Arbeitsheft. Winkel & Dreiecke. von:

Arbeitsheft

Winkel &

Dreiecke

    

von: _____________________________

Inhaltsverzeichnis

1. Die verschiedenen Arten von Winkeln ... 2

2. Winkel messen ... 5

3. Winkel an einer Geradenkreuzung ... 8

4. Winkel an zwei Gradenkreuzungen ... 12

5. Die Seiten und Winkel eines Dreiecks ... 15

6. Die verschiedenen Arten von Dreiecken ... 17

7. Innenwinkel eines Dreiecks ... 20

8. Besondere Linien im Dreieck ... 22

9. Die Höhen in einem Dreieck ... 22

10. Mittelsenkrechte ... 24

11. Umkreis des Dreiecks ... 27

12.Inkreis des Dreiecks ... 30

13. Winkelhalbierende ... 30

13. Der Satz des Thales – eine Anwendung zu den Mittelsenkrechen ... 34

Hinweise zum Arbeiten mit diesem Heft

Das Arbeitsheft ist zum digitalen Arbeiten gedacht.

Zu jedem Kapitel findest du Erklärungen und Aufgaben über einen QR-Code.

Sollte dir einmal kein Gerät zum digitalen Arbeiten zur Verfügung stehen, findest du auch kurze Erklärungen und Übungen im Heft. Die sind aber längst nicht so

ausführlich, wie die hinter den QR-Codes.

Leere Felder für Merksätze sind in jedem Fall von dir zu gestalten.

Die Arbeitsblätter in diesem Heft sind zu bearbeiten.

Ausnahme: In der Überschrift des Arbeitsblattes steht vorne „Analoge Übung“. Diese Arbeitsblätter musst du nur bearbeiten, wenn die digitalen Übungen in dem Moment nicht gemacht werden können.

Die Tabellen mit den QR-Codes sind in den Anforderungen abgestuft. Bearbeite die Tabellen in einem Kapitel, die am besten zu deinem Leistungsstand passen. Fordere

1. Die verschiedenen Arten von Winkeln

Ich kann das mit den Winkeln so gut wie gar nicht mehr…

Aufgabe Zusätzlich ✓ ich kann aber noch

… Winkel nach der Größe ordnen

… und muss mir die Bezeichnungen bei Winkeln unbedingt noch einmal anschauen.

Scheiten? Schenkel? …

… und ich möchte mir die Benennung der verschieden Winkelarten noch einmal langsam angucken.

und ich kann jetzt …

… das jetzt mit den Bezeichnungen

Ich kann das mit den Winkeln nicht mehr so gut…

Aufgabe Zusätzlich ✓

ich kann…

… Winkel der Größe nach ordnen

… aber ich kann Winkelgrößen so ungefähr abschätzen und weiß, was ein Schenkel und ein Scheitelpunkt ist.

… ich muss mir die Benennung der verschieden Winkelarten noch einmal angucken.

… aber jetzt kann ich erfolgreich üben:

Ich kann das mit den Winkeln noch ganz gut… Aufgabe Zusätzlich ✓

… deshalb gucke ich mir gleich eine kleine Übung dazu an:

… , ich kann die verschiedenen Winkel benennen.

… und auch diese Übungen kann ich:

Die verschiedenen Arten von Winkeln - die analoge Variante

Typische Winkel:

Nullwinkel rechter Winkel gestreckter Winkel Vollwinkel

dazwischen liegen: spitze stumpfe überstumpfe Winkel

Analoge Übung: Die verschiedenen Arten von Winkeln - Arbeitsblatt

Aufgabe 1:

Ordne die Winkel der Größe nach. Notiere dazu die Nummern 1 bis 14 neben den Winkeln. Die 1 sollte neben dem kleinsten Winkel stehen.

Aufgabe 2:

Sortiere die Winkel von Aufgabe 1 in die Tabelle ein. Schreibe dazu die Nummern der Winkel in das passende Feld.

Nullwinkel spitzer Winkel

rechter Winkel

stumpfer Winkel

gestreckter Winkel

überstumpfer Winkel

Voll- Winkel

2. Winkel messen

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das noch kann… Aufgabe Zusätzlich ✓

… deshalb lasse ich mir das lieber noch einmal zeigen!

… ich kann jetzt Winkelgrößen ablesen.

… ich das Geodreieck passend anlegen.

… jetzt traue ich mir das auch bei über 180° zu!

Ich denke, ich kann das noch ganz gut … Aufgabe Zusätzlich ✓

… ich starte trotzdem mal noch einfach.

