Gomory-Hu Bäume

(1)

©30.11.18 Jens M. Schmidt

Gomory-Hu Bäume

Jens M. Schmidt b

S a

T

t X‘

V-X‘

X

(2)

©30.11.18

●

Flussäquivalente Graphen und Gomory-Hu Bäume

●

Nicht-kreuzende Schnitte, Symmetrische Submodulare Mengenfunktionen

●

Algorithmus von Gomory und Hu

Überblick

(3)

Sei G ungerichtet mit Gewichtsfunktion (Gewicht 0 <=> keine Kante).

(für negative Gewichte ist schon Min-Schnitt NP-schwer wegen Max-Schnitt) d(S) := Größe des Schnittes  S  V

 (s,t) := Größe d(S) eines minimalen s-t-Schnittes S

Lemma [Transitivität von  ]:  (s,t)  min{  (s,u),  (u,t)} für alle s,t,u  V.

Beweis: Jeder s-t-Schnitt ist entweder s-u-Schnitt (falls u  V-S) oder u-t-Schnitt (falls u  S).

Fluss-äquivalente Graphen

u S

s

V-S

t

(4)

©30.11.18

Lemma: Es gibt höchstens n-1 verschiedene Werte  (s,t) über alle s,t  V.

Beweis:

●

Betrachte K

_n

mit Kantengewichten 

_G

(s,t)

●

T := maximaler Spannbaum von K

_n

●

Beh.: Für jede Knoten s,t und der Kante vw kleinsten Gewichts auf dem s-t-Pfad P in T gilt  (s,t) =  (v,w).

●

 (s,t)   (v,w), sonst wäre T nicht maximal

●

Sei P := sp

₁

...p

_k

t

●

 (s,t)  min{  (s,p

₁

),  (p

₁

,t)} nach Transitivität  min{  (s,p

₁

),...,  (p

_k

,t)}

=  (v,w)

→ jetzt: stärkere Baumdarstellung dieser minimalen s-t-Schnittgrößen

Fluss-äquivalente Graphen

41

3 2

1

p

₁

s

t

w

v

P

(5)

Zwei Graphen G und H auf der Knotenmenge V heißen fluss-äquivalent, wenn für alle s,t  V gilt: 

_H

(s,t) = 

_G

(s,t).

●

Jeder Graph G hat einen fluss-äquivalenten Baum H.

(z.B. der vorige maximale Spannbaum)

●

Achtung: H muss nicht Teilgraph von G sein.

T := Baum mit Kante vw

C

_vw

:= Knotenmenge der Komponente von T-vw, die v enthält

Ein Baum T auf der Knotenmenge V heißt Gomory-Hu Baum von G, falls C

_vw

für jede Kante vw  T ein minimaler v-w-Schnitt von G ist.

Fluss-äquivalente Graphen

1 1

1

e

d

a b

c

2 2

1 1

e d

a b

  c

G

fluss-äquivalent zu G

kein Teilgraph von G: ad  G

kein GH-Baum: C

_de

= {a,d}, d

_G

(C

_de

)=3 Gomory-Hu Baum sogar Pfad → Übung

2 1

1

e

2

c

a d b

(6)

©30.11.18

Lemma: Ein Gomory-Hu Baum T von G mit Gewichtung d(C

_e

) für jedes e  T ist fluss-äquivalent zu G.

●

Für Knoten s,t  V sei vw eine kleinste Kante auf dem s-t-Pfad P:=sp

₁

...p

_k

t in T

→ 

_T

(s,t) = 

_T

(v,w) = 

_G

(v,w) da T Baum und nach Gomory-Hu-Definition

●



_G

(s,t)  

_G

(v,w) = 

_T

(s,t) da v-w-Schnitt C

_vw

von G auch s-t-Schnitt von G ist

●



_G

(s,t)  

_G

(v,w) = 

_T

(s,t):

●



_G

(s,t)  min{ 

_G

(s,p

₁

),..., 

_G

(v,w), 

_G

(p

_k

,t)} nach Transitivität

Fluss-äquivalente Graphen

41

3 2

1

s

t

w v

P

(7)

●

Flussäquivalente Graphen und Gomory-Hu Bäume

●

Nicht-kreuzende Schnitte, Symmetrische Submodulare Mengenfunktionen

●

Algorithmus von Gomory und Hu

Überblick

(8)

©30.11.18

Lemma: Sei S,T ein minimaler s-t-Schnitt mit s  S und a,b Knoten in S. Dann

existiert ein minimaler a-b-Schnitt X mit X  S. (mit entweder a  X oder b  X) Beweis:

●

Sei X' ein minimaler a-b-Schnitt mit t  X' (o.B.d.A. a  X')

→ S  X' ist s-t-Schnitt (enthält s, aber nicht t)

→ d(S  X')  d(S) (da S minimal)

●

Für X := S  X' gilt wegen Submodularität von d:

●

d(X) + d(S  X')  d(S) + d(X')

→ d(X)  d(X')

→ X ist (wie X') ein minimaler a-b-Schnitt

benötigt Submodularität von d

benötigt Symmetrie von d: d(X)=d(V-X) für alle X  V

→ Gomory-Hu Bäume können sogar für beliebige nicht-negative symmetrische submodulare Mengenfunktionen d mit der gleichen Methode konstruiert werden.

