgabe !

Zu 10.:

Wie kann man sich durch eine Zeichnung helfen?

Ändere die Zahlen jeder Aufgabe so ab, daß auch jeweils die anderen Zeichen passen !

Ordnungszeichen einsetzen und Rechenzeichen offen lassen !

Zu mindestens einer Teilaufgabe eine „Rechengeschichte“ entwerfen ! Zu W1.:

Untersuche auch andere (Verkehrs) Zeichen auf Achsensymmetrie.

Welche dieser Zeichen sind auch punktsymmetrisch (drehsymmetrisch)?

Untersuche in dieser Weise auch die Spielbretter von bekannten Spielen ! Eben- so die Embleme der Bundesligavereine !

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Punkt- und Achsensymmetrie einer Figur?

Zu W2.:

Untersuche auch alle anderen Buchstaben auf Achsensymmetrie !

Welche dieser Buchstaben sind punktsymmetrisch (drehsymmetrisch)?

Untersuche so auch alle Ziffern !

Bilde symmetrische Wörter und Zahlen !

Kriegst Du sogar einen symmetrischen Satz hin?

Anhang 5: Schulbuchseite

Original:

Zu 4.:

So zerschneiden und aneinanderlegen, daß ein Rechteck entsteht, bei dem keine Seite so lang ist wie a oder b !

.., bei dem eine Seite so lang ist wie a und die andere so lang wie b ! So zerschneiden und aneinanderlegen, daß ein Quadrat entsteht ! Wie hilft man sich bei einem überschrägen Parallelogramm?

Zu 5.:

Bilde aus den angegebenen Punkten noch weitere Vierecke und untersuche sie auf Parallelogrammeigenschaft !

Wie viele verschiedene Vierecke kann man überhaupt aus den angegebenen Punkten bilden?

Wie kann man den Flächeninhalt derjenigen Vierecke bestimmen, die keine Par- allelogramme sind?

Wie kann man schnell, ohne zu zeichnen, die Koordinaten von vier Punkten an- geben, die ein Parallelogramm bilden? Auch dann, wenn keine Seite parallel zu den Koordinatenachsen liegt?

Zu 6.:

a) Zeichne noch einige dieser Parallelogramme im Streifen dazu. Was gilt für sie? Warum?

b) Welches aller dieser Parallelogramme hat den größten Umfang?

Und weiter:

Wie sehen alle Parallelogramme aus, die mit einem Rechteck den Flächeninhalt und eine Seite gemeinsam haben?

... den Umfang und eine Seite gemeinsam haben?

Wie ist das bei Dreiecken?

Und bei geraden und schiefen Quadern?

Zu W1.:

Darf man wirklich so rechnen?

Was bekommt man für 10 DM?

Ab 17 Uhr verkauft der Händler die Pfirsiche mit 10% Ermäßigung. Was kostet das Kilo jetzt?

Um 18.15 Uhr kauft Frau Meier den verbliebenen Rest: 6 kg. Der Händler gibt ihn ihr für 7,50 DM. Welchen Kilopreis hat sie bezahlt?

Zuhause muß sie leider 1,5 kg faule Pfirsiche in den Müll geben. Rechne erneut!

Zu W2.:

Was hätte Daniel sagen müssen,

- wenn in die erste Vorstellung 100 Personen - in die zweite Vorstellung 200 Personen

- in die letzte Vorstellung 150 Personen gekommen wären?

Sind drei Besucherzahlen denkbar, bei denen die beiden Prozentzahlen gleich sind?

Anhang 6: Weltbevölkerung

Initialproblem:

Nach Berechnungen der UNO hat die Weltbevölkerung am 12. Oktober 1999 die 6-Milliarden-Grenze erreicht. Gegenwärtig kommen jährlich etwa 1,3 % da- zu. Wie viele Menschen werden in 10 Jahren leben?

Rechnung und Lösung:

6⋅1,013¹⁰ = 6,82...

Dann werden knapp 7 Milliarden Menschen leben.

Mögliche Variationen:

Wie viele Menschen werden in 20 Jahren leben? (geringfügig ändern) Wann werden 10 Milliarden Menschen leben? (Bedingungen vertauschen) Wann wird sich die Menschheit verdoppelt haben? (umzentrieren)

Wie viele Menschen kommen in einem Jahr, an einem Tag, in einer Sekunde dazu? (umzentrieren)

Wann wird jeder Mensch nur noch 1 m² Platz auf der Erde haben? (final fragen) Vor wie vielen Jahren haben 2 Milliarden Menschen gelebt? (Denkrichtung um- kehren)

Wann haben Adam und Eva gelebt? (überspitzt fragen) Kann das denn wirklich stimmen? (nachfragen)

Was muß an der Einstiegsaufgabe und an den Variationen geändert werden?

