Bruchterme vereinfachen - Bruchgleichungen - Aufgaben

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BEISPIELAUFGABEN ZUM ONLINE-KURS

MATHEMATIK-ÜBUNGEN - BRUCHTERME UND BRUCHGLEICHUNGEN

Dieser Kurs beinhaltet:

* Bruchterme kürzen

* Bruchterme vereinfachen

* Äquivalente Bruchterme finden

* Bruchgleichungen lösen

* Lösungsmenge einer Bruchgleichung bestimmen

* Definitionsmenge eines Bruchterms bestimmen

* Bruchterm mit bestimmter Definitionsmenge angeben

* Verhältnisgleichungen lösen

Auf den folgenden Seiten finden Sie Beispielaufgaben zum Online-Kurs "Bruchterme und Bruchgleichungen" bei unterricht.de

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Dieses Material darf im Unterricht verwendet werden.

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Frage

Welcher der folgenden Terme ist ¨aquivalent zu −6 +x 2x −2?

Antwortm¨ oglichkeiten

A: 6x −x² 2x −2 B: −6x +x²

2x²−2x

C: 3

2

D: x −6

2x²−2x

L¨ osung

Zwei Bruchterme sind dann ¨aquivalent, wenn einer der Terme durch K¨urzen und Erweitern in den anderen Term umgewandelt werden kann.

Wenn man den Term −6 +x

2x −2 mitx erweitert, erh¨alt man −6x +x²

2x²−2x . Somit sind die beiden Terme

¨aquivalent.

Rechnung:

(−6 +x)·x

(2x −2)·x = −6x +x² 2x²−2x

c unterricht.de|support-id: 24794

Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨offentlicht werden.

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Frage

Bestimme die Definitionsmenge des Bruchterms.

a²−1 (a+ 2)(a−6)

Antwortm¨ oglichkeiten

A: D =Q\{−6; 2}

B: D =Q\{1}

C: D =Q\{−1; 1}

D: D =Q\{−2; 6}

L¨ osung

Die Definitionsmenge eines Bruchterms ist die Menge aller Werte, die f¨ur die Variable (hier a) eingesetzt werden d¨urfen.

Bei Bruchtermen wird die Definitionsmenge dadurch eingeschr¨ankt, dass nicht durch Null dividiert werden darf.

Finde heraus f¨ur welche Werte vona der Nenner Null ergibt, indem du den Nenner gleich Null setzt und dann nacha aufl¨ost.

Hier ist der Nenner (a+ 2)(a−6).

(a + 2)(a−6) = 0

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Setze beide Faktoren einzeln gleich Null und l¨ose nach a auf.

a+ 2 = 0 oder a−6 = 0

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1. Faktor:

a+ 2 = 0 | −2 a =−2

2. Faktor:

a−6 = 0 |+ 6 a = 6

Nun kannst du die Definitionsmenge angeben: D =Q\{−2; 6}

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Frage

Bestimme die L¨osungsmenge der Bruchgleichung.

1

3 = 12−5x 12x

Antwortm¨ oglichkeiten

A: L ={2 3} B: L ={4

3} C: L ={−12}

D: L =∅

L¨ osung

Die Lösungsmenge einer Gleichung ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, für die die Gleichung erfüllt ist.

Die L¨osungsmenge einer Bruchgleichung bestimmst du, indem du die Gleichung nach der Variablen (hierx) aufl¨ost.

1

3 = 12−5x

12x | ·12x 4x = 12−5x |+ 5x 9x = 12 |: 9

x = 12 9 = 4

3

Nun kannst du die L¨osungsmenge angeben: L ={4 3}

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Frage

Gib einen Bruchterm an, welcher die Definitionsmenge D =Q\{−1; 2} hat.

Antwortm¨ oglichkeiten

A: y −1

y²−y −2

B: y −1

y + 2 C: y(y + 2)

y + 1

D: 1

2y −1

E: −y −1

y²−3y −2

L¨ osung

Der Definitionsbereich ist die Menge aller y-Werte, die in den Term eingesetzt werden d¨urfen.

Da nicht durch Null geteilt werden darf, sind diejenigen y-Werte aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen, f¨ur welche der Nenner des Terms Null wird.

Uberlege, welcher Term einen Nenner besitzt, der sowohl f¨¨ ur y =−1 als auch f¨ur y = 2 Null wird.

y + 1 wird f¨ur y =−1 Null. Der Nenner des gesuchten Terms enth¨alt also den Faktory + 1.

y −2 wird f¨ur y = 2 Null. Der Nenner des gesuchten Terms enth¨alt also den Faktor y −2.

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Beide Faktoren ergeben den gesamten Nenner: (y + 1)(y −2) =y²−y −2

Da der Zähler für den Definitionsbereich keine Rolle spielt, kann der Zähler beliebig gewählt werden.

Der Term y −1

y²−y −2 hat den Definitionsbereich D =Q\{−1; 2}.

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Frage

K¨urze den Bruchterm bis er nicht mehr weiter gek¨urzt werden kann.

(x + 1)·(x²−1) (x²−1)·x²·(x+ 2)

Antwortm¨ oglichkeiten

A: 1

2x²

B: 1

x²

C: x + 1

x²(x + 2)

D: 1

x²+ 2x

L¨ osung

Ein Bruchterm ist dann vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren mehr haben.

Einen Bruch wie 6

21 kürzt du, indem du Zähler und Nenner so weit wie möglich faktorisierst ( 6

21 = 2·3

3·7). Nun kannst du Z¨ahler und Nenner durch alle gemeinsamen Faktoren dividieren (2·3 : 3

3·7 : 3 = 2

7). Der vollständig gekürzte Bruch ist also 2 7. Zum Kürzen eines Bruchterms gehst du genauso vor.

Dieser Term ist bereits faktorisiert.

Der gemeinsame Faktor ist x²−1. Dividiere Z¨ahler und Nenner durchx²−1.

(x + 1)·(x²−1) : (x²−1) (x²−1)·x²·(x+ 2) : (x²−1)

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Nach dem K¨urzen bleibt der Term x+ 1

x²(x + 2) stehen.

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Frage

Bestimmec ,damit folgende Verh¨altnisgleichung stimmt:

7

c+ 4 = 3 6c−1

Antwortm¨ oglichkeiten

A: Keine L¨osung

B: c = 19

39

C: c = 36

19

D: c = 1

3

E: c = 1

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L¨ osung

Um die Lösung einer Verhältnisgleichung zu bestimmen, musst du sie nach der Variablen (hier c) auflösen.

Um dies zu erreichen, empfiehlt es sich als erstes die Gleichung in eine einfachere Form zu bringen, so dass keine Br¨uche mehr vorkommen.

Dies erreicht man, indem man beide Seiten der Gleichung mit dem Produkt der Nenner multipliziert.

7

c+ 4 = 3

6c−1 | ·(c + 4)(6c −1) 7(6c−1) = 3(c+ 4)

42c −7 = 3c+ 12

Zuletzt muss man die Gleichung nach c aufl¨osen um die L¨osung zu finden.

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42c −7 = 3c+ 12 | −3c+ 7 39c = 19 |: 39

c = 19 39

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