Beweisen Sie, dass in jeder Gruppe (G, ◦) folgende Rechenregeln gelten. Begründen Sie jeden einzelnen Schritt.

14. Übungsblatt

Grundlagen und Diskrete Strukturen WS 2014/15

Jens M. Schmidt, Tutor: Jens Schreyer

Aufgabe 1: Rechenregeln in Gruppen

Beweisen Sie, dass in jeder Gruppe (G, ◦) folgende Rechenregeln gelten. Begründen Sie jeden einzelnen Schritt.

i) (Doppeltes Inverses) ∀x ∈ G : (x

)

= x

ii) (Rechtskürzungsregel) ∀x, y, z ∈ G : x ◦ y = z ◦ y ⇒ x = z Anmerkung: Die entsprechende Linkskürzungsregel gilt analog.

Aufgabe 2: Kleine Algebren

i) Geben Sie in eine Algebra (A, •) an, die nicht assoziativ ist. Ein zweielementige Algebra mit einer geeignet definierten Verknüpfung • reicht dafür aus. Für die Angabe von • können Sie die folgende Tabelle benutzen (Zeile × Spalte).

• a b a

b

ii) Sei (G, ◦) eine Gruppe mit neutralem Element a. Laut Vorlesung enthält jede Untergruppe von (G, ◦) wieder a als neutrales Element. Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass dies in Monoiden nicht mehr der Fall sein muss (Untermonoide werden dabei genau wie Untergruppen definiert, nur ohne die Inversenbedin- gung). Tip: Ein zweielementiges Monoid reicht dazu aus.

◦ a b a

b

Aufgabe 3: Zweiflächner

Betrachten Sie die Diedergruppe (D

, ◦) und die symmetrische Gruppe (S

, ◦).

i) Zeigen Sie D

= S

.

ii) Geben Sie die Ordnung jedes Elements aus D

an. Hat allgemein jeder Zykel x der Länge k in S

die Ordnung k?

iii) Geben Sie alle Untergruppen von (D

, ◦) an. Was ist die kleinste Untergruppe H ⊆ D

, die alle Rotationen enthält?

iv) Stellen Sie die Rechtsnebenklassen von H nach jeweils (1 2) ∈ D

und (1 2 3) ∈

D

auf.

Aufgabe 4: Nebenklassen

Sei (H, ◦) eine Untergruppe einer Gruppe (G, ◦). Zeigen Sie, dass die Relation ∼ ⊆

G × G mit x ∼ y :⇔ x ∈ H ◦ y eine Äquivalenzrelation ist.