Nicht-kreuzende minimale Schnitte

b S a

T

t X‘

V-X‘

X

(9)

Lemma: Sei S,T ein minimaler s-t-Schnitt mit s  S und a,b Knoten in S. Dann

existiert ein minimaler a-b-Schnitt X mit X  S. (mit entweder a  X oder b  X) Beweis:

●

Sei X' ein minimaler a-b-Schnitt mit t  X' (o.B.d.A. a  X')

→ S  X' ist s-t-Schnitt (enthält s, aber nicht t)

→ d(S  X')  d(S) (da S minimal)

●

Für X := S  X' gilt wegen Submodularität von d:

●

d(X) + d(S  X')  d(S) + d(X')

→ d(X)  d(X')

→ X ist (wie X') ein minimaler a-b-Schnitt

Korollar 1 [merken]:  minimaler a-b-Schnitt A,B mit a  A, so dass T entweder ganz in A oder ganz in B enthalten ist. (A ist entweder X oder V-X)

Korollar 2: 

_G/T

(a,b) = 

_G

(a,b)  a,b  S. (Kontraktion senkt  nicht+min.Schnitt bleibt)

Nicht-kreuzende minimale Schnitte

Kontraktion

b S a

T

t X‘

V-X‘

X

(10)

©30.11.18

●

Flussäquivalente Graphen und Gomory-Hu Bäume

●

Nicht-kreuzende Schnitte, Symmetrische Submodulare Mengenfunktionen

●

Algorithmus von Gomory und Hu

Überblick

(11)

Sei V

₁

,...,V

_k

Partition von V.

T := Baum auf der Knotenmenge {V

₁

,...,V

_k

}.

Für Baumkante V

_v

V

_w

sei C

_vw

:=  C

_VvVw

.

T ist Gomory-Hu Baum für V

₁

,...,V

_k

, falls für jede Kante V

_v

V

_w

 T ein a  V

_v

und b  V

_w

existiert, so dass C

_vw

ein minimaler a-b-Schnitt von G ist.

→ Gomory-Hu Baum für {v

₁

},...,{v

_n

} ist Gomory-Hu Baum.

Generalisierte Gomory-Hu Bäume

d(C_vw)=3

C_vw C_vw

V

v

V

₂

V

₁

V

4

V

_w

V

₃

(12)

©30.11.18

Algorithmus [gibt Gomory-Hu Baum T

_n

aus]:

●

k := 1 und somit V

₁

:= {V} T

₁

:=({V},  ) ist GH-Baum für einzigen Knoten {V}

●

Für k := 1 bis n-1 konstruiere GH-Baum T

_k+1

(1 Knoten mehr) aus GH-Baum T

_k

●

Wähle v mit a,b  V

_v

V

_v

mit  2 Elementen existiert wegen k<n

●

A,B := minimaler a-b-Schnitt von G mit a  A

Gomory-Hu Algorithmus

Gomory-Hu Baum T Gomory-Hu Baum T

₂

V

₁

A B

a b V

₁

∩B

l(a,b)

A∩V

₁

A B

V1

:= V2

:=

(13)

©30.11.18 Jens M. Schmidt Cw v

V₂ V₁

Vv

A B

a b

V₃

V_w V₄

Cvw

Algorithmus [gibt Gomory-Hu Baum T

_n

aus]:

●

k := 1 und somit V

₁

:= {V} T

₁

:=({V},  ) ist GH-Baum für einzigen Knoten {V}

●

Für k := 1 bis n-1 konstruiere GH-Baum T

_k+1

(1 Knoten mehr) aus GH-Baum T

_k

●

Wähle v mit a,b  V

_v

V

_v

mit  2 Elementen existiert wegen k<n

●

A,B := minimaler a-b-Schnitt von G mit a  A,

so dass für alle Nachbarn V

_w

von V

_v

in T

_k

gilt: C

_wv

 A oder C

_wv

 B (Korollar 1)

●

Splitte V

_v

in neue adjazente Knoten V

_v

 A und V

_v

 B und ersetze Endknoten V

_v

jeder Kante V

_v

V

_w

durch V

_v

 A, falls C

_wv

 A, und durch V

_v

 B, falls C

_wv

 B.

