Unter Verwendung der Ergebnissen der Aufgabe 29 finden wir sofort:

(1)

UNIVERSIT¨ AT LEIPZIG

INSTITUT F¨ UR THEORETISCHE PHYSIK

Elektrodynamik Ubungsblatt 9 ¨ Musterl¨osungen

31 Aufgabe

Unter Verwendung der Ergebnissen der Aufgabe 29 finden wir sofort:

?

F

⁰ⁱ

= 1 2 |{z} ²

^0ijk

²^ijk

F

_jk

= B

ⁱ

,

und

?

F

^ij

= 1

2 ²

^ijcd

F

_cd

= ²

^ijk

E

_k

,

wegen ²

^ijk0

= −²

^0ijk

, und F

_k0

= −E

_k

. Hier laufen die Indices a, b, c, d von 0 bis 3, und die i, j, k vom 1 bis 3.

(Zu (b,⇒)): Kontrahieren wir die Gleichung(en)

∂

_a

F

_bc

+ ∂

_b

F

_ca

+ ∂

_c

F

_ab

= 0 mit ²

^abcd

so ergibt sich die gesuchte Gleichung

²

^abcd

(∂

_a

F

_bc

+ ∂

_b

F

_ca

+ ∂

_c

F

_ab

) = 3²

^abcd

∂

_c

F

_ab

= 6 ∂

_c

(

^?

F

^cd

) = 0.

(Es gilt: ²

^abcd

= ²

^cdab

.) Es sei nun t

_abc

ein in allen Indices antisymmetrischer Tensor. Es gilt

²

_αβγd

²

^dabc

t

_abc

= −6t

_αβγ

. Wir schließen daraus, dass aus

²

^abcd

∂

_c

F

_ab

= 0

(wegen ²

^abcd

l¨asst sich ∂

_c

F

_ab

antisymmetrisieren) die Gleichung

∂

α

F

βγ

+ ∂

β

F

γα

+ ∂

γ

F

αβ

= 0

folgt.

(2)

32 Aufgabe

Es sei ϕ(x) eine L¨osung der Bewegungsgleichung, und (τ

_λ

ϕ)(x) = ϕ(x + τ a), x, a ∈ R

⁴

, λ ∈ R. Es sei zus¨atzlich u = x + λa. Es gilt

δϕ = dτ

_λ

ϕ dλ

¯ ¯

λ=0

= d dλ ϕ(u)

¯ ¯

λ=0

= ∂ϕ

∂x

^a

· a

^a

, und

δL = dτ

λ

L dλ

¯ ¯

λ=0

= d dλ

h

L(ϕ(u),

^∂vp(u)_∂u

) i¯¯

¯ ¯

λ=0

= ∂L

∂u

^a

du

^a

dλ

¯ ¯

λ=0

= ∂ L

∂x

^a

a

^a

.

Wir wissen aber, dass f¨ur die Losungen der Bewegungsgleichung (Euler-Lagrange-Gleichung) gilt δL = ∂

∂x

^a

· ∂ L

∂ϕ

_,a

δϕ

¸ ,

mit der Bezeichnung ϕ

_,a

=

_∂x^∂ϕa

. Mit den oben berechneten Variationen finden wir schließlich

∂

∂x

^a

· ∂L

∂ϕ

,a

∂

_b

ϕ a

^b

− L a

^a

¸

= 0, f¨ur alle a ∈ R

⁴

, d.h.

∂T

_b^a

∂x

^a

= 0, f¨ur T

_b^a

= ∂L

∂ϕ

,a

∂

_b

ϕ − L δ

_b^a

.

33 Aufgabe

Es sei

L = −

¹₂

∂

a

ϕ∂

^a

ϕ − V (x)ϕ

²

. Aus der Euler-Lagrange-Gleichung

∂L

∂ϕ − ∂

∂x

^b

∂ L

∂ϕ

_,b

= 0 mit

_∂ϕ^∂L_a

= −∂

^a

ϕ folgt die Bewegungsgleichung

∂

_a

∂

^a

ϕ − 2V (x)ϕ = 0 unmittelbar. F¨ur den T

^ab

finden wir

T

^ab

= −∂

^a

ϕ∂

^b

ϕ + η

^ab

[

¹₂

∂

_c

ϕ∂

^c

ϕ + V (x)ϕ

²

].

(3)

Dieser Tensor ist offensichtlich symmetrisch, und nicht spurfrei, η

_ab

T

^ab

= ∂

_a

ϕ∂

^a

ϕ + 4V (x)ϕ

²

denn in D = 4 Dimensionen gilt η

ab

η

^ab

= 4. Der Energie-Impuls-Tensor ist nicht divergenzfrei:

∂

_a

T

^ab

= (−∂

_a

∂

^a

ϕ)∂

^b

ϕ − (∂

^a

ϕ)(∂

_a

∂

^b

ϕ) + (∂

^c

ϕ)(∂

^b

∂

_c

ϕ) + 2V (x)ϕ ∂

^b

ϕ + ϕ

²

∂

^b

V = ϕ

²

∂

^b

V,

wobei die Bewegungsgleichung ausgenutzt wurde. Dieses Ergebnis war auch zu erwarten, denn f¨ur

V 6= const ist die Largange-Dichte L nicht Translationskovariant.