Komplexitätstheorie auf reellen Zahlen und Funktionen

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Mathematik und

Informatik

Informatik-Berichte 28 – 11/1982

Komplexitätstheorie auf reellen Zahlen

und Funktionen

CHRISTOPH KREITZ und KLAUS WEIHRAUCH

FERNUNIVERSITÄT Gesamthochschule Fachbereich Mathematik und Informatik Lehrgebiet Theoretische Informatik Postfach 940, D-5800 Hagen 1

UB Hagen

111 · 1

/ 83085501

Abstract:

Recursive Analysis, the theory of computable real functions and numbers has been studied from various aspects. In this report we investigate computational complexity of real numbers aRd functions using recursive function theory. We define a constructive representation of real numbers and generalize Blum¹s theory of computational complexity to computable real numbers. (Partial-) computable real functions are defined using Oracle-Turing-machines and their domains are characterized as the effective G

0-sets. We observe an important relationship between computational complexity of real functions and continuity.

We show that complexity classes of real functions can be defined on effective K -sets and study conditions which make functions hard to compute.

0

1. Einleitung

Seit Turing [27] im Jahre 1937 ein Konzept für berechenbare reelle Zahlen vorstellte, haben viele Autoren Berechenbarkeit von reellen Zahlen und Funk- tionen untersucht (siehe z.B. Aberth [2], Bishop [3], Grzegorczyk [8], [9], Hauck [11], Klaua [12], Lacombe [17], Markov [19], Martin-Löf [20], Mazur [21], Moschovakis [22], Rice [23], Specker [26]). Im Bezug auf berechenbare reelle Zahlen haben sich alle Zugänge im Wesentlichen als äquivalent erwiesen, die Theorie der rekursiven Funktionen (siehe z.B. Rogers [25]) ist immer ein wichtiges Hilfsmittel. Dagegen gibt es verschiedene Ansätze für eine Defini-

tion berechenbarer reeller Funktionen. Es sind Wege über (partielle) Numerie- rungen der berechenbaren reellen Zahlen (Markov [19], Aberth [2]) als auch über berechenbare Operatoren auf allen reellen Zahlen (Grzegorczyk [8], La-

combe [17]) beschritten worden. Zwischen beiden Berechenbarkeitsbegriffen be- steht ein enger Zusammenhang (Ceitin [6]), der jedoch noch nicht vollständig geklärt ist. Nachdem die Theorie der Berechenbarkeit genügend weit vorange- trieben wurde, ist als nächstes eine Untersuchung der Berechnungskomplexität von Zahlen und Funktionen von Bedeutung.

Unsere Komplexitätstheorie auf ffi wird entsprechend der Blumschen Komplexi- tätstheorie [4] auf den rekursiven Funktionen aufgebaut und kann als Speziali- sierung der allgemeinen Komplexitätstheorie auf cpo¹s (Weihrauch [28]) ange- sehen werden. Als Darstellung reeller Zahlen wählen wir (partielle) Cauchy- Folgen dyadischer Zahlen mit normierter Konvergenz. Wir definieren hierüber die Menge

ll\

der berechenbaren reellen Zahlen und eine effektive (par- ti e 11 e) Numerierung von IRb . Im Kapitel 3 ordnen wir jeder Nummer i einer

berechenbaren Zahl eine Komplexitätsfunktion Ki : IN-.IN zu und beweisen als wichtige Beispiele einen Hierarchiesatz, ein Speedup-Theorem und ein GAP-Theorem.

Für die Komplexitätsuntersuchungen an reellen Funktionen legen wir den Be- rechenbarkeitsbegriff von Grzegorczyk zugrunde - der Ansatz, berechenbare Funktionen über Numerierungen von IRb zu definieren, scheint hierfür unge- eignet zu sein. Unter Verwendung von Orakel-Turing-Maschinen stellen wir einen Berechnungsmechanismus für reelle Funktionen vor, auf dem wir einen Komplexitätsbegriff aufbauen können. Dieser Mechanismus erlaubt es uns, den Berechenbarkeitsbegriff von Grzegorczyk auch auf partielle stetige Funktionen auszudehnen. Wir charakterisieren die Definitionsbereiche berechenbarer reel- ler Funktionen durch topologische Begriffe und beobachten einen engen Zusam- menhang zwischen Stetigkeitseigenschaften einer Funktion und dem Aufwand ihrer Berechnung.