(Aufgabe realistischer machen)

Wie wird sich die Weltbevölkerung in Wirklichkeit entwickeln? Wie bekomme ich Informationen darüber? (z.B. im Internet über www.dsw-online.de oder in der Tageszeitung¹)

1 DPA-Meldung vom 28.2.2001: „Bis zum Jahr 2050 wird die Weltbevölkerung von derzeit 6,1 Milliarden auf mehr als 9,3 Milliarden Menschen anwachsen. Zu diesem Ergebnis kommt ein Bericht der Abteilung für Wirtschaft und Soziales der Vereinten Nationen, der am Mitt-

(nichtmathematische Lösungswege beschreiten, aktuelle Daten beschaffen) Wie ist das in Deutschland, in Industrieländern, in der dritten Welt, in China?

(spezifizieren)

Wie ist das, wenn die Vermehrungsrate nicht konstant bleibt? (Konsequenzen überdenken)

Wie sollte die Bevölkerungsentwicklung in Zukunft vor sich gehen? Sind noch andere Modelle (statt konstanter prozentualer Vermehrung) denkbar? Wie kann man die Entwicklung beeinflussen? (anders modellieren und Alternativen disku- tieren)

woch in New York veröffentlicht wurde. Demnach wächst die Weltbevölkerung zur Zeit um 1,2% im Jahr.“ (Das „Demnach“ bezieht sich offensichtlich auf den Bericht (der von sinken- der Wachstumsrate ausgeht), nicht auf die vorab genanten Zahlen, aus denen (bei angenom- mener Konstanz) eine Wachstumsrate von 0,85 % folgen würde.)

Anhang 7: Summanden gesucht

Initialaufgabe:

3 + 5

Lösung:

8

Mögliche Variationen durch

Umkehrung: Gib noch andere „Plus-Aufgaben“ an mit dem Ergebnis 8.

Wie viele gibt es?

Analogie: Wie ist das mit dem Ergebnis 6,7, 9,10?

Kann man der Zahl ansehen, wie viele „Plus-Aufgaben“ es dazu gibt? (Anschlußfrage stellen)

Analogie: Finde „Minus-Aufgaben“ mit dem Ergebnis 8.

Wie viele gibt es?

Warum gibt es viel mehr als „Plus-Aufgaben“?

Analogie: Nenne „Mal-Aufgaben“ mit dem Ergebnis 8.

Wie viele gibt es? Welche gehören zusammen?

Umzentrierung: Gib eine Zahl an, die mehr „Mal-Aufgaben“ hat als 8.

Gib eine Zahl an, die möglichst viele „Mal-Aufgaben“ hat.

Analogie: Gib eine Zahl an, die weniger „Mal-Aufgaben“ hat als 8.

Gib eine Zahl an, die möglichst wenige „Mal-Aufgaben“ hat.

Anhang 8: Drahtmodell

Initialaufgabe:

Aus Draht soll ein Quader hergestellt werden, der 15 cm lang, 8 cm breit und 4 cm hoch ist. Wieviel Draht braucht man dazu?

Lösung:

Man braucht 4 ⋅ (15 cm + 8 cm + 4 cm) = 108 cm Draht.

Mögliche Variationen:

a)

Abänderung der Seitenlängen Strategie: geringfügig ändern

b)

Frage nach Oberflächeninhalt und Volumen dieses Quaders Strategie: übliche Fragen stellen

c)

Der Draht steht in Form von

15 cm langen Stäben zur Verfügung. Wie viele davon braucht man?

Strategie: Bedingungen erschweren (Man braucht 8 Stäbe.)

d)

Aus 108 cm Draht soll ein Quader hergestellt werden, der so lang ist wie breit und halb so hoch. Welche Maße muß dieser Quader haben?

Strategie: Gegebene und gesuchte Größen vertauschen (27cm = 10,8 cm + 10,8 cm + 5,4 cm)

Hinweis: Diese Maße können durch systematisches Probieren gefunden werden.

e)

α) Welche verschiedenen Quader kann man aus 108 cm Draht herstellen?

β) Ist ein Würfel darunter ?

Strategie: Richtung umkehren, Frage spezialisieren

(α) alle Quader, bei denen die Summe der von derselben Ecke ausgehenden Kanten 27 cm beträgt

β) ja, mit Kantenlänge 9 cm )

f)

Wie oft muß man mindestens (höchstens) löten?

Strategie: Kontext beachten

(mindestens 8-mal (einmal an jeder Ecke), höchstens 16-mal (zweimal an jeder Ecke (genügende Drahtlängen vorausgesetzt))

g)

Wie viele Drahtstücke müssen mindestens (höchstens) verlötet werden?

Strategie: Kontext beachten

(mindestens 4, höchstens 12 Drahtstücke (genügende Länge vorausgesetzt)

h)

Derselbe Quader soll aus Pappe hergestellt werden. Wieviel Pappe braucht man dazu?

Strategie: analogisieren

(2 ⋅ (15⋅8 cm² + 15⋅4 cm² + 8⋅4 cm²) = 424 cm² )

Hinweis: Hierbei sind die Klebefalzen vernachlässigt worden.

i)

Wie

h)

. Doch soll das Quadernetz aus einem rechteckigen Stück Pappe ausgeschnitten werden. Wie groß muß dieses Rechteck mindestens sein ? Strategie: sinnvoll machen

(Mindestseitenlängen: 24 cm und 23 cm)

j)

Aus Draht soll eine quadratische Pyramide hergestellt werden. Die Man- telkanten sollen die Länge 5 cm haben, die Quadratkanten die Länge 6 cm . Wieviel Draht wird benötigt?