… ich kann das Geodreieck passend anlegen.

… Winkel über 180° schaffe ich auch.

Winkel messen – die analoge Variante

Ganz wichtig:

Zum Ablesen musst du immer die Skala nehmen, die bei der Grundkante bei 0 anfängt.

Analoge Übung: Übungen zur Winkelmessung - Arbeitsblatt Miss die folgenden Winkel:

Lösungen:

3. Winkel an einer Geradenkreuzung

Bevor du mit etwas Neuem startest, wiederhole einmal dein Wissen mit einer kleinen Übung:

Hier siehst du nun eine Geradenkreuzung:

Bei einer Geradenkreuzung können 4 Winkel entstehen:

Wo mit dem Winkel  begonnen wird, ist nicht entscheidend.

Finde mit dem folgenden Applet heraus, was man unter Nebenwinkeln versteht und was daran besonders ist:

Mein Merksatz zu: Nebenwinkel

An einer Geradenkreuzung gibt es nicht nur Nebenwinkel, sondern auch noch andere wichtige Winkel.

Finde mit dem folgenden Applet etwas über die sogenannten Scheitelwinkel heraus:

Mein Merksatz zu: Scheitelwinkel

Berechnung von Winkelgrößen:

Wenn du beachtest, dass Nebenwinkel zusammen immer 180° groß sind, und Scheitelwinkel immer gleich groß sind, kannst du das zum Berechnen von Winkeln nutzen.

Beispiel:

 +  = 180°  und  sind Nebenwinkel.

79°+  = 180° also ist

 =180° - 79° = 101°

Übungen zur Winkelberechnung - Arbeitsblatt 1

Aufgabe 1:

Berechne jeweils die Größe von  und 

1. 2.

3. 4.

   

g

g

60°

Übungen zur Winkelberechnung - Arbeitsblatt 2 Aufgabe 1:

Berechne alle fehlenden Winkelgrößen (Zu jeder Teilaufgabe gehören alle 4 Winkel) a)  = 60°

b)  = 45°

c)  = 110°

d)  = 90°

Aufgabe 2:

Ergänze die Aussagen sinnvoll:

β und δ sind _______________________________

α und γ sind _______________________________

β und α sind _______________________________

β und γ sind ________________________________

Aufgabe 3:

a) Benenne die fehlenden Winkel in der Zeichnung.

b) Berechne die fehlenden Winkel:

Aufgabe 4**:

4. Winkel an zwei Gradenkreuzungen

Hier siehst du ein Dreieck, dass aus Geradenkreuzungen entsteht:

Es wäre interessant herauszufinden, wie man die fehlenden Winkel berechnen kann.

 kannst du sicherlich schon berechnen, oder?

 =

Aber wie ist das mit  und ?

Dazu musst du dir erst noch ein paar andere Dinge klar machen.

Schau dir dazu zunächst das folgende Applet an:

Nachdem du dir einen Überblick verschafft hast, kannst du hiermit jetzt genauer weiterforschen:

Mein Merksatz zu: Wechselwinkel und Stufenwinkel

Aufgabe: Berechne jetzt die oben fehlenden Winkel  und .

Wechselwinkel und Stufenwinkel – die analoge Variante

Die beiden Geraden, die „quer“ verlaufen, sind parallel zueinander! Dann gilt:

Die gelben Winkel sind alle gleich groß und die grünen Winkel sind gleich groß.

Das ist auch noch so, wenn du die eine Gerade am violetten Kreuz verschieben würdest.

1 und 2 sind Stufenwinkel, 1 und 2 aber zum Beispiel auch.

2 und 1 aber auch 1 und 2 sind Wechselwinkel.

Die gleichfarbigen Winkel, die oben und unten auf der gleichen Seite einer Geraden liegen, nennt man Stufenwinkel.

Wechselwinkel, sind die gleichgroßen Winkel, die an verschiedenen Geraden und auf verschiedenen Seiten liegen. Sie wechseln Gerade und Seite.

Wie entstehen Wechselwinkel? Zu einem Winkel suchst man erst den Scheitelwinkel und dann zu diesem Scheitelwinkel den Stufenwinkel. Der Stufenwinkel ist jetzt der Wechselwinkel zum Startwinkel.

Aufgabe 1:

a) Markiere die Winkelbögen von Scheitelwinkeln in einer Farbe.

b) Markiere die Winkelbögen von Stufenwinkeln in einer Farbe.

c) Markiere die Winkelbögen von Wechselwinkeln in einer Farbe.

