Prof. Dr. Roland Meyer M.Sc. Sebastian Muskalla

(1)

WS 2016 / 2017 22.11.2016 Ubungen zur Vorlesung ¨

Theoretische Informatik I Blatt 3

Prof. Dr. Roland Meyer M.Sc. Sebastian Muskalla

M.Sc. Peter Chini Abgabe bis 28.11.2016 um 12 Uhr

Aufgabe 3.1 ( ¨ Aquivalenzrelation)

Es sei A = (Q, q ₀ , →, Q _F ) ein DFA. Die Relation ≡ _A ⊆ Σ ^∗ × Σ ^∗ ist definiert durch:

u ≡ _A v, falls es ein q ∈ Q gibt, mit q 0

− → u q und q 0

− v

→ q.

Zeigen Sie, dass ≡ _A eine ¨ Aquivalenzrelation auf Σ ^∗ ist.

Aufgabe 3.2 (Minimalisierung)

Benutzen Sie den Algorithmus aus der Vorlesung, um den folgenden DFA zu minimalisie- ren. Geben Sie auch die Reihenfolge an, in der Sie die Tabelle ausf¨ ullen.

q 0 q 1 q 2

q ₃ q ₄

a

b a

b

a b

a

b a, b

Aufgabe 3.3 (Pumping Lemma)

Beweisen Sie, dass die Sprache L = {a ⁽ⁿ

²

⁾ ∈ a ^∗ | n ∈ N } nicht regul¨ ar ist.

Hinweis: Sei p ∈ N. ¨ Uberlegen Sie sich, wie viele Quadratzahlen es zwischen den Zahlen p ² und p ² + p geben kann.

Aufgabe 3.4 (Isomorphiesatz)

Es sei L ⊆ Σ ^∗ eine regul¨ are Sprache mit Index(≡ _L ) = k ∈ N . Zudem seien A = (Q, q ₀ , →, Q _F ) ein DFA mit L = L(A) und |Q| = k, und A _L = (Q _L , q _0L , → _L , Q _{F L} ) der minimale DFA f¨ ur L aus dem Satz von Myhill-Nerode.

Es seien u ₁ , . . . , u _k Repr¨ asentanten f¨ ur die ¨ Aquivalenzklassen von ≡ _L . Im Folgenden sollen Sie zeigen, dass die Abbildung

β : Q L → Q

[u _i ] ≡

_L

→ q ∈ Q mit q ₀ −→ ^u

ⁱ

q

ein Isomoprhismus zwischen A _L und A ist.

(2)

a) Es gilt ≡ _A ⊆≡ _L . Zeigen Sie, dass tats¨ achlich ≡ _A =≡ _L gilt.

Hinweis: Verwenden Sie folgenden Fakt. Wenn ≡ _A ⊆≡ _L und Index(≡ _A ) = Index(≡ _L ), dann gilt auch ≡ _A =≡ _L .

b) Zeigen Sie, dass β wohldefiniert ist.

Hinweis: Die Abbildung β wurde auf ¨ Aquivalenzklassen definiert. Man muss zeigen, dass β unabh¨ angig von der Wahl der Repr¨ asentaten u ₁ , . . . , u _k ist. Dazu nimmt man an, dass u ˆ i ≡ _L u i . Nun zeigt man, dass β([ˆ u i ] ≡

L

) = β([u i ] ≡

L

).

c) Beweisen Sie, dass β eine Bijektion zwischen Q L und Q ist.

d) Zeigen Sie, dass β einen Isomorphismus zwischen Automaten definiert.

Hinweis: Man muss noch zeigen, dass β(q 0L ) = q 0 , β(Q F L ) = Q F und f¨ ur alle p, p ⁰ ∈ Q _L und a ∈ Σ gilt: p − → ^a _L p ⁰ genau dann, wenn β(p) − → ^a β(p ⁰ ).

Abgabe bis 28.11.2016 um 12 Uhr im Kasten neben Raum 343.

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WS 2016 / 2017 22.11.2016 Ubungen zur Vorlesung ¨

Theoretische Informatik I Blatt 3

Prof. Dr. Roland Meyer M.Sc. Sebastian Muskalla

M.Sc. Peter Chini Abgabe bis 28.11.2016 um 12 Uhr

Aufgabe 3.1 ( ¨ Aquivalenzrelation)

Es sei A = (Q, q 0 , →, Q F ) ein DFA. Die Relation ≡ A ⊆ Σ ∗ × Σ ∗ ist definiert durch:

u ≡ A v, falls es ein q ∈ Q gibt, mit q 0

− → u q und q 0

− v

→ q.

Zeigen Sie, dass ≡ A eine ¨ Aquivalenzrelation auf Σ ∗ ist.

Aufgabe 3.2 (Minimalisierung)

Benutzen Sie den Algorithmus aus der Vorlesung, um den folgenden DFA zu minimalisie- ren. Geben Sie auch die Reihenfolge an, in der Sie die Tabelle ausf¨ ullen.

q 0 q 1 q 2

q 3 q 4

a

b a

b

a b

a

b a, b

Aufgabe 3.3 (Pumping Lemma)

Beweisen Sie, dass die Sprache L = {a (n

) ∈ a ∗ | n ∈ N } nicht regul¨ ar ist.