Strategie: analogisieren

k)

Anwendung der Fragestellungen

b)-j)

auf die quadratische Pyramide (so- weit sinnvoll bzw. möglich)

Strategie: Variationen kombinieren

l)

Welcher Quader aus 108 cm Draht hat das größte Volumen (den größten Oberflächeninhalt)?

Strategie: umzentrieren

(In beiden Fällen der Würfel. Das kann zwar elementar bewiesen werden¹, doch noch nicht innerhalb der geometrischen Propädeutik, zu der die Initial- aufgabe gehört. Hier genügt das Plausibelmachen durch Vergleich mit aus- gewählten Quadern.)

m)

Welcher Quader, dessen Netz aus einem Stück Pappe mit den Seitenlängen 24 cm und 23 cm hergestellt werden soll, hat das größte Volumen?

Strategie: Variationen kombinieren (

i)

mit

l)

)

(Die exakte Lösung (Seitenlängen 15,18.. cm, 8,08.. cm, 3,91.. cm) ist nur mittels Differentialrechnung erreichbar. Doch kann man sich durchaus mit der ungefähren ganzzahligen Lösung 15 cm, 8 cm, 4 cm zufriedengeben, die sich durch Vergleich (und durch den Ausgangsquader) aufdrängt.)

Anhang 9: Abfüllen in Flaschen

Initialaufgabe

(aus einem Schulbuch ²):

66 l Apfelsaft werden in ½-l-Flaschen und ¾-l-Flaschen abgefüllt. Es sind drei- mal so viel ¾-l-Flaschen wie ½-l-Flaschen. Wie viele Flaschen sind es von jeder Sorte?

Lösung:

Drei ¾-l-Flaschen und eine ½-l-Flasche nehmen 2 ¾ l Apfelsaft auf.

66 11 4 24

: =

Es sind 24 ½-l-Flaschen und 72 ¾-l-Flaschen.

Mögliche Variationen:

a)

Es sind genau so viele ½-l-Flaschen wie ¾-l-Flaschen.

Strategie: Bedingung ändern

( 3 4

1 2

5 4 66 5

4 524 5 + =

= :

Man braucht je 53 Flaschen. Allerdings auch zusätzlich noch ¼ l Apfelsaft.

Oder: Man braucht je 52 Flaschen. Es bleibt 1 l Apfelsaft übrig (wovon noch zwei kleine Flaschen gefüllt werden können).

1 s. Schupp,H.: Extremalprobleme am Quader - In: Praxis der Mathematik 22 (1980), H.1, S.1-5

2 Schönbeck,J.; Schupp,H. (Hrsg.): PLUS 7 - Paderborn: Schöningh 1982

b)

Ein Getränkevertrieb braucht 400 ½-l-Flaschen und 200 ¾-l-Flaschen Apfel- saft. Wie viele l sind das insgesamt?

Strategie: Kontext vereinfachen (350 l)

c)

1000 l Wein werden in 1-l-Flaschen und 0,7-l-Flaschen abgefüllt. Es sind dreimal so viele 0,7-l-Flaschen wie 1-l-Flaschen. Wie viele Flaschen sind es von jeder Sorte?

Strategie: Kontext sinnvoll abändern

(3 ⋅ 0,7 + 1 ⋅ 1 = 3,1; 1000 : 3,1 = 322,58..; 322 ⋅ 3,1 = 988,2

Man braucht 966 0,7-l-Flaschen und 322 1-l-Flaschen. Etwa 2 l Wein bleiben übrig.)

d)

200l Apfelsaft sollen auf Flaschen gezogen werden. Die Firma benutzt dazu

½-l-Flaschen und ¾-l-Flaschen. Im Moment sind nur noch 180 ¾-l-Flaschen da, die alle benutzt werden sollen. Wie viele ½-l-Flaschen werden noch ge- braucht?

Strategie: Kontext erschweren.

(200 − 180 ⋅ ¾ = 65 . Man braucht noch 130 ½-l-Flaschen.)

e)

Jemand hat 66 l Apfelsaft in ½-l- Flaschen und ¾-l-Flaschen abgefüllt. Dabei wurden 48 ¾-l-Flaschen mehr als ½-l-Flaschen benutzt. Wie viele Flaschen waren es von jeder Sorte?

Strategie: Bedingung verändern

(48 ¾-l-Flaschen fassen 36 l Apfelsaft. Die restlichen 30 l verteilen sich gleichmäßig auf die beiden Flaschensorten.

30 : 5/4 = 24

Es sind 72 und 24 ½-l-Flaschen.)

f)

Ausgangssituation. Man möchte möglichst wenig Flaschen benutzen. Mit wie vielen kommt man aus?

Strategie: Ziel wechseln (66 : ¾ = 88

Man kommt mit 88 (¾-l-)Flaschen aus.)

g)

66 l Apfelsaft sollen in ¾-l-Flaschen und ½-l-Flaschen abgefüllt werden.