Aufgabe 2:

Markiere gleich große Paare von Winkeln in der gleichen Farbe.

















g

h

k

Übungen zu Winkeln an Geraden - Arbeitsblatt

Ich über lieber noch einmal … Aufgabe Zusätzlich ✓

… das Erkennen von Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkeln.

… die Begriffe, weil ich damit noch Schwierigkeiten habe.

… das Zuordnen von Winkelgrößen und

Bezeichnungen, bevor ich mit dem Berechnen anfange.

Aufgabe1:

Eine relativ einfache LearningApp zum Thema:

Aufgabe 2:

Berechne die fehlenden Winkelgrößen.

Tipps:

Tipps:

Tipps:

I

5. Die Seiten und Winkel eines Dreiecks

Bevor du etwas Neues zu Dreiecken, deren Seiten und Winkeln lernst, müssen wir uns erst mal auf eine einheitliche Benennung verständigen, damit immer klar ist, wovon eigentlich gerade die Rede ist.

Hier kannst du nachschauen, wie die Eckpunkte, Seiten und Winkel bei einem Dreieck benannt werden:

Mein Merksatz zu: Beschriftung eines Dreiecks

Als nächstes werden verschiedene Dreiecke untersucht und vermessen, um einen Zusammenhang zwischen der Länge von Seiten und der Winkelgröße zu finden.

Wenn du möchtest, kannst du vorher noch einmal das Messen von Winkeln mit einer kleinen App digital üben:

Jetzt geht es mit dem nächsten Arbeitsblatt und Übungen weiter…

Übungen zu Seiten und Winkel bei einem Dreieck - Arbeitsblatt 1

Miss bei den folgenden Dreiecken die Winkel und Seiten. Trage deine Ergebnisse in die Tabelle unten ein. Miss mindestens 3 Dreiecke aus.

Seitenlängen Winkelgrößen

Dreieck a b c   

I II III IV V

Bestimme in jedem Dreieck die längste Seite und den größten Winkel und die kleinste Seite und den kleinsten Winkel. Was fällt dir auf?

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

6. Die verschiedenen Arten von Dreiecken

Vielleicht ist dir bei dem vorherigen Arbeitsblatt aufgefallen, dass in den Dreiecken spitze Winkel und stumpfe Winkel, aber auch rechte Winkel vorkommen.

Dreiecke lassen sich nach den vorhandenen Winkeln und den Seiten einteilen.

Guck dir zuerst die Einteilung nach den Winkeln an:

Einteilung nach Winkeln:

Jetzt geht es um die Einteilung nach den Seiten:

Einteilung nach Seiten:

Übungen zur Einteilung von Dreiecken Aufgabe Zusätzlich ✓ Basics: Eigenschaften zuordnen

Level 1 zur Einteilung

Level 2 zur Einteilung

Level 3 zur Einteilung

Pferderennen:

Wer bekommt es gut und schnell hin?

Für Könner:

Die Einteilung von Dreiecken – die analoge Variante

Aufgabe:

Zeichne das Dreieck ABC mit den angegebenen Eckpunkten in ein Koordinatensystem. (Einheit: 0,5 cm)

Falls du nicht mehr weißt, wie Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen werden, frag bitte Mitschüler oder den Lehrer oder schaue hier nach:

7. Innenwinkel eines Dreiecks

Du hast nun schon mehrfach die Winkel in einem Dreieck betrachtet. Hast du dich aber schon einmal gefragt, wie groß die Winkel in einem Dreieck alle zusammen sind?

Mit den folgenden Applets kannst du das in Erfahrung bringen:

leichteres Niveau: nicht ganz so leichtes Niveau:

Mein Merksatz

Wenn du weißt, wie groß die Winkel in einem Dreieck zusammen sind, kannst, du das nutzen, um fehlende Winkel auszurechnen.

Beispiel: 180° -70°-60° = 50°

Wenn du noch weitere Hilfe benötigst, ist hier ein Video dazu : Berechne die fehlenden Winkel in den Dreiecken

Aufgabe 1*: Aufgabe 2**:

Aufgabe 3**: Aufgabe 4***:

a) a

b) a

Die Innenwinkel eines Dreiecks – die analoge Variante

Aufgabe 1:

Miss bei den Dreiecken alle Winkelgrößen aus.

Aufgabe 2:

Summiere für jedes Dreieck einzeln die Winkelgrößen ( +  +  = ).

Dreieck I Dreieck II

Dreieck III Dreieck IV

Dreieck V

Aufgabe 3:

Vergleiche alle Summen miteinander. Was fällt dir auf?