In Kapitel 5 betrachten wir Probleme einer rekursionstheoretischen

Komplexitätstheorie auf Funktionen f: IR--- IR. Es wird gezeigt, daß für Funktionen mit kompliziertem Definitionsbereich eine sinnvolle Komplexitäts- definition nicht möglich ist, und untersucht, unter welchen Voraussetzungen an den Definitionsbereich eine berechenbare reelle Funktion immer eine

Komplexitätsschranke besitzt. Dabei stellen sich effektive K -Mengen (i .e.

(5

aufzählbare Vereinigungen kompakter Mengen) als bedeutend heraus. Wir beweisen, daß ein Blumscher Hierarchie- und Beschleunigungssatz auch für berechenbare totale Funktionen f: IR-IR gilt. Zum Schluß zeigen wir, daß eine berechenbare Funktion trotz eines einfachen Definitionsbereiches und einfacher Werte auf einfachen Argumenten beliebig schwer zu berechnen sein kann.

Wir werden die folgenden Bezeichnungen durchgehend venvenden:

p(k) Menge aller k-stelligen partiell-rekursiven Funktionen,

R(k)

!.j)

cp

\✓. 1

D. 1

< ^, >

TT 1

Menge aller k-stelligen total-rekursiven Funktionen, Standardnumerierung von

Standardkomplexität zu ^(j)

p ( 1)

' ^{(j), 1 :=cp(i)}

cp,:=c!J(i),

1

Def(lP;) i-te rekursiv-aufzählbare Menge, i-te endliche Teilmenge von lN,

Standard-Paarungsfunkti on von JN2 nach lN ,

und ^TT

2 ^:= Umkehrungen von <, >

Wir gehen davon aus, daß der Leser mit Turing-Maschinen, rekursiven Funk- tionen auf Zahlen und Worten (siehe z.B. Rogers [25]) sowie mit den Grund- konzepten der reellen Analysis und Topologie vertraut ist.

2. Darstellung reeller Zahlen

Es ist üblich, eine reelle Zahl als Grenzwert einer konvergierenden Folge darzustellen, deren Elemente zu einer abzählbaren dichten Teilmenge von IR gehören. Wir benutzen dazu anstelle der sonst gebräuchlichen Rationalzahlen als Basis für berechenbare reelle Zahlen die Menge aller dyadischen Zahlen.

Es sei

{ z • 2-n ^j z E 71.} für n E IN , u ~n

nEIN die Menge aller dyadischer Rationalzahlen.

Im Hinblick auf eine sinnvolle Komplexitätsdefinition stellen wir reelle Zahlen durch Folgen dar, deren Konvergenz normiert ist. Um die Konvergenz der Folgen überprüfen zu können, verwenden wir Cauchy-Fo l gen. Wir betrachten außerdem auch partielle (bzw. endliche) Cauchy-Folgen.

Es sei

PNC {iµ:IN---~DI (vkEDef(iJJ)) (iJJ(k)E~k/\(Vn:Sk) liµ(n)-iµ(k)1<2-n)}, NC .- { iµEPNC I iJJ ist total}.

Wir definieren eine Darstellung der reellen Zahlen o: PNC--- IR durch o(iJJ) := lim iJJ(n)

n-=o

Offensichtlich ist 6 surjektiv und NC der Definitionsbereich von o • Ist x=o(iJJ), so nennen wir iJJ auch Orakel für x und es gilt

('vn) 1 x - ^{c/J (} n) 1 :;; 2-n

Die Menge PNC läßt sich auch graphisch anschaulich darstellen. Hierzu tragen wir die Mengen ~ _n für n = 0, 1, 2,... zei 1 enwei se untereinander auf der

ree 11 en Zahlengeraden auf und verbinden dann d E ~ mit e E ~

1 genau dann,

n n+

wenn id-ei<2-n ist.

-1 0

!) 0

~l

~2

~3

./

Jedem oben beginnenden absteigenden (unendlichen) Pfad entspricht eine Folge

;µ E PNC (bzw. NC) und jeder (totalen) Cauchy-Fol ge mit normierter Konvergenz ein oben beginnender (unendlicher) absteigender Pfad. Man sieht unmittelbar, daß für jede Zahl x E lR die Menge ö-l {x} aller Orakel für x stets unend- 1 ich ist, sich aber in einem endlich verzweigten Baum darstellen läßt. Wir werden dies später noch ausnutzen.