Auf wie viele Weisen ist das möglich?

Strategie: Ziel wechseln

(1. Möglichkeit: 132 ½-l-Flaschen und 0 ¾-l-Flaschen

2. Möglichkeit: 126 ½-l-Flaschen und 4 ¾-l-Flaschen ...

45. Möglichkeit: 0 ½-l-Flaschen und 88 ¾-l-Flaschen)

h)

Es sollen 600 l Apfelsaft in ½-l-Flaschen, ¾-l-Flaschen und 1-l-Flaschen abgefüllt werden. Es sollen genau so viele ½-l-Flaschen wie ¾-l-Flaschen benutzt werden und doppelt so viele 1-l-Flaschen.

Strategie: Bedingung erschweren ( ½ + ¾ + 2 = 3 ¼

600 13

4 1841 : = 2

Man braucht 184 ½-l-Flaschen, 184 ¾-l-Flaschen und 368 1-l-Flaschen. 2l bleiben übrig (bzw. können noch zusätzlich abgefüllt werden).)

Anhang 10: Zwischenbruch

Initialaufgabe:

Gib eine Bruchzahl an, die zwischen 2

7 und 3

7 liegt.

Lösung(en):

2 7

4

=14 und 3 7

6

=14. Dazwischen liegt 5 14.

Mögliche Variationen:

a)

Gib eine Bruchzahl an, die zwischen 2

7 und 3

8 liegt.

Strategie: geringfügig ändern (2

7 16 56

3 8

21

= und =56 . Dazwischen liegt z.B. 18 56

9

=28. )

b)

Gib eine Dezimalzahl an, die zwischen 7,2 und 7,3 liegt.

Strategie: Zahlentyp verändern (z.B. 7,26)

c)

Gib 4 Bruchzahlen an, die zwischen 2

7 und 3

7 liegen.

Strategie: Forderung verschärfen (2

7 10 35

3 7

15

= und =35 . Dazwischen liegen 11 35

12 35

13 35

14 , , und 35.)

d)

Gib 10 Bruchzahlen an zwischen 2

7 und 3 8.

Strategie: kombinieren (hier die Variationen

2.

und

3.

) (2

7 16 56

48 168

3 8

21 56

63

= = und = =168. Dazwischen liegen z.B. 51 168

52 168

60 , ,...,168.)

e)

Gib eine Bruchzahl an zwischen 5 13

5 und12.

Strategie: Besonderheit abändern ( 5

13 60 156

5 12

65

= und =156. Dazwischen liegt z.B. 64 156

16

= 39. Oder: Zwischen 5

13

5

und 12 liegt 5 12 5

10 25

2 5 , = = .)

f)

Gibt es noch weitere Möglichkeiten, zu einer Zwischenzahl zu kommen?

Strategie: Methodenwechsel

(Addiere die halbe Differenz der beiden Bruchzahlen zur kleineren Bruch- zahl.

2/7 3/7 1

2 7

1 2

3 7

2 + ⋅( −7) = 2

7 1 +14

= 5 14

Oder:

2/7 3/7 1

5/7 5/14

Nimm die halbe Summe der beiden Zahlen.

1 2

2 7

3 7

5

⋅( + )=14

Daß die beiden Möglichkeiten äquivalent sind (a + (b−a)/2 = (a+b)/2), dürfte hier wohl noch nicht erkannt werden, wohl aber, daß man sie bei jedem Bruchzahlenpaar anwenden kann.

g)

Zum Ergebnis 5

14gelangt man auch, wenn man (was beim Addieren völlig falsch ist) Zähler 2 zu Zähler 3 und Nenner 7 zu Nenner 7 addiert. Bekommt man so immer eine Zwischenzahl?

Strategie: Auffälligkeiten überprüfen (Liegt 5

15 1

= 3 zwischen 2

7 und 3

8 ? Ja; denn 1 3

2 6

2 7

1 3

3 9

3

= > und = <8 . Auch alle weiteren Überprüfungen bestätigen die Vermutung. Ihr exakter

Nachweis kann allerdings erst mit algebraischen Mitteln geführt werden:

Ist a b

c

d also ad bc so a b

a c b d

c

< < < + d + <

, , , weil a⋅(b+d) < b⋅(a+c) und (a+c)⋅d

< c⋅(b+d). )

h)

Wie viele Bruchzahlen liegen überhaupt zwischen 2

7 und 3 7 ? Strategie: nachfragen

(Antwort: beliebig viele. Begründungen:

α) Zwischen 2

7 und 5

14liegt wieder eine Zwischenzahl (z.B. 9

28), ebenso zwischen 5

14 und 3

7 (z.B. 11

28), dazwischen auch wieder Zwischenzahlen usw.

β) Je größer der Erweiterungsfaktor ist, desto mehr Zahlen passen dazwi- schen. (Genauer: Sollen n Zahlen dazwischenpassen, muß man mit n+1 er- weitern.))

i)

Wie heißt die Bruchzahl, die direkt hinter der 0 kommt?