Mein Merksatz

8. Besondere Linien im Dreieck

Mit den folgenden Applets kannst du dir schon einmal besondere Linien im Dreieck anschauen.

Einen größeren Teil der Linien werden wir uns später noch genauer anschauen.

Niveau 1: Niveau2:

Diese besonderen Linien im Dreieck gibt es:

9. Die Höhen in einem Dreieck

Eine Höhe in einem Dreieck ist die kürzeste Verbindung von einem Eckpunkt zu der gegenüberliegenden Seite.

Es gibt mehrere Höhen in einem Dreieck. Mit dem folgenden Applet kannst du die Höhen genauer untersuchen. Dabei wirst du auch feststellen, wo die Höhen so liegen können und warum es sinnvoll ist, denen einen Namen mit Wiedererkennungswert zu geben.

Wie werden die Höhen in einem Dreieck gezeichnet?

Am einfachsten mit einem Geodreieck: Hier wird dir gezeigt, wie das geht:

Übungen zu Höhen in einem Dreieck - Arbeitsblatt Wichtig:

• Achte darauf, dass die Mittellinie des Geodreiecks genau auf der Seite liegt, zu der du die Höhe zeichnen möchtest.

• Die Linealkante des Geodreiecks muss genau durch den Eckpunkt gehen.

Zeichne die Dreiecke in ein Koordinatensystem. Trage die Höhen ein und gib jeweils den Schnittpunkt der Höhen (H) an.

A B C H

a) (2|2) (16|2) (6|12) ( | )

b) (1|2) (17|2) (9|10) ( | )

c) (1|9) (15|2) (15|17) ( | )

Falls du nicht mehr weißt, wie Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen werden:

10. Mittelsenkrechte

Hast du dich schon einmal gewundert, wie es die Ägypter vor 4600 Jahren geschafft haben, solch riesiege Bauten zu

errichten und dazu noch nahezugreade und symmetrisch?

Mit einfachsten Mitteln, Schüren und Stöcken, konnten Sie damalsch schon rechte Winkel und senkrechte Strecken konstuieren. Erst 2000 Jahre später erreichten die Griechen wieder so ein umfangreiches mathematisches Wissen im Bereich der Geometrie.

Die Agypter konnten damals schon Strecken konstruieren, die wir heute als Mittelsenkrechte bezeichnen.

Aber was genau ist das und wie geht das?

Mittelsenkrechte Aufgabe ✓

Einführung auf Level 1:

Wo müssen die Masten zwischen Altdorf und Berghausen liegen?

Einführung auf Level 2:

Lärmbelästigung: Wo muss die Bahntrasse zwischen Alefeld und Belefeld liegen?

Hinweise zur Konstruktion: Darauf musst du unbedingt achten!

Level 1: Konstruktion einer Mittelsenkrechten

Level 2: Konstruktion einer Mittelsenkrechten

Meine erste Mittelsenkrechte:

Die Mittelsenkrechte – die analoge Variante

Die Mittelsenkrechte

• geht durch den Mittelpunkt einer Strecke.

• steht senkrecht auf der Strecke.

So konstruierst du eine Mittelsenkrechte mit Zirkel und Lineal:

Hier am Beispiel der Strecke 𝐴𝐵:

Auf folgendes musst du achten:

- Der Radius des Kreisbogens muss größer sein als die Hälfte der Strecke.

- Beide Kreise müssen gleich groß sein.

Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten haben den gleichen Abstand zu den Endpunkten der Strecke!

Übungen zur Konstruktion von Mittelsenkrechten - Arbeitsblatt Konstuiere zu den fogenden Strecken die Mittelsenkrechen.

11. Umkreis des Dreiecks

Mit den Mittelsenkrechten in einem Dreieck hat es etwas ganz Besonderes auf sich.

Hier kannst du erforschen, was genau:

Mein erster Umkreis:

Konstruktion eines Umkreises Aufgabe ✓

Ich habe echt Schwierigkeiten damit und deshalb gucke ich mir das lieber noch einmal Stück für Stück an:

Hier kannst du ein Video dazu schauen, bei dem ein Umkreis Stück für Stück gezeichnet wird.

Jetzt kann ich es und konstruiere deshalb die Umkreise zu den Dreiecken auf dem nächsten Arbeitsblatt.

Für Könner nach dem Arbeitsblatt:

Ich bin schon richtig gut und mit mir zufrieden und probiere mal eine Anwendungsaufgabemit GeoGebra.

Der Umkreis – die analoge Variante

Bei einem Dreieck gibt es drei Mittelsenkrechten.