Für k EIN, ;µEPNC sei ;µ[k]:= ( ;µ(O), ... ,;µ(k) ).

Lemma 2.1 (Eigenschaften von o) a) Für alle ;µl, ;µ

2ENC, nElN gilt

;µik+l]=;µ1k+l] ^• io(;µl)-0(;µ2)1~2-k (Stetigkeit), b) Für a 11 e x ,Y E lR , n E 1N gilt

lx-yl ~2-k • (3;µ1 Eo-\x})(3;µ2Eo-1

{y}) ;µ[k] = ;µ[k]

1 2

Beweis a) trivial.

b) Es sei o.B.d.A y ~x . Wir setzen ;µ₁(n) :=Lx. 2n_J • 2-n für nE 1N . ...

Gilt nun x-2-k~y~x so läßt sich leicht ein Orakel iµ

2Eo-l{y} kon- struieren mit wtk] = l/J1k] .

•

Die Definition der Berechenbarkeit von reellen Zahlen und Funktionen auf IR werden wir mittels ⁱ⁵ auf berechenbare Cauchyfo l gen ^1jJ E NC bzw. berechen- bare Operatoren über NC zurückführen. Es ist intuitiv klar, wann eine Funk-

tion iµENC berechenbar ist, jedoch wollen wir der Vollständigkeit halber eine exakte Definition mit Begriffen der Rekursionstheorie angeben.

Es sei ^E := {0,1,·,-} ein Alphabet und DB<;W(I:) die Menge aller endlichen Dualbrüche, definiert durch

* *

DB : ^{= { - , i::} o} {0, ^1} o { ·} o {0, ^1}

y: DB-~D sei die kanonische Abbildung, welche jedem Dualbruch wEDB die hierdurch bezeichnete Dualzahl zuordnet.

Eine (partielle) Funktion ^1jJ: IN--- ~D heißt nun berechenbar genau dann, wenn eine rekursive Wortfunktion '±':W(I:)---+W(E) existiert mit den Eigenschaften:

Def('±1) 2 {0} * und (vn) y(ll'(On)) = iµ(n) .

(i.e. ^4' berechnet bei Eingabe von nEDef(\/1) Nullen einen Dualbruch w E DB , der 1/J(n) darstellt.)

Definition 2.2. (berechenbare oder rekursive reelle Zahl)

Eine reelle Zahl x heißt berechenbar genau dann, wenn es eine berechenbare Folge \/)Eo-¹{x} gibt.

Eine reelle Zahl ist also berechenbar, wenn man sie mit Hilfe eines effektiven Verfahrens beliebig genau approximieren kann. Da es nur abzählbar viele be- rechenbare Folgen iµENC gibt, ist auch die Menge aller berechenbaren reellen Zahlen - wir bezeichnen sie mit ·]Rb - abzählbar. Hierzu gehören jedoch alle rationalen, alle algebraischen und viele transzendente Zahlen wie z.B. e und ^{rr (} vgl . Turing [ 27]). Man kann zeigen, daß die Menge lRb einen ree 11 abgeschlossenen Körper bildet (Rice [23]).

In der Literatur gibt es noch e1n1ge andere Definitionen für berechenbare reelle Zahlen (Rice [23], Specker [26]), die äquivalent zu der von uns ge- gebenen Definition sind. Untersuchungen von Specker [26] und Ko [13] zeigen jedoch, daß die obige Definition im Bezug auf Komplexitätsklassen die günstig- sten Eigenschaften besitzt.

Wir haben uns bei der Definition berechenbarer reeller Zahlen auf die klas- sische Rekursionstheorie gestützt. Damit sind wir in der Lage, eine effektive

(partielle) Numerierung 11 von Il\ anzugeben. Dazu sei d: JN-~D eine Standardnumerierung der dyadischen Zahlen, di ^:= d(i) .

Es gibt eine Funktion qER(l), so daß für alle i,k gilt

q:,q(i) (k)

falls und , sonst

(vn::;k) idq:,;(k) -dq:,i(n)I <2-n

dq:\ ( k) E ~k

Durch ljJ. : ⁼ d o q:, (.) E PNC wird eine totale Numerierung der berechenbaren

l q l

Cauchy-Folgen erklärt. Die folgenden Eigenschaften ergeben sich unmittelbar

Korollar 2.3 Es gibt p,q E R(l) , so daß für alle i E JN gilt:

(El) (E2)

doq:, (.)=ljJ. _{q l 1} d o q:,. E PNC

l

=> ljJ (")=doq:,. _{p l 1}

Wir werden im Folgenden nur noch diese beiden Effektivitätseigenschaften ver- wenden, die übrigens die Numerierung t bis auf Isomorphie eindeutig fest-

legen. Eine effektive Numerierung ¹¹ der berechenbaren reellen Zahlen ergibt sich damit auf k~nonische Weise durch

11· :=o(ljJ.)