Strategie: Fangfragen stellen

(Es gibt keine nächstgrößere Bruchzahl. Zwischen jeder Bruchzahl und der Null gibt es eine kleinere Zwischenzahl (z.B. die halb so große).

j)

Zwischen welchen Zahlen liegen 2

7 und 3 7? Strategie: Denkrichtung umkehren

(z.B. zwischen 1 7

5 und 7)

Hinweis: Diese Variation eignet sich vorzüglich zum Festigen der Größenvor- stellungen bei Bruchzahlen und zur Wiederholung von deren Ordnungsstruktur.

Anhang 11: Ballpyramide

Initialproblem:

Tennisbälle werden in der Form eines gleichseitigen Dreiecks angeordnet, so daß sich darauf eine Pyramide aufbauen läßt. Erste Experimente verdeutlichen den stufenweisen Aufbau der Pyramiden und die schnell wachsende Anzahl von benötigten Tennisbällen.

Für eine zweistufige Pyramide braucht man 4 Bälle, für eine dreistufige 10, für eine vierstufige bereits 20 usw.

Wie viele Tennisbälle benötigt man für eine fünfzigstufige Pyramide?

Verallgemeinerung: Wie viele Bälle braucht man für eine n-stufige Pyramide?

Spezialisierung: Aus wie vielen Bällen besteht dort eine Seite?

Wie viele Bälle kann man sehen?

Analogie: Wie ist das, wenn jeder obere Ball auf 4 unteren Bällen liegt?

Umzentrierung: Wie hoch ist die zweistufige, die n-stufige Pyramide?

Die Lösung schon der Ausgangsfrage führt über Experimentieren und Zählen zu verschiedenen rekursiven Ansätzen. Nach den Lösungen am Computer wird eine explizite Formel gesucht. Hierzu eröffnen sich ganz verschiedene Wege (Poly- nomansatz, Ausgleichskurven, Pyramidalzahlen im Pascal-Dreieck). Alle Lö- sungsstrategien können auf andere Potenzsummen angewandt und schließlich kann auch spezialisiert werden (figurierte Zahlen, Gauß-Idee zur Summe der ersten n natürlichen Zahlen u.ä.). Fast alle der in

7

genannten Strategien können hier erfolgreich eingesetzt werden.

Eine ausführliche Darstellung des Initialproblems und der zu seiner Lösung an- gewandten Strategien findet man in

Schmidt, G.: Die Tennisballpyramide - In: Der Mathematikunterricht 43 (1997), H.2, S.38-53

Anhang 12: Tankfüllung

s. dazu auch Anhang 59

Anhang 13: NIM-Spiel

Initialaufgabe:

Auf dem Tisch liegen 20 Spielsteine. Zwei Spieler A,B nehmen abwechselnd 1 oder 2 Steine weg. Es gewinnt, wer den letzten Zug macht. Kann A, der beginnt, sicher gewinnen?

Lösung:

Ja, wenn er zunächst 2 Steine nimmt, und dann stets die Zahl der von B wegge- nommenen Steine jeweils durch die Zahl der selbstentfernten Steine zu 3 er- gänzt. Denn dann besetzt er nacheinander alle Gewinnpositionen. (Darunter sei- en alle Anzahlen der auf dem Tisch verbliebenen Steine verstanden, von denen aus man sicher gewinnen kann.)

A B A B A A A B A B A

2

3 4

5

6 13

12 9 14

15 16

17

18

1

0

Mögliche Variationen durch

geringfügig ändern („wackeln“):

19 bzw. 21 statt 20 Steine

(19: Hier sind die Gewinnpositionen dieselben. A gewinnt sicher, wenn er zu nächst einen Stein nimmt und dann wie o.a. verfährt.

21: Hier sind die Gewinnpositionen 21; 18; 15; ... 3; 0. Nun kann A nur gewin- nen, wenn ihn B auf eine Gewinnposition läßt. Ansonsten gewinnt B sicher.) verallgemeinern:

n Steine

(a) Ist n durch 3 teilbar und n : 3 = d, so ist 3⋅d  3⋅(d−1)  ...  3⋅1 die Fol- ge der Gewinnpositionen (kurz: Gewinnfolge). B gewinnt sicher, wenn er jeden Zug von A zu 3 ergänzt.

b) Ist n nicht durch 3 teilbar, also n = 3⋅d + i mit i = 1,2 , so ist die Gewinnfolge dieselbe. A gewinnt, wenn er zunächst i Steine nimmt und dann jeweils zu 3 ergänzt. )

Ziel ändern:

... Verloren hat, wer den letzten Zug machen muß.

(Jetzt muß man die Position 1 anstreben. Dann muß der Gegner den letzten Stein nehmen. Gewinnfolge ist also 19  16  13  10  7  4  1. A sollte also einen Stein wegnehmen und wie gewohnt ergänzen, bis 19 Steine genommen sind und B den letzten Stein nehmen muß.)

kombinieren:

... Verloren hat, wer bei n Steinen den letzten Zug machen muß.