Hinweis: Sei p ∈ N. ¨ Uberlegen Sie sich, wie viele Quadratzahlen es zwischen den Zahlen p 2 und p 2 + p geben kann.

Aufgabe 3.4 (Isomorphiesatz)

Es sei L ⊆ Σ ∗ eine regul¨ are Sprache mit Index(≡ L ) = k ∈ N . Zudem seien A = (Q, q 0 , →, Q F ) ein DFA mit L = L(A) und |Q| = k, und A L = (Q L , q 0L , → L , Q F L ) der minimale DFA f¨ ur L aus dem Satz von Myhill-Nerode.

Es seien u 1 , . . . , u k Repr¨ asentanten f¨ ur die ¨ Aquivalenzklassen von ≡ L . Im Folgenden sollen Sie zeigen, dass die Abbildung

β : Q L → Q

[u i ] ≡

→ q ∈ Q mit q 0 −→ u

q

ein Isomoprhismus zwischen A L und A ist.

a) Es gilt ≡ A ⊆≡ L . Zeigen Sie, dass tats¨ achlich ≡ A =≡ L gilt.

Hinweis: Verwenden Sie folgenden Fakt. Wenn ≡ A ⊆≡ L und Index(≡ A ) = Index(≡ L ), dann gilt auch ≡ A =≡ L .

b) Zeigen Sie, dass β wohldefiniert ist.

Hinweis: Die Abbildung β wurde auf ¨ Aquivalenzklassen definiert. Man muss zeigen, dass β unabh¨ angig von der Wahl der Repr¨ asentaten u 1 , . . . , u k ist. Dazu nimmt man an, dass u ˆ i ≡ L u i . Nun zeigt man, dass β([ˆ u i ] ≡

) = β([u i ] ≡

).

c) Beweisen Sie, dass β eine Bijektion zwischen Q L und Q ist.

d) Zeigen Sie, dass β einen Isomorphismus zwischen Automaten definiert.

Hinweis: Man muss noch zeigen, dass β(q 0L ) = q 0 , β(Q F L ) = Q F und f¨ ur alle p, p 0 ∈ Q L und a ∈ Σ gilt: p − → a L p 0 genau dann, wenn β(p) − → a β(p 0 ).

Abgabe bis 28.11.2016 um 12 Uhr im Kasten neben Raum 343.

Es sei A = (Q, q ₀ , →, Q _F ) ein DFA. Die Relation ≡ _A ⊆ Σ ^∗ × Σ ^∗ ist definiert durch:

u ≡ _A v, falls es ein q ∈ Q gibt, mit q 0

Zeigen Sie, dass ≡ _A eine ¨ Aquivalenzrelation auf Σ ^∗ ist.

q ₃ q ₄

Beweisen Sie, dass die Sprache L = {a ⁽ⁿ

⁾ ∈ a ^∗ | n ∈ N } nicht regul¨ ar ist.

Hinweis: Sei p ∈ N. ¨ Uberlegen Sie sich, wie viele Quadratzahlen es zwischen den Zahlen p ² und p ² + p geben kann.

Es sei L ⊆ Σ ^∗ eine regul¨ are Sprache mit Index(≡ _L ) = k ∈ N . Zudem seien A = (Q, q ₀ , →, Q _F ) ein DFA mit L = L(A) und |Q| = k, und A _L = (Q _L , q _0L , → _L , Q _{F L} ) der minimale DFA f¨ ur L aus dem Satz von Myhill-Nerode.

Es seien u ₁ , . . . , u _k Repr¨ asentanten f¨ ur die ¨ Aquivalenzklassen von ≡ _L . Im Folgenden sollen Sie zeigen, dass die Abbildung

[u _i ] ≡

→ q ∈ Q mit q ₀ −→ ^u

ein Isomoprhismus zwischen A _L und A ist.

a) Es gilt ≡ _A ⊆≡ _L . Zeigen Sie, dass tats¨ achlich ≡ _A =≡ _L gilt.

Hinweis: Verwenden Sie folgenden Fakt. Wenn ≡ _A ⊆≡ _L und Index(≡ _A ) = Index(≡ _L ), dann gilt auch ≡ _A =≡ _L .

Hinweis: Die Abbildung β wurde auf ¨ Aquivalenzklassen definiert. Man muss zeigen, dass β unabh¨ angig von der Wahl der Repr¨ asentaten u ₁ , . . . , u _k ist. Dazu nimmt man an, dass u ˆ i ≡ _L u i . Nun zeigt man, dass β([ˆ u i ] ≡

Hinweis: Man muss noch zeigen, dass β(q 0L ) = q 0 , β(Q F L ) = Q F und f¨ ur alle p, p ⁰ ∈ Q _L und a ∈ Σ gilt: p − → ^a _L p ⁰ genau dann, wenn β(p) − → ^a β(p ⁰ ).