1 1

(Beachte: ^11: IN --- IRb ist eine partielle Numerierung.)

3. Komplexitätstheorie auf R

Wir geben nun ein Komplexitätsmaß für Rb an und zeigen, daß ein Kompres- sions- und Beschleunigungssatz (Slum [4]) sowie einige andere Sätze der ab- strakten Komplexitätstheorie entsprechend auch für reelle Zahlen gelten.

Es sei qER(l) die Funktion aus Korollar 2.3 mit \/Ji = do4Jq(i) . Wir defi- nieren K: JN-P(l) durch K; := <tiq(i) . Dann bildet K eine "Blumsche"

Komplexität zu ^{\/J ,} d.h. es gilt

(Cl) (vi) Def(\/Ji)=Def(Ki)

( C 2) { <i , n , t> ¹ K i ( n ) = t} i s t re k u rs i v .

Offensichtlich gilt K. ER(l) genau dann, wenn n- definiert ist. Wir wollen

l l

K.(n)

,

als denjenigen Aufwand interpretieren, der zur Berechnung eines Näherungs- wertes für n. mit Genauigkeit 2-n nötig ist. Man kann nun analog zur klas-

1

sischen Definition Komplexitätsklassen einführen. Für tER(l) sei JR(t) := {ni I Ki(n) ~t(n) für fast alle n}

die durch t bestimmte Komplexitätsklasse berechenb~rer reeller Zahlen.

Jede schwach n-r.a. Teilmenge von Rb ist in einer geeigneten Komplexitäts- klasse enthalten. Die Schranke dieser Klasse läßt sich uniform bestimmen.

Satz 3.1 Es gibt fER(l), c:R(l) (j)f(i) '--

so daß für alle i mit W.

,-

^c n Rb ^{-1 gilt}

Beweis Es sei so daß ,jJ. (n) = div für alle n .

10 Es gibt g E R( 2)

mit {g(i,n)JnEIN}=Wiu{i

0} füralle i Wir definieren fER(l) durch 4lf(i)(n) :=max{Kg(i,j)(n) J j~n}.

Dann gilt für W;f;.n-lll\

(vj) c: R( 1)

K ( • • ) '--

g l 'J also auch

und (vxEnW;)(:ij) [x=ng(i,j)1\(Vn~j) Kg(i,j)(n):54lf(i)(n)]

d.h. nW;sJR((j)f(i))

•

Umgekehrt ist jede Komplexitätsklasse IR(t) schwach ri-r.a., wenn t ge- nügend groß ist.

Satz 3.2 Es gibt TE R(l) sodaß für alle tE R(l) die Klasse IR(t) schwach ri-r.a. ist, sofern T(n) :s; t(n) für fast alle n ist.

Beweis Sei qER(l) die Funktion aus 2.3(El) mit lJ!. =dcp (") . Es gibt

l q l

eine Funktion gER( 2) mit cpg(i,n

0)(n)=cpq(i)lmax{k:s;n ¹ (vk¹ E[n0 ,k])Ki(k¹):s;t(k^{1) } )} wobei max~ =0.

Für alle i,n 0 gilt nun cpg(i,no)ER(l) und dcpg(i,no)ENC, also lJ!pg(i ,n

0) E NC , wobei p E R(l) die Funktion aus 2.3(E2) ist. Ist nun riiEIR(t), d.h. Ki(k¹):s;t(k¹⁾ für alle k¹ ;;;:n

0 (n

0 geeignet), so folgt lJ!i = dcpg(i ,no) = lJ!pg(i ,no) also rii = ripg(i ,no) Ansonsten wird cp (. _g )

l ,n schließlich konstant und damit ⁿ E/1\ 0

''pg(i ,n

0) "'D Es folgt {ripg(i ,no) ¹ i ,noE IN}s;.IR(t) u ~D .

Wir wählen nun TER(l) , so daß ~D.:=lR(T).

