Strahlensatz - Winkel - Ähnliche Dreiecke - Aufgaben

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MATHEMATIK-ÜBUNGEN - STRAHLENSATZ UND ÄHNLICHKEIT

Dieser Kurs beinhaltet:

* Zentrische Streckung erkennen

* Streckfaktor einer zentrischen Streckung bestimmen

* Streckzentrum einer zentrischen Streckung ermitteln

* Strahlensatz an einer gegebenen Figur anwenden

* Textaufgabe mit dem Strahlensatz lösen

* Umkehrung des Strahlensatzes anwenden

* Eigenschaften ähnlicher Figuren

* Ähnliche Dreiecke erkennen (Winkel, Seiten)

* Allgemein ähnliche Figuren erkennen

Auf den folgenden Seiten finden Sie Beispielaufgaben zum Online-Kurs "Strahlensatz und Ähnlichkeit" bei unterricht.de

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Dieses Material darf im Unterricht verwendet werden.

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Frage

Welche dieser Figuren ist der untenstehenden ¨ahnlich?

Antwortm¨ oglichkeiten

A:

B:

c unterricht.de|support-id: 18566

Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨offentlicht werden.

Seite 1

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C:

D:

L¨ osung

Seite 2

(4)

Zwei Figuren F und G sind zueinander ¨ahnlich, wenn man F durch eine zentrische Streckung so vergr¨oßern oder verkleinern kann, dass das Bild F’ zuG kongruent (deckungsgleich) ist.

Nach einer zentrischen Streckung sind die Seiten der Bildfigur parallel zu denen der Originalfigur.

Uberpr¨¨ ufe mithilfe der K¨astchen, ob alle Seiten der Bildfiguren dieselbe Richtung haben wie die entsprechende Seite der Originalfigur.

Hinweis: Eventuell musst du die Bildfiguren drehen bevor du die Seiten ¨uberpr¨ufst.

In dieser Figur sind alle Seiten parallel zur Originalfigur.

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Frage

Sind diese Dreiecke einander ¨ahnlich?

Antwortm¨ oglichkeiten

A: Ja, weil die Seitenverh¨altnisse ¨ubereinstimmen.

B: Keine Aussage m¨oglich, weil die dritte Seite nicht gegeben ist.

C: Ja, weil sie in zwei Winkeln ¨ubereinstimmen.

D: Nein, weil sie nicht in den Winkeln ¨ubereinstimmen.

E: Nein, weil sie in keiner Seite ¨ubereinstimmen.

L¨ osung

Seite 1

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Zwei Dreiecke ∆A B C und ∆D E F sind zueinander ¨ahnlich, wenn man ∆A B C durch eine zentrische Streckung so vergr¨oßern oder verkleinern kann, dass das Bild ∆A’B’C’ zu ∆D E F kongruent (deckungsgleich) ist.

F¨ur ¨ahnliche Dreiecke gilt:

• Entsprechende Seiten haben das gleiche L¨angenverh¨altnis

• Entsprechende Winkel sind gleich groß

Berechne die Längenverhältnisse zusammengehöriger Seiten und vergleiche sie miteinander.

B C D F = 14

7 = 2 A C

E F = 10 5 = 2 A B

D E (keine Aussage m¨oglich, da diese Seiten nicht gegeben sind.) Keine Aussage m¨oglich, weil die dritte Seite nicht gegeben ist.

Seite 2

(7)

Frage

Welches dieser Bilder zeigt keine zentrische Streckung der untenstehenden Figur.

Antwortm¨ oglichkeiten

A:

B:

Seite 1

(8)

C:

D:

Seite 2

(9)

L¨ osung

Eine zentrische Streckung ist eine Vergr¨oßerung oder Verkleinerung einer Figur. Die Form bzw.

Seitenverh¨altnisse der Figur bleiben dabei unver¨andert.

Nach einer zentrischen Streckung sind die Seiten der Bildfigur parallel zu denen der Originalfigur.

Uberpr¨¨ ufe mithilfe der K¨astchen, ob alle Seiten der Bildfiguren dieselbe Richtung haben wie die entsprechende Seite der Originalfigur.

In dieser Figur ist die Seite [A’D’] nicht parallel zur Seite [A D] der Originalfigur. Es handelt sich somit auch um keine zentrische Streckung der obigen Figur.

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(10)

Frage

Welches Bild zeigt die zentrische Streckung untenstehender Figur mit Streckzentrum Z(4| −2) und Streckfaktor k =−2

3?

Antwortm¨ oglichkeiten

A:

B:

Seite 1

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C:

D:

Seite 2

(12)

L¨ osung

Bei einer zentrischen Streckung verl¨angert oder verk¨urzt sich der Abstand aller Punkte zum Streck- zentrumZ um den Faktork.

Die Streckung erfolgt entlang der Geraden durch das Streckzentrum Z(4| −2) und dem jeweiligen Punkt.

Hier ist k =−2

3. Die Abst¨ande der Punkte zu Z werden um den Faktor 2

3 verkleinert. Wegen des Minuszeichens werden die Punkte zus¨atzlich an Z punktgespiegelt.

Seite 3

(13)

Dieses Bild zeigt die zentrische Streckung der obigen Figur mit StreckzentrumZ(4| −2) und Streck- faktork =−2

3.

Seite 4

(14)

Frage

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Antwortm¨ oglichkeiten

A: e

h = g f

B: h

e = c a

C: c

f = a g

D: a

c = e+h g +f

L¨ osung

Versuche in dieser Figur zentrische Streckungen zu finden.

Hinweis: Hier dient der PunktS als Streckzentrum.

Da bei einer zentrischen Streckung alle Punkte um den gleichen Faktor gestreckt werden, ergeben die Verh¨altnisse der Bildstrecken zu den Originalstrecken alle denselben Wert.

Seite 1

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Es gilt:

h e = c

a e h = g

f c f = a

g a

c = e +h

g +f ist falsch, da hier nicht die Abst¨ande zum Streckzentrum betrachtet werden, sondern die ganzen Diagonalen.

Seite 2

(16)

Frage

Der sogenannte Jakobsstab diente fr¨uher zur Bestimmung von H¨ohen und Entfernungen. Bei einer Entfernung von 100m zum Kirchturm muss der 0,15m lange senkrechte Stab 0,2m vom Auge entfernt gehalten werden um den gesamten Kirchturm abzudecken.

Berechne die H¨ohe des Kirchturms.

Antwortm¨ oglichkeiten

A: h = 98m

B: h = 144m

C: h = 75m

D: h = 133m

L¨ osung

Seite 1

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Betrachte die Situation als zentrische Streckung am Auge des Betrachters.

Nach dem Strahlensatz gilt folgende Beziehung:

h

0,15 = 100 0,2 Nach h aufl¨osen:

h

0,15 = 100

0,2 | ·0,15 h = 100

0,2 ·0,15 = 75

Der Kirchturm hat eine H¨ohe von 75m.

Seite 2

(18)

Frage

Bestimme den Streckfaktor der im Bild gezeigten zentrischen Streckung.

Antwortm¨ oglichkeiten

A: k = 4

3

B: k = 3

2

C: k = 1

3

D: k = 1

4

L¨ osung

Bestimme mithilfe der Kästchen, um welchen Faktor sich die Abstände der Punkte zuZ vergrößern.

Seite 1

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Die Strecke Z A’ ist 4

3 -mal so groß wie die Strecke Z A. Die Strecke Z B’ ist 4

3 -mal so groß wie die Strecke Z B. Die Strecke Z C’ ist 4

3 -mal so groß wie die Strecke Z C. Die Strecke Z D’ ist 4

3 -mal so groß wie die Strecke Z D. Der Streckfaktor betr¨agt somit k = 4

3.

Seite 2

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Frage

Bestimme die Koordinaten des Streckzentrums der im Bild gezeigten zentrischen Streckung.

Antwortm¨ oglichkeiten

A: Z(−1|4) B: Z (3|3) C: Z(−1|1) D: Z (2|1)

L¨ osung

Die Streckung erfolgt entlang der Halbgeraden durch das Streckzentrum Z und dem jeweiligen Punkt.

Seite 1

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Die GeradenA A’, B B’, C C’ und D D’ schneiden sich im Streckzentrum Z.

Das Streckzentrum hat die Koordinaten Z(−1|4).

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Frage

Sind die Geradenh1 und h2 zueinander parallel?

Antwortm¨ oglichkeiten

A: Nein, weil 16c m

6c m 6= 7c m 4c m. B: Ja, weil 1c m

4c m = 6c m 12c m. C: Ja, weil 7c m

1c m = 14c m 4c m . D: Nein, weil 12c m

4c m 6= 6c m 1c m.

L¨ osung

Betrachte die Figur als zentrische Streckung der Strecke [A C] am PunktZ .

Erf¨ullen die gegebenen Gr¨oßen den Strahlensatz, so sind die Geradenh₁ undh₂ zueinander parallel.

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Pr¨ufen, ob der Strahlensatz erf¨ullt ist:

12 4 = 6

1

3 = 6 (falsche Aussage)

Die Geraden h₁ und h₂ sind nicht zueinander parallel, da die gegebenen Werte den Strahlensatz nicht erf¨ullen.

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