Warum? _______________________________________________________________

Damit die verschieden Mittelsenkrechten (m) besser auseinandergehalten werden können, schreibt man den Buchstaben der zugehörigen Seite klein neben das m. (Das kennst du schon von den Höhen ha, hb und hc.

Deshalb gibt es beim Dreieck die Mittelsenkrechten ma, mb

und m_c.

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich im Punkt M.

M hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Deshalb ist M der Mittelpunkt eines Kreises, auf dessen Linie alle Eckpunkte des Dreiecks liegen.

Hier siehst du die Kreislinie des Umkreises.

Umkreis, weil der Kreis genau um das Dreieck, genau durch die Eckpunkte geht.

Wozu braucht man das?

Stell dir vor, du möchtest mit zwei Freunden abends am Lagerfeuer sitzen und genau in die Mitte von euch ein kleines Feuerchen machen. Wo muss die Feuerstelle dann sein?

Aus den Baumstümpfen, euren Sitzplätzen, machst du ein Dreieck und ermittelst den

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Da muss die Feuerschale dann stehen.

Habe ich gut getroffen? Kontrollier bitte meine Platzierung der Feuerschale!

Übungen zur Konstruktion eines Umkreises - Arbeitsblatt

Ein Solarpark soll gleich weit entfernt von den Orten A, B und C errichtet werden. Wo soll der Solarpark liegen?

12.Inkreis des Dreiecks

Genau in dem Dreieck siehst du einen Kreis.

Der Mittelpunt dieses Kreises ist von allen Seiten gleich weit entfernt.

Doch wie findet man diesen Mittelpunkt?

Verbinde den Mittelpunkt mit allen Eckpunkten des Dreiecks. Kannst du etwas entdecken?

Meine Vermutung: _______________________________________________________

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Um zu schauen, ob deine Vermutung stimmt, schau die das folgende Applet an:

13. Winkelhalbierende

Du hast beim Inkreis gesehen, dass man dazu Winkelhalbierende benötigt.

Also macht es Sinn, sich erst mal anzuschauen, wie Winkelhalbierende konstruiert werden.

Konstruktion eines Umkreises Aufgabe ✓

Level 1: Konstruktion einer Winkelhalbierenden

Level 2: Konstruktion einer Winkelhalbierenden

Bevor ich eigene Konstruktionen auf dem Arbeitsblatt mache, gucke ich mir lieber noch einmal an, wie ein Inkreis im Dreieck so liegen kann.

Ich probiere mal eine nicht ganz leichte Anwendungsaufgabemit GeoGebra:

Und noch etwas für Könner mit GeoGebra

Der Inkreis – die analoge Variante

Konstruktion von Winkelhalbierenden:

Du musst an dieser Stelle auf folgendes achten:

- Die Kreisbögen müssen groß genug sein, damit sie sich auch treffen.

- Die Kreisbögen, die du im 2. Schritt und im 3.

Schritt zeichnest, müssen gleich groß sein.

Verändere nach dem 2. Schritt nicht mehr den Zirkel!

So wird aus Winkelhalbierenden ein Inkreis:

Übungen zur Konstruktion eines Inkreises - Arbeitsblatt 1

Übungen zur Konstruktion eines Inkreises - Arbeitsblatt 2

1 Konstruiere mithilfe des Zirkels zu jedem Dreieck den Inkreis des Dreiecks und gib den Radius an.

2 Zeichne das Dreieck ABC mit den angegebenen Eckpunkten in das Koordinatensystem und konstruiere dann den Inkreis.

a) A(–8|–4); B(2|–4); C(–1|5) b) A(–7|–1); B(8|–5); C(2|4)

13. Der Satz des Thales – eine Anwendung zu den Mittelsenkrechen

Thales von Milet lebte wahrscheinlich um 624/23 v. Chr. bis ca. 544 v. Chr. So ganz genau weiß man es gar nicht. Thales war ein griechischer Mathematiker und Philosoph, der zwar keine eigenen Schriften hinterlassen hat, aber trotzdem wichtige

Entdeckungen gemacht hat. Der Satz des Thales ist ein Satz der Geometrie und ein Spezialfall über Winkel in einem Kreis. Vereinfacht lautet er: Alle von einem Halbkreis umschriebenen Dreiecke sind rechtwinklig. Der erste Beweis dieses Satzes wird diesem antiken griechischen Mathematiker zugeschrieben.

Hier kannst du selbst die Entdeckung des Thales nachvollziehen:

Gehe dazu Arbeitsblatt für Arbeitsblatt vor.

Meine Figur zur Thalessatz: