Prof. Dr. Roland Meyer Abgabe bis 15.12.2013 um 14h

WS 2014/2015 08.12.2013 Ubungen zur Vorlesung ¨

B¨ aume, Ordnungen und Anwendungen Blatt 7

Prof. Dr. Roland Meyer Abgabe bis 15.12.2013 um 14h

Aufgabe 7.1 (Analyse mit beschr¨ ankter Rekursionstiefe)

Der funktionale Ansatz zur Analyse rekursiver Programme kann unpr¨ azise sein. Das Transferverhalten von Prozeduren wird allgemein bestimmt, ohne den Kontext zu ber¨ ucksichtigen, aus dem die Prozedur aufgerufen wird.

Geben sie an, wie man ein rekursives Programm so umschreiben kann, dass eine Analyse bis zu einer vorher festgelegten Rekursionstiefe pr¨ azise ist.

Aufgabe 7.2 (Galois-Verbindungen)

Geben Sie im Folgenden jeweils an, ob das Paar (α, γ ) eine Galoisverbindung ist. Bei den Paaren, die keine Galoisverbindungen sind, geben Sie jeweils ein Gegenargument bzw.

Gegenbeispiel an.

L M α γ

a) ( Z

, ≤) ( P ( Z ) , ⊆) z 7→ {z}, −∞ 7→

∅, ∞ 7→ Z

m 7→ F {z | z ∈ m}

b) (P (Z) , ⊆) (Z, ≤) l 7→ F

{z | z ∈ l} z 7→ {z}, −∞ 7→

∅, ∞ 7→ Z c) ( Z ∪ {⊥, >}, v) ( P ( Z ) , ⊆) z 7→ {z} m 7→ F

{a | a ∈ m}

d) ( Z

, v) Z

, v

l 7→ (l, l) (l

, l

) 7→ l

e) P R

, ⊆

conv R

, ⊆

l 7→ conv (l) m 7→ m

Dabei sind

• z ∈ Z, l ∈ L, m ∈ M

• Z

:= Z ∪ {−∞, +∞}

• z

v z

gdw. z

= ⊥ ∨ z

= >

• conv R

die konvexen Mengen uber ¨ R

bzw. conv (l) die konvexe H¨ ulle von l. Eine Teilmenge m ⊆ R

heißt konvex, wenn jede Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten in m selbst vollst¨ andig in m liegt. Die konvexe H¨ ulle conv (l) is die kleinste konvexe Menge m, die l enth¨ alt.

Aufgabe 7.3 (Galois-Verbindungen)

Seien (L, ≤

) und (M, ≤

) vollst¨ andige Verb¨ ande. Zeigen Sie:

a) Ist L

⊆ L und (α, γ) eine Galois-Verbindung, so gilt α ( F

L

) = F α (L

).

b) Zu jeder vollst¨ andig additiven Funktion α : L → M gibt es eine Funktion γ : M → L, so dass (α, γ) eine Galois-Verbindung ist.

Abgabe bis 15.12.2013 um 14h im Kasten neben Raum 34-401.4