Bild und Kern
F¨ur eine lineare AbbildungL:V →W bezeichnet man mit KernL={v ∈V : L(v) = 0W} ⊆V den Kern und mit
BildL={w ∈W : ∃v ∈V mitL(v) =w} ⊆W das Bild von L.
Beide Mengen sind Unterr¨aume und
dimV = dim KernL+ dim BildL, falls dimV <∞.
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Beweis
(i) KernList Unterraum vonV:
zu zeigen: Abgeschlossenheit bez¨uglich Addition und skalarer Multiplikation
F¨uru,v∈KernL,s ∈K folgt aus der Linearit¨at von L L(s u) =s L(u) =s0 = 0 und
L(u+v) =L(u) +L(v) = 0 + 0 = 0, d.h. su,u+v ∈Kern(L)
(ii) BildL ist Unterraum vonW:
F¨uru,v∈BildLmitu =L(x),v =L(y) unds ∈K folgt analog s u=s L(x) =L(s x)
und
u+v =L(x) +L(y) =L(x+y),
(iii) Dimensionsformel:
W¨ahle eine BasisE0={e1, . . . ,em}f¨ur KernL und erg¨anze diese durch {em+1, . . . ,en} zu einer Basis E vonV.
L
n
X
k=1
vkek
!
=
n
X
k=m+1
vkL(ek)
=⇒ BildL= spanF,F ={L(em+1), . . . ,L(en)}
F linear unabh¨angig, also eine Basis von BildL, denn 0 =
n
X
k=m+1
vkL(ek) =L
n
X
k=m+1
vkek
!
=⇒
n
X
k=m+1
vkek ∈KernL und somit vk = 0
Vergleich der Anzahlen der Basisvektoren =⇒ Dimensionsformel
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Beispiel
Kern und Bild der linearen Abbildung
R3 3x7→Lx =
x1−x2
x2−x3 x3−x1
∈R3
(i) Kern:
0 0 0
=Lx =
x1−x2
x2−x3 x3−x1
=⇒ x1 =x2 =x3, d.h. KernL={(t,t,t)t: t∈R}= span((1,1,1)t)
(ii) Bild:
BildL wird durch die Bilder der Einheitsvektorene1= (1,0,0)t, e2= (0,1,0)t,e3 = (0,0,1)taufgespannt.
BildL= span(Le1,Le2,Le3) = span
1 0
−1
,
−1 1 0
,
0
−1 1
Le3=−Le1−Le2 und Le1 6kLe2, d.h.Le1,Le2 linear unabh¨angig =⇒
1 0
−1
,
−1 1 0
Basis f¨ur BildL (iii) Dimensionsformel:
3 = dimR3 != dim KernL+ dim BildL= 1 + 2 X
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Beispiel
k-te AbleitungDk auf dem Raum der PolynomePn vom Grad ≤n (i)k = 1 und n= 2: {x 7→1,x 7→x,x7→x2} Basis f¨urP2
p(x) =a0+a1x+a2x2 =⇒ (Dp)(x) =a1+ 2a2x∈P1
Die Ableitung D annuliert Konstanten, einen eindimensionalen Unterraum.
=⇒ dimP2= 3, dim KernD = 1, dim Bild = 2 (ii) Allgemeiner Fall:
p(x) =
n
X
`=0
a`x` =⇒ (Dkp)(x) =
n
X
`=k
`!
(`−k)!a`x`−k ∈Pn−k
Dk annulliert Polynome vom Grad<k Dimensionsformel
n+ 1 = ((n−k) + 1)+ k = dimPn−k+ dimPk−1 X