Dann gilt IR(t) = IR(t) u ~D , falls T(n) :s;t(n) für fast alle n , woraus die Behauptung folgt. D

Ohne Mühe ergibt sich ein GAP-Theorem (Borodin [5]).

Satz 3.3 (Existenz beliebig großer Komplexitätslücken)

Zu allen Funktionen g,hER(l) , g monoton wachsend, gibt es eine Funktion fER(l) mit (vn) h(n):s;g(n) und IR(gof)=IR(f).

B ewe i s Setze f ( n ) : = 11 t [ ( h ( n ) :s; t) /\ ( v i :s; n ) ( ^K i ( n ) :s; g ( t) ~ ^K i ( n) :s; t} ] Dann gilt fER(l), f(n);;;:h(n) für alle n und für alle niEIR(gof) Ki(n):s;gof(n) fürfastalle n, also Ki(n):s;f(n) fürfastalle n Damit erfüllt f die geforderten Eigenschaften. D

Einige bedeutende Aussagen der abstrakten Komplexitätstheorie können nur mit Hilfe eines effektiven Diagonalisierungsverfahrens bewiesen werden. Beim Diagonalisieren konstruiert man sich ein unendliches Objekt, indem man sich auf einem unendlichen Weg unendlich oft für eine von zwei Möglichkeiten ent- scheidet. Wir geben nun ein Hilfsmittel an, welches eine effektive Diagonali- sierung auf jeder schwach n-r.a. Menge von berechenbaren reellen Zahlen er- möglicht. Die Idee hierzu entstammt einem geometrischen Zugang zum Cantor'- schen Discontinuum.

Es sei ID:={[d-2-i ,d+2-ij I iElN/\dE~i} und VI eine Standard-

-i -i -(i-1)

numerierung von I

0 . Für I :=[d-2 ,d+2 ] sei III :=2 .

Definition 3.4 (effektive Cantor-Raster)

Eine Funktion T: {0,1} * -ID heißt effektives Cantor-Raster genau dann, wenn

( 1) - ( 4) gi l t:

(1) T ist (v0,vI)-berechenbar (wobei ^v0 Standardnumerierung von [0,1}*).

(2) T ist monoton (d.h. (VWE {0,1}*) T(wü) u T(wl) ::T(w)) . ( 3 ) IT ( w ) 1 ~ 2- 2 n für a 11 e w E {0 , l} n

(4) Für !EID mit III ~2- 2(n+l) und wE {0,l}n gilt T(wO)nI=0 oder T(wl)nI=0

Mit Hilfe eines effektiven Cantor-Rasters T wird dann wie folgt über eine aufzähl bare Menge (y

O ^,y 1, ... } '.=. lRb diagonalisiert:

In Schritt n approximiere y durch ein Orakel iJJ Eo -l (y } mit k : = 2n + 3

n n

Stellen Genauigkeit (d.h. ¹ [iJJ(k) - 2-k, iJJ(k) + 2-k] ¹ = 2- 2(n+l)).

Ist wnE {0,l}n bereits bestimmt, so läßt sich wegen (1) und (4) effektiv ein Wort wn+l E {wnO, wnl} finden mit yn ~ T(wn+l)

Durch _{{x} : = n T (w )} nEIN n

ergibt sich somit eine Zahl XE

Il\,

die von allen ^y _n verschieden ist.

Beispiel 3.5 ^{( 11}Standard ^11- Cantor-Raster für [ 0, 1]) Wir definieren ,(s) := [0,1]

Es gelte ,(w) = [l ,r]

Dann sei und

31 + r

T ( WÜ) : = [ 1 ,

4 ] l + 3r ,(wl) := [·

4 , r] ,

(erstes Viertel von ,(w)1 (letztes Viertel von ,(w)J

Man sieht unmittelbar, daß (1) - (3) aus Definition 3.4 erfüllt ist. Bedin- gung (4) gilt, weil wE {0,l}n ,(wO) und ,(wl) einen Abstand von z-(Zn+l) haben und somit ein Intervall. der Länge 2-Z(n+l) nicht ,(wü) und ,(wl) überlappen kann.

Wir wo 11 en nun unter Benutzung eines effektiven Cantor-Rasters ¹¹fast-über- a 11¹¹ Di agona 1 i s i erungen durchführen.

Wir beweisen zunächst einen Hierarchiesatz für Komplexitätsklassen (vgl.

Bl um [ 4])

Satz 3.6 (Kompressionssatz)

Es gibt eine Funktion hER(l), so daß für alle mEIN (1) nh(m)Ell\

(2) (vi) [(:ii = nh(m)) ~ (Ki(n) ><+im(n) für fast alle

n) ]

gilt

Insbesondere gilt also: nh(m)EIR(Kh(m)) \ IR(<+im) , d.h. die Funktion h liefert zu jeder Komplexitätsschranke (J)mER(l) eine berechenbare reelle Zahl, deren Komplexität nicht durch <+im beschränkt ist.

Beweis Es sei T: .{0,1} -I*

0 ein effektives Cantor-Raster. Wir konstruieren ein Programm, welches in Stufen n=0,1, ... rechnet und dabei eine Folge von Worten wn E {0,1} * 1 iefert mit der Eigenschaft:

Ist <+J ER(l) und m die Eingabe des Programms, so gilt für die durch

m

{x} := n T(w ) bestimmte Zahl:

nEJN n XE

lf\

^und

K;(n) >(J)m(n) für fast alle n, falls n; = x.

Eingabe sei m E lN begin M:=0; w:=s

fo r n : = 0 , 1 , . . . do begi n k : = 2n + 3

S : = { i s n ^{j (} :l l s k) K i ( 1 ) s ((Jm ( 1 ) }

end end.

T := S \ M

i f T = 0 then w : = wO

else begin j := min(T) M := M u {j} ;

- - -k -k

if , ( wO ) n [ 1J; . ( k) - 2 , ;µ . ( k ) + 2 ] = 0

- J J

then w := wo else w:=wl end

Für mElN mit (() ER(l) durchläuft das Programm alle Stufen nEIN. An- m

sensten wird in einer Stufe n

0 die Berechnung von S nicht beendet, wenn ((Jm(n

0) nicht existiert.

Es sei nun vt der Inhalt von w nach t Rechenschritten (nicht Stufen!).

Da , berechenbar ist, gibt es sicherlich eine Funktion h E R(l) mit , falls {lg(vt)ltEIN} unbeschränkt , sonst.

Es sei nun ((JmER(l) . Dann ist die Folge lg(vt) unbeschränkt, also

nh(m) E Rb. Ist weiterhin i EIN so, daß K;(l) S((Jm(l) für unendlich viele 1 EIN gilt, so gilt i ES in unendlich vielen Stufen des Programms. Also gilt i =min S\M in irgendeiner Stufe n und für den in Stufe n bestimm- ten Wert wn+l gilt

,(wn+l) n [1J;; (2n + 3) - 2-( 2n+ 3), 1/J; (2n + 3) + 2-( 2n+ 3)] = 0 und damit n; = 6(1J;;) 1:. ,(wn+l) , also n; i: nh(m) . D

Auch ein Beweis des Beschleunigungssatzes für berechenbare reelle Zahlen er- gibt sich durch eine entsprechende Modifikation des ursprünglichen Beweises von B 1 um [ 4] .

Satz 3.7 Für alle

Beweis schaften:

( 1) und fa 11 s ( 2)

(Speedup-Theorem)

rER(Z) gibt es eine Zahl

-1 -1

( vi E n {X} ) ( :Jj E n {X} )

x Ell\ mit der Eigenschaft

( r ( n , K j ( n) ) ~ K i ( n ) fU r fast a 11 e n ) .

1i'Jir definieren eine Funktion e ER(³) mit den folgenden Eigen-

Falls (pi (y)

zp. E.R(l)

1

(vu)(:iv)

für y~z existiert, dann existiert auch Ke(u,v,i)(z+u), (also ne(u,v,i) E lRb)

ne ( 0, 0, i ) = ne ( u, v, i )

(3) (vl) (ne(O,O,i)*n_{1 ,} falls K₁(m)~zpi(m-l) für unendlich viele m).

Dazu sei , ein effektives Cantor-Raster und o.B.d.A gelte \;

0<i ,j>E {0,l}j für die Standardnumerierung v

0 von {0,1}* Wir geben ein Programm, das bei Eingabe von u,v,i unbeschränkt rechnet und ab und zu das Wort im Register w verlängert

begin

end.

<v 1,v

2,v

3^> :=v ; M:= D vl do

\A/: =v O ( V 2 'V 3) for n:=v

3,v

3+1, ...

begi n k : = 2n + 3 ;

S:={lE[u,nJ ¹ Kl (m) ~ zpi (m - l) für ein mE[l,k-1]}

T:=S\M

i f T = 0 then w : = wo

else begin j:=minT; M:=MU{j};

-k -k

i f r (wo) n [ l/J j ( k) - 2 , t/J j ( k) + 2 J = 0 then w := wo

else w:=wl end

end

Es sei vt der Inhalt von w nach t Rechenschritten. Da ist, gibt es eine Funktion eER(3

) mit

, berechenbar

rl n

^,(vt)

tElN

= lrdiv}

, falls unbeschränkt

, sonst

Wir weisen die geforderten Eigenschaften für e nach

(1) Es sei z E::N und der \✓ ert <pi (y) existiere für alle y~z.

Es sei n ~ v

3 , so daß k : = 2n + 3 :s; z + u + 1 und 1 E [ u, n] .

Dann gilt O:s;m-l=k-1-u:s;z für alle mE[l,k-e-1], also existiert die Menge S für alle Werte n mit v

3s;n:s;n

O=L z+r2

_j In der Schleife n

O wird nun zur Zeit t der Wert vt so definiert, daß -2(n0+1)

lg(vt)=n

O+1 und damit l,(vt)l:s;2 wird. Folglich existiert l/Je(u,v,i)(2n O+ 3) also auch Ke(u,v,i)(z+ u)

Es sei nun c.pi ER(l) , d.h. es existiert l/Je(u,v,i)(m) , für al-le m.

(2) Es sei u gegeben. Wir betrachten die Eingabe (O,O,i) Sei Lu :={n ¹ (:lj<u) in Schleife n ist j=min T}. Wir setzen

v3 :=l+max Lu wobei max0 :=-1 sei. Im Schritt n=v3 hat S den Inhalt Dv

1

und w = v

O(v

2,v) für gewisse v2,v 1 E lN. Also hat für n~v3 der Schritt n bei Eingabe (O,O,i) dieselbe Ausgabe wie der gleiche Schritt n bei Eingabe (u,<v

1,v 2,v

3>,i)

(3) Wir betrachten nun die Berechnung für die Eingabe (O,O,i) und den Fall K1(m):s;c.pi(m-l) für unendlich viele mElN.

In jedem Schritt n ist die Menge S definiert und es ist l ES in unendlich vielen Schritten. Also gibt es einen Schritt, in dem

l :=min S\M wird. In diesem Schritt wird nun w so besetzt, daß n₁ *ne(O,O,i) ist.

Unter Benutzung des Rekursionssatzes (Rogers [25], S. 182) kann man nun zeigen, daß für alle rE R( 2) ein pE lN existiert mit

lPP(O) = 0

und <pp ( z + 1) = max { r ( z + u , Ke ( u,v,p ) ( z + u)) ¹ u, v :s; z} .

Durch Induktion zeigen wir, daß lPP total-rekursiv ist cpp(O) existiert per Definition.

Es existiere cp (y) für alle y ~ z

p

Dann existiert auch K ( e u,v,p ) ( z + u) und damit c.p ( z + p 1) . Es sei nun x=ne(O,O,p), also xElRb nach (1).

Sei i En -1 (x} . Wir setzen u := i + 1 und wählen mit (2) V E lN so, daß x=n (O O )=11 ( e , ,p e u,v,p ) . Mit j :=e(u,v,p) folgt mit (3) c.pp(m - i) <Ki (m) für fast alle mE IN. Für genügend große m können wir nun in der Rekur- sionsgleichung für lP den Wert z durch m - u = m - i - 1 ersetzen, d.h. es

p gilt

r(m,K.(m)J~c.p (m-u+l)<K-(m) für fast alle m. _{\. J , p 1}

•

4. Berechenbare reelle Funktionen

In der rekursiven Analysis gibt es zwei verschiedene, relativ weit vorange- triebene Ansätze für eine Berechenbarkeitstheorie.

Beim ersten Ansatz geht man aus von einer ''effektiven" partiellen Numerierung 11 der berechenbaren reellen Zahlen (z.B. 11: IN--- II\ wie in Kapitel 2).

Eine (partielle) Funktion f: II\--- lRb ist genau dann berechenbar

(bzgl. 11), wenn es eine partiell-rekursive Funktion p: IN --- IN gibt mit (viEDef(11)) 11p(i)=f(11i) (und p(Def(11))~Def(11)).

Dieser Zugang geht zurück auf Markov [19] und wird im Buch von Aberth [2]

ausführlich behandelt.