(Wie bei „Gewonnen hat...“, jedoch mit n−1 statt n.) Bedingung ändern:

... nehmen abwechselnd 1 oder 3 (2 oder 3, 1 oder 2 oder 3) Steine weg.

(a) 1 oder 3

jetzige Gewinnfolge: 20  16  12  8  4

B kann sicher gewinnen, wenn er die von A weggenommenen Steine jeweils zu 4 Steinen ergänzt. Mehr noch: B kann nicht verlieren, wie immer er auch zieht; denn A kommt immer auf eine ungerade Zahl, also nie in eine Ge- winnposition.

b) 2 oder 3

Gewinnfolge: 20  15  10  5

Wieder ist B im Vorteil. A muß versuchen, in die Gewinnfolge hineinzu- kommen oder aber die Position 19 anzusteuern, weil B dann den letzten

Stein nicht mehr nehmen kann (1 fehlt diesmal), also A den letzten Zug überlassen muß.

Hinweis: Zwischen „letztem Ziehen“ und „letztem Stein“ ist deutlich zu un- terscheiden. Wo sich, wie in diesem Fall, Unterschiede auftun, kann selbst- verständlich entsprechend variiert werden.

c) 1 oder 2 oder 3

Gewinnfolge: wie in a), doch ist jetzt die für B genannte Strategie unbedingt erforderlich. )

verallgemeinern:

n Steine. Abwechselnd werden x oder y Steine genommen (y ≥ x > 0). Wer ge- winnt, A oder B?

(Es sei n = d⋅(x+y) + i mit 0 ≤ i < x+y. Ist i = 0, so gewinnt B, wenn der die o.a.

Ergänzungsstrategie verfolgt. Ist i > 0, so gewinnt A, wenn er zunächst i Steine nimmt und dann jeweils zu x+y ergänzt.

Allerdings ist dabei vorausgesetzt, daß i = x oder i = y.

Im Falle 0 < i < x ≤ y gewinnt B mit der Ergänzungsstrategie; denn schließlich bleiben i Steine übrig, die A nicht mehr nehmen kann.

Im Falle x ≤ y < i gewinnt A, wenn er zunächst y Steine wegnimmt und dann wie gewohnt ergänzt. Zum Schluß bleiben i−y Steine übrig, die B wegen i−y < x nicht mehr nehmen kann.

Der verbleibende Fall x < i < y muß in mehrere Unterfälle zerlegt werden, wes- halb wir hier nicht näher auf ihn eingehen.)

kombinieren:

Wie eben, jedoch mit Verlust beim letztmaligen Ziehen.

(An die Stelle der letzten Gewinnzahl n tritt nun die letzte Gewinnzahl n − klei- nere der beiden Zahlen x,y. Alles weitere entsprechend.)

anders verallgemeinern:

n Steine. Jeder Spieler muß 1 und darf höchstens m (m < n) Steine wegnehmen.

Wer hat eine Gewinnstrategie?

(Gilt (m+1)n , so hat B eine Gewinnstrategie: Ergänze jeweils die Steinezahl von A durch deine eigene zu m+1. Andernfalls sei n = d·(m+1) + i mit i ∈ {1,2, ... ,m−1}. A gewinnt sicher, wenn er zunächst i Steine nimmt und dann verfährt wie für B beschrieben.)

Variation variieren:

Wie eben, doch ist nun m nicht mehr konstant, sondern höchstens gleich der Hälfte der verbliebenen Steine.

(Hier muß ich versuchen, dem Gegner 2^u − 1 Steine zu hinterlassen. Das ist tri- vial für u = 1, also für 1 Stein. Den diesen kann er gemäß der neuen Regel nicht mehr nehmen, also den letzten Zug nicht mehr machen. Nimmt er zuvor i von den verbliebenen 2^u − 1 Steinen, so muß i ≤ ½ ·(2^u − 1), also i ≤ (2^u-1−1) sein.

Ich selbst nehme dann 2^u-1−i Steine. Das ist zulässig, weil 1 = 2^u-1 − (2^u-1 − 1) ≤ 2^u-1 − i = ½ · (2^u − 1 + 1) − i ≤ ½ · (2^u − 1 + i) − i = ½ ·((2^u − 1) − i) . Dann findet der Gegner bei seinem nächsten Zug (2^u− 1) − i − (2^u-1− i) = 2^u-1 − 1 Steine vor, kommt also aus der Verlustposition nicht mehr heraus.)

Bedingung ändern:

Es sind nun drei Spieler A,B,C.

(Da zwischen zwei Zügen desselben Spielers 2,3, oder 4 Steine genommen wer- den können, ist für keinen von ihnen eine Gewinnstrategie möglich.)

andere Bedingung ändern:

Die 20 Steine sind nun auf zwei Haufen verteilt. Man darf wie bisher 1 oder 2 Steine nehmen, aber keine 2 Steine aus verschiedenen Haufen.

