Ubungen zur Funktionentheorie ¨

Abgabe bis 21.06, 10 Uhr timmermt@math.uni-muenster.de Besprechung vom 25. bis 29.06

Ubungen zur Funktionentheorie ¨

Aufgabe 1. Bestimmen Sie f¨ur die folgenden Funktionen z 7→ f(z) jeweils die Laurent-Reihe um die Singularit¨at z₀ und den Typ der Singularit¨at:

(a) f(z) = 1

z+ 1 beiz₀ =−2; (Hinweis: Benutzen Sie die geometrische Reihe.) (b) f(z) = z

(z+ 1)(z+ 2) beiz₀ =−2;

(c) f(z) = (z−3) sin 1

z+ 2

bei z₀ =−2;

(d) f(z) = cos _z¹2

z(1−z) bei z = 0.

Aufgabe 2. F¨urw∈Cseif_w: C\{0} →Cdefiniert durchz 7→exp ^w₂ z−¹_z . Zeigen Sie:

(a) f−w(z) =fw(z⁻¹) =fw(−z) f¨ur alle z, w∈C mit z 6= 0.

(b) F¨ur jedesw∈C besitzt die Funktion fw eine Laurent-Entwicklung fw(z) = P∞

n=−∞J_n(w)zⁿ mit gewissen Koeffizienten J_n(w)∈C. (c) J_n(−w) = J_−n(w) = (−1)ⁿJ_n(w) f¨ur alle n∈N, w ∈C. (d) J_n(w) = _2π¹ R2π

0 e^{i(wsin(t)−nt)} dt f¨ur alle n ∈N, w ∈C.

(Bemerkung: Die Funktionen w7→J_n(w) heißen Besselfunktionen.) Aufgabe 3. Zeigen Sie:

(a) Hat eine holomorphe Funktion f an der Stelle z einen Pol der Ordnung m und ist pein Polynom von Grad n, so hatp◦f an der Stellez einen Pol der Ordnung n·m.

(b) Hat eine holomorphe Funktionf an der Stellezeine wesentliche Singularit¨at, so hat exp◦f an der Stelle z eine wesentliche Singularit¨at.

(Hinweis: Benutzen Sie u.a. den Satz von Casorati-Weierstrass.)

Aufgabe 4. W¨ahlen Sie f¨ur den folgenden Weg γ eine Durchlaufrichtung und bestimmen Sie die entsprechende Umlaufzahl f¨ur die Punkte a, b, c, d, indem Sie γ durch eine Homotopie geeignet vereinfachen:

1

a b c d

γ

2