●

V

_k+1

:= V

_v

 B und V

_v

:= V

_v

 A.

Gomory-Hu Algorithmus

Gomory-Hu Baum T

_k

mit C

_wv

 B

Gomory-Hu Baum T

_k+1

V

_w

ist adjazent zu V

_v

 B

T aus Korollar 1 (C

_vw

ist min. s-t-Schnitt wegen T

_k

)

V₂

V₁ A B

V₃

Vw

V₄ V_v∩B

A∩V_v

l(a,b)

Vv Vk+ 1

:= :=

(14)

Korrektheit:

●

T

_k

Baum => T

_k+1

Baum

●

Schnitt A,B existiert nach Korollar 1 nicht-kreuzender Schnitte (iterativ angewandt für alle V

_v

V

_w

 T

_k

mit jeweils S=C

_vw

und T=C

_wv

)

●

Gomory-Hu Baum-Bedingung für T

_k+1

erfüllt für

●

Neue Kante V

_v

V

_k+1

durch a  V

_v

und b  V

_k+1

●

Alte Kanten nicht inzident zu V

_v

oder V

_k+1

da Kantenendblöcke unverändert

Gomory-Hu Algorithmus

Cw v

V₂ V₁

Vv

A B

a b

V₃

V_w V₄

Cvw

V₂ V₁

A B

V3

Vw

V₄ Vk+1

Vv

b a

(15)

●

Alte Kanten inzident zu o.B.d.A. V

_k+1

:

●

C

_vw

war minimaler s-t-Schnitt in T

_k

●

Falls s in V

_k+1

: weiterhin erfüllt durch s und t

●

Falls s in V

_v

:

Gomory-Hu Algorithmus

Cw v

V₂ V₁

Vv

A B

a b

V₃

V_w V₄

Cvw

V₂ V₁

A B

V₃

Vw

V₄ Vk+1

Vv

l(a,b)

t s

l(s,t)

b a

(16)

●

Alte Kanten inzident zu o.B.d.A. V

_k+1

:

●

C

_vw

war minimaler s-t-Schnitt in T

_k

●

Falls s in V

_k+1

: weiterhin erfüllt durch s und t

●

Falls s in V

_v

:

Gomory-Hu Algorithmus

Cw v

V₂ V₁

Vv

A B

a b

V₃

V_w V₄

Cvw

V₂ V₁

A B

V₃

Vw

V₄ Vk+1

Vv

t s

l(s,t)

b a

(17)

●

Alte Kanten inzident zu o.B.d.A. V

_k+1

:

●

C

_vw

war minimaler s-t-Schnitt in T

_k

●

Falls s in V

_k+1

: weiterhin erfüllt durch s und t

●

Falls s in V

_v

: erfüllt durch b und t (zu zeigen ist  (b,t)=  (s,t)):

●

 (b,t)   (s,t) da b auf Seite von s im min. Schnitt C

_vw

in T

_k

war

●

 (b,t)   (s,t): wie bekommen wir für Transitivität a und s zusammen?

●

Kontrahiere minimalen a-b-Schnitt A

●

Nach Korollar 2 bleibt  (b,t) dadurch unverändert

●

 (b,t)  min{  (b,{A}),  ({A},t)} Transitivität

●

 ({A},b) =  (a,b)   (s,t) da a-b-Schnitt A auch s-t-Schnitt ist

●

 ({A},t)   (s,t) da jeder {A}-t-Schnitt auch s-t-Schnitt ist

Gomory-Hu Algorithmus

Cw v

V₂ V₁

Vv

A B

a b

V₃

V_w V₄

Cvw

V₂ V₁

A B

V3

Vw

V₄ Vk+1

Vv

l(a,b)

t s

l(s,t)

b a

(18)

Theorem: Ein Gomory-Hu Baum kann in Zeit O(n Fluss(n,m)) berechnet werden.

(Fluss(n,m) := Zeit für das Berechnen eines maximalen s-t-Flusses) Beweis:

●

Kontrahiere jedes C

_ji

zu Einzelknoten in Zeit O(n+m).

●

Mit Korollar 2 reicht es aus, einen beliebigen min. a-b-Schnitt zu berechnen.

●

Finde Zugehörigkeit der kontrahierten Knoten zu A oder B.

●

Gesamtlaufzeit: O(Fluss(n,m)) pro Iteration (dominiert Kontraktionszeit)

Verschärfungen von Gomory-Hu Bäumen auf nicht-triviale min-cuts existieren:

[2017 Lo, S.]. Implikation: Jeder Graph hat O(n/  )  -kantenzshngd. Komponenten.

Gomory-Hu Algorithmus

Cw v

V

₂

V

1

V

v

A B

a b

V

₃

V

_w

V

₄

Cvw