(Es kommt nun auf den Unterschied der Steinezahl in den beiden Haufen an, den ein Spieler vorfindet. Ist er durch 3 teilbar (wie bei der Konstellation (1;1)), so ist dies für ihn ungünstig, andernfalls günstig (wie bei (1;0) = (0;1) oder bei (1;2) = (2;1)). Eine günstige Position kann fortgesetzt werden, wenn man die folgende Aktion des Gegners so erwidert, daß die Teilbarkeit der absoluten Differenz der beiden Steineanzahlen durch 3 gewahrt bleibt. Ob A sicher gewin- nen kann, hängt davon ab, ob er die anfängliche Verteilung der Steine in eine Gewinnposition abändern kann (Beispiel: (15;5)  (14;5) ) oder eine solche be- reits vorfindet, wodurch die Gewinnstrategie für B greift (Beispiel: (13;7)  (13;6) ( (12;6).)

Variation variieren:

Wiederum zwei Haufen mit insgesamt 20 Klötzchen. Jeder Spieler muß minde- stens 1 Stein und darf beliebig viele Steine nehmen, aber immer nur von einem Haufen.

((x;x) ist immer eine Verlustposition für mich: Was ich tue, tut der andere Spie- ler auch; insbesondere: Beseitige ich einen Haufen, so der andere den anderen Haufen und hat gewonnen. Es kommt demnach auf die Anfangsverteilung der Steine an. Bei Gleichverteilung gewinnt B, sonst A (wenn die eben erwähnte Strategie angewandt wird). )

umkehren:

A und B fangen bei 0 (bei leerem Tisch) an und legen abwechselnd 1 oder 2 Steine auf den Tisch. Gewonnen hat, wer den 20.ten Stein legt. Kann A gewin- nen?

(Ja, wenn er zunächst 2 Steine legt und auf x Steine seines Gegners mit 3-x ei- genen Steinen antwortet. Gewinnfolge (jetzt mit der Gesamtzahl der gelegten Steine) : 2  5  8  11  14  17  20 .)

Hinweis:

Mühelos kann man weitervariieren, insbesondere durch kombinieren und verall- gemeinern, und dadurch die Aufgabenschwierigkeit fast beliebig steigern. Da Thema und erste Variationen recht einfach sind, eignet sich das Beispiel zur Va- riation in allen Schulformen und auf allen Schulstufen.

Anhang 14: Spielabbruch

Die hier angedeuteten Lösungswege sind nur ein Auszug aus vielen Möglich- keiten. Für unser Anliegen sind nun von Interesse die

Abänderungen und Verallgemeinerungen:

- Variation der Anzahl der zum Sieg notwendigen Punkte und des Spielstandes beim Abbruch

- Erhöhung der Anzahl der Spieler (3 oder mehr)

- Variation der Gewinnwahrscheinlichkeit p = 0.5 (anderes oder allgemeines p) - anderes Aufteilungskriterium

Kombinationen dieser Varianten

Eine ausführliche Darstellung vieler origineller, von Schülern entwickelter ein- schlägiger Ideen findet man in

Schmidt, G.: Experimenteller und anschaulicher Stochastikunterricht rund um das „Problem der abgebrochenen Partien“ - In: Stochastik in der Schule 18 (1998), H.1

Anhang 15: Quadratzerlegung

Initialaufgabe:

Zerlege ein Quadrat in 4 Teilquadrate.

Lösung:

durch Einzeichnen der Mittelsenkrech- ten (von denen je zwei gegenüberlie- gende zusammenfallen)

Mögliche Variationen:

a)

Zerlege in eine andere Anzahl von Teilquadraten.

Strategie: geringfügig ändern bzw. verallgemeinern

(leicht: Statt 4 kann auch jede größere Quadratzahl genommen werden. Die Zerlegung in n² Teilquadrate schafft man durch ein Gitter mit 2 Scharen mit je n gleichabständigen Seitenparallelen.

schwieriger: Kann die Anzahl auch ungleich einer Quadratzahl sein? Ja, weil keineswegs verlangt ist, daß die Teilquadrate kongruent sind. So kann man eine Zerlegung in m Quadrate stets zu einer Zerlegung in m+3 Quadrate

weiterführen, indem man ein Teilquadrat wiederum in 4 Teilquadrate zerlegt (s.u. links).

Oder aber in m−3 Quadrate, wenn es möglich ist, 4 Teilquadrate zu einem Teilquadrat zusammenzufassen (s.o. rechts).

Insgesamt ergibt sich so, daß jede natürliche Zahl ≠ 2,3,5 Zerlegungsanzahl sein kann.)

b)

Zerlege ein Rechteck in 4 Teilquadrate.

Strategie: Bedingung abändern (hier: Oberbegriff wählen) (Das ist außer beim Sonderfall Qua-

drat sicher möglich bei einem Recht- eck, dessen Seitenlängen sich wie 4:1 verhalten, aber auch bei einem Rechteck mit dem Seitenlängenver- hältnis 5:3 (s. nebenst. Fig.). Gibt es noch weitere?)

c)

Zerlege ein Quadrat in 4 Teilrechtecke.

Strategie: vertauschen (gegenüber b)) (Das ist durch (irgendeine) Vierteilung

einer Seite und zugehöriger Parallelen- schar auf einfache Weise möglich und kann sofort auf jede Teilungsanzahl n verallgemeinert werden. )

d)

Zerlege einen Kreis in 4 Kreise.

