Aufgabe 1: Gomory-Hu Bäume und Teilgraphen Sei G := K

6. Übungsblatt

Algorithmische Graphentheorie

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: Gomory-Hu Bäume und Teilgraphen Sei G := K

mit Kantengewichten jeweils 1.

(i) Finden Sie einen fluss-äquivalenten Baum von G, der Teilgraph von G ist.

(ii) Zeigen Sie, dass kein Gomory-Hu Baum von G existiert, der Teilgraph von G ist.

Aufgabe 2: Fluss-äquivalente Pfade

Zeigen Sie, dass zu jedem Graph G ein fluss-äquivalenter Pfad P existiert.

Tipp: Induktion über n.

Aufgabe 3: Kreise mit fixierten Knoten

Zeigen Sie, dass jede Menge S von k ≥ 2 Knoten in einem k-zusammenhängenden Graphen G in einem Kreis von G enthalten ist.

Aufgabe 4: Dekrementeller Zusammenhang

Sei F ein dekrementell-dynamischer Wald, der anfangs zusammenhängend ist und am Ende keine Kanten mehr enthält (Kosten für eine amortisierte Laufzeitanalyse können hier also sogar mit zukünftigen Kantenlöschungen verrechnet werden).

Entwerfen Sie eine Datenstruktur, die die folgenden Operationen auf F in jeweils amortisierter Zeit O(log n) unterstützt, ohne dabei Euler-Tour Bäume zu benutzen.

(i) delete(v, w): Löscht Kante vw aus F , falls vw ∈ E(F ).

(ii) connected(v, w): Gibt aus, ob F einen Pfad zwischen v und w enthält.