Vorlesung 1
Mengen und Abbildungen
Axiom der vollständigen Induktion. Wenn eine TeilmengeM Nder natürlichen ZahlenN D f1; 2; 3; : : :gdie folgenden Eigenschaften besitzt, dann giltM DN:
1. Induktionsanfang:12M,
2. Induktionsschritt: Ausn2M folgtnC12 M.
Teilmengen endlicher Mengen. 1. Die endliche Mengef1; 2; : : : ; ng besitzt genau
n k
verschiedene Teilmengen mit k 2 f0; 1; : : : ; ng Elementen. Hierbei definiert man dieBinomialkoeffizienten
n k
D nŠ
kŠ .n k/Š fürn2N [ f0gundk 2 f0; 1; : : : ; ng:
2. Für jedesn2N [ f0gundk2 f0; 1; : : : ; nggilt kn
D n kn . 3. Es gilt nCk1
D k 1n C nk
für jedesn2N undk 2 f1; : : : ; ng. 4. Insgesamt enthältf1; 2; : : : ; ngalsoPn
kD0 n k
D2nverschiedene Teilmengen.
Operationen mit Mengen. Für MengenX undY definiert man die Operationen 1. Vereinigung:X [Y D˚
xjx 2X oderx 2Y , 2. Durchschnitt:X\Y D˚
x jx2 Xundx2 Y , 3. Differenz:XnY D˚
x jx 2X undx …Y , 4. Kartesisches Produkt:XY D˚
.x; y/ jx2 Xundy 2Y .
Dies läßt sich auf endlich oder unendlich viele Mengen ausweiten: IstAeine Menge (von Indizes) und wird für jedes˛ 2Aeine MengeX˛gegeben, so bildet man deren
5. Vereinigung:[˛2AX˛ D˚
xjEs gibt ein˛ 2Amitx2 X˛ , 6. Durchschnitt:\˛2AX˛ D˚
xj Für jedes˛ 2Agiltx 2X˛ . Dabei gelten unter anderem die folgenden distributiven Rechenregeln:
7..\˛2AX˛/[Y D \˛2A.X˛[Y /sowie.[˛2AX˛/\Y D [˛2A.X˛\Y /, 8..\˛2AX˛/nY D \˛2A.X˛nY /sowie.[˛2AX˛/nY D [˛2A.X˛nY /, 9.Xn.\˛2AX˛/D [˛2A.X nX˛/sowieXn.[˛2AX˛/D \˛2A.X nX˛/.
Grundregeln der Logik. Sind A, B, C Aussagen mit dem Wahrheitsgehalt wahr oderfalsch, dann gelten die folgenden Regeln:
1.›Nicht »AundB«‹ist äquivalent zu›»NichtA« oder »NichtB«‹, 2.›Nicht »AoderB«‹ist äquivalent zu›»NichtA« und »NichtB«‹,
3.»Aäquivalent zuB«ist äquivalent zu›»AusAfolgtB« und »AusB folgtA«‹, 4. Aus›»AusAfolgtB« und »AusB folgtC«‹folgt»AusAfolgtC«,
5.»AusAfolgtB«ist äquivalent zu›Aus »NichtB« folgt »NichtA«‹, 6.›Nicht »AusAfolgtB«‹ist äquivalent zu›Aund »NichtB«‹.
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Abbildungen. 1. EineAbbildungf WX !Y, welche eine MengeXin eine MengeY abbildet, ordnet jedem Elementx2 Xgenauein Elementy Df .x/2Y zu.
2. Die MengenXbzw.Y nennt manDefinitionsbereichbzw.Wertebereich, die Teil- mengef ŒX D˚
f .x/2 Y jx2 X Y heißtBildmengeder Abbildungf WX !Y. 3. Die Produktmenge ˚
.x; f .x// 2 X Y j x 2 X wird Graph der Abbildung f WX !Y genannt.
4. Die identische Abbildung auf X wird mit IX W X ! X bezeichnet, es gilt also IX.x/Dxfür allex 2X.
Einschränkung und Fortsetzung. Seif WX !Y eine Abbildung.
1. Für jede TeilmengeZ Xheißt die durchg.x/Df .x/für allex2 Zdefinierte Abbildungg WZ !Y dieEinschränkungfjZvonf aufZ.
2. Für Teilmengen X Z wird eine Abbildung g W Z ! Y als eineFortsetzung vonf bezeichnet, wenngjX Df gilt.
Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Seif WX !Y eine Abbildung.
1. Gilt für allex1,x22 X mitf .x1/Df .x2/stetsx1 Dx2, so heißtf injektiv.
(Die Gleichungf .x/Dybesitzt für jedesy 2Y höchstenseine Lösungx 2X.) 2. Gibt es für jedesy 2Y mindestenseinx2 Xmitf .x/Dy, so heißtf surjektiv.
3. Wennf injektiv und surjektiv ist, dann nennt manf bijektiv.
(Die Gleichungf .x/Dybesitzt für jedesy 2Y genaueine Lösungx 2X.)
Verkettung. Seien f W X ! Y sowie g W Y ! Z zwei Abbildungen. Dann heißt die durch h.x/ D g.f .x// für jedes x 2 X definierte Abbildung h W X ! Z die Verkettunggıf vongundf.
Inverse Abbildung. Eine Abbildungf WX !Y ist genau dann bijektiv, wenn eine Abbildungg W Y ! X mitgıf D IX undf ıg D IY existiert. Die Abbildung g wird alsinverse Abbildungf 1vonf bezeichnet.
Inverse Abbildung einer Verkettung. Seien f W X ! Y sowieg W Y ! Z zwei bijektive Abbildungen. Dann ist auch die Verkettunggıf WX !Z bijektiv, und es gilt.gıf / 1 Df 1ıg 1 WZ !X.
Bilder und Urbilder von Mengen. Seif WX !Y eine Abbildung.
1. FürX0X nennt manf ŒX0D˚
f .x/2Y jx 2X0 dasBild vonX0bzgl.f. 2. FürY0 Y heißtf 1ŒY0D˚
x 2X jf .x/2Y0 dasUrbild vonY0bzgl.f. Für alle TeilmengenX1,X2 XundY1,Y2 Y gelten die folgenden Rechenregeln:
3.X1 f 1Œf ŒX1,
4.f Œf 1ŒY1DY1\f ŒX Y1,
5.f ŒX1\X2f ŒX1\f ŒX2sowief ŒX1[X2Df ŒX1[f ŒX2,
6.f 1ŒY1\Y2 Df 1ŒY1\f 1ŒY2sowief 1ŒY1[Y2 Df 1ŒY1[f 1ŒY2.