Strategie: analogisieren

(Das ist nicht möglich (auch bei anderer Teilungszahl), weil man mit Kreisen nicht parkettieren kann.)

e)

Zerlege einenKreis in 4 Quadrate.

Strategie: Bedingungen ändern, um bisher Unmögliches (s. d)

)

zu überwin- den; oder auch: analogisieren (von der Initialaufgabe her)

(Das ist immer noch unmöglich. Aus 4 kongruenten Quadraten lassen sich nur die fünf bekannten „Quadronimos“ zusammenbauen (s.u.), aus 4 belie- bigen Quadraten ebenfalls nur Polygonflächen mit rechtwinkligen Ecken.)

f)

Zerlege einen Kreis in 4 kongruente Teilflächen.

Strategie: wie in

e)

(Das ist vom Mittelpunkt her durch zwei zueinander senkrechte Geraden leicht möglich und kann sofort auf n Teilflächen verallgemeinert werden, in- dem man n−1 Geraden durch den Mittelpunkt verlaufen läßt, von denen ir- gend zwei benachbarte einen Winkel mit Maß 360°/n einschließen.)

g)

Zerlege ein Quadrat in 4 kongruente Teilflächen.

Strategie: erweitern (von der Initialaufgabe her) bzw. analogisieren (von

f)

her)

(Die folgenden 6 Zerlegungen können nur vage andeuten, welcher Reichtum an Möglichkeiten sich hier auftut.)

h)

Zerlege ein Quadrat in 4 inhaltsgleiche Teilflächen.

Strategie: (nochmals) erweitern

(Die Möglichkeiten vergrößern sich erneut. Zwei Beispiele:

)

i)

Zerlege ein Quadrat in 4 inhaltsgleiche Teilflächen, aber so, daß sein Mittel- punkt im Innern einer der Teilflächen liegt.

Strategie: Variation (s. h)) durch eine zusätzliche Bedingung erschweren (Die folgenden beiden Zeichnungen zeigen zwei Möglichkeiten.)

j)

Schöpfe einen Kreis durch 4 kongruente Kreise möglichst gut aus.

Strategie: sinnvoll machen (von her) bzw. analogisieren (von f) her)

R -r r

(Für den Radius r eines kleines Kreises ergibt sich (mit R als dem Radius des Ausgangskreises) aus 2r = (R−r)⋅ 2 schließlich r = ( 2 − ⋅1) R , so daß die 4 Kreise auch mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind. Sie bedecken insgesamt etwa 69 % der Fläche des Ausgangskreises.)

k)

Zerlege einen Würfel in 4 Teilwürfel

Strategie: analogisieren (hier: Ebene → Raum)

(Das ist nicht möglich. Die erste erreichbare Teilungszahl ist 2³ = 8.)

Hinweis: Möglich sind selbstverständlich auch alle weiteren Kubikzahlen so- wie gewisse Zwischenzahlen, die man durch geeignetes Zusammenfassen oder Weiterteilen von Teilwürfeln (s.

a)

) erreichen kann.

Beispiel: 27 − 8 + 1 = 20, 27 + 27 − 1 = 53

l)

Zerlege ein gleichseitiges Dreieck in 4 gleichseitige Dreiecke.

Strategie: analogisieren (hier: innerhalb der regelmäßigen Vielecke) (möglich, durch geeignete Seitenmittenverbindung)

Hinweis: Wie beim Quadrat sind auch alle anderen Teilungszahlen außer 2,3 und 5 möglich.

Hinweis:

Die o.a. Varianten können auf mannigfache Weise weitervariiert und kombiniert werden. Wir haben hier ein ausgezeichnetes Beispiel für die Tatsache, daß auch und nicht zuletzt (wie übrigens in der Musik) einfache „Themata“ interessante und nichttriviale Variationen gestatten.

Beispiel: Ein Schüler fragt, ob man ein Quadrat auch in lauter verschieden große Quadrate einteilen könne. Eine Mitschülerin meint, sie habe so etwas einmal auf einer Briefmarke gesehen. ¹ Der Lehrer ist überfragt. Alle nehmen sich vor, zu- hause eine solche Zerlegung zu konstruieren. Niemandem gelingt es; erst eine ausgedehnte Literaturrecherche erbringt, daß es solche perfekte Zerlegungen in n Teilquadrate für alle n ≥ 21 gibt. ²

1 In der Tat hat die Deutsche Bundespost aus Anlaß des Internationalen Mathematiker- Kongresses (ICM) in Berlin 1998 eine Sondermarke herausgegeben, auf der eine Fläche in 11 verschiedene Quadrate zerlegt ist. Sie ist jedoch kein Quadrat, sondern ein Rechteck mit dem Seitenlängenverhältnis 177:176.

2 Mehr dazu in Quaisser, E.: Diskrete Geometrie - Heidelberg: Spektrum 1994. Auf S.178 sieht man dort eine Zerlegung mit n = 21, auf S.179 mit n = 23.

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