Der zweite Ansatz - er wurde von Grzegorczyk [8] eingeführt und z.B. von Lacombe [17] weiterentwickelt - erklärt Berechenbarkeit für (partielle) Funktionen

f: lR--- IR also für Funktionen, die nicht nur auf berechenbaren Zahlen defi- niert sind, und nimmt hierbei Bezug auf eine Standarddarstellung von lR, z.B.

auf 6 : NC - IR . f ist nun genau dann berechenbar ( bzgl . 6 ) , wenn es einen

"berechenbaren" Operator r : NC--- NC gibt mit öor=foö.

Zwischen beiden Berechenbarkeitsbegriffen besteht ein sehr enger Zusammenhang (s. z.B. Ceitin [6], Kreisel, Lacombe, Shoenfield [15], Moschovakis [22]),

dessen endgültige Klärung allerdings immer noch aussteht.

Obwohl der Ansatz über Numerierungen, was die berechenbaren Zahlen betrifft, angeht, mindestens so allgemein ist wie derjenige über Darstellungen, treten hierbei gewisse Schwierigkeiten auf. So kann z.B. eine berechenbare Funktion als Definitionsbereich ein Intervall mit nichtberechenbaren Endpunkten haben, die aber nicht mehr Gegenstand der eigentlichen Theorie sind. Entscheidend ist jedoch, daß bis jetzt kein Verfahren bekannt ist, welches für den ersten Ansatz eine vernünftige Definition der Berechnungskomplexität von Funktionen liefert.

Es läßt sich nämlich z.B. zeigen, daß die Komplexität der oben benutzten Funk- tion p nicht dazu dienen kann, eine Komplexität von f in sinnvoller Weise zu erklären. Dagegen besteht im Zugang über Darstellungen eine Möglichkeit, die Berechnungskomplexität reeller Funktionen z.B. mit Hilfe eines Maschinen- modells festzulegen. Aus diesem Grunde werden wir uns diesem Ansatz zuwenden.

Zur Definition des oben naiv benutzten Berechenbarkeitsbegriffes für Operato- r2n fUläi"eil wir Orakel-Turing-Maschinen (kurz OTM) ein.

Wir beginnen zunächst mit der Beschreibung von Orakel-Turing-Maschinen. Eine (Funktions-) Orakel-Turing-Maschine besteht aus einer gewöhnlichen Turing- Maschine über dem Alphabet z := {0,1,-,·} , die zusätzlich noch ein Abfrage-

(bzw. Orakel-) band sowie einen gesonderten Fragezustand besitzt. In den ge- wöhnlichen Zuständen verhält sich die Maschine wie üblich. Gerät sie dagegen

in den Fragezustand, so löscht das Orakel - eine Wortfunktion

'l.1 : W(z) - W(z) - das auf dem Abfrageband stehende Wort w , ersetzt es durch

das Orakelergebnis 'J.i(w) und versetzt die Maschine in einen zuvor von ihr spezifizierten Zustand. Wir gehen davon aus, daß die Ausführung des Orakels in einem einzigen Rechenschritt geschieht. Es ist jedoch zu beachten, daß die Maschine lg(w) Schritte benötigt, um das Wort w auf das Abfrageband zu schreiben, und lg(·-ir(w)) Schritte, um das Ergebnis Y(w) vollständig zu lesen.

Für unser Berechenbarkeitsmodell gelten die folgenden einschränkenden Bedin- . gungen:

(I) Das Orakel ist eine Funktion 'l.1: W(z) - W(z) ijJENC darstellt, d.h. es gilt

y Y(On) = lji(n) für alle n .

die eine Cauchy-Folge

(II) Bei Eingabe des Wortes On (nE IN) gibt die OTM entweder einen endlichen Dualbruch wEDBny-l(~) aus oder die Berechnung hält nicht.

n

Damit legen eine Orakel-Turing-Maschine M, ein Orakel ljJENC und eine Ein- gabe n E IN fest:

(1) Die von der Ausgabe der OTM dargestellte Zahl

( 2) Die Anzah 1 der zur Berechnung nötigen Schritte TMi/J ( n) E lN u {div} . (3) Das zur Berechnung verwendete Anfangsstück von i/J OMi/J(n) E {1/J[kJ, k:::::; TMi/J(n)}

(Hierbei ist zu beachten, daß die Maschine M in TM\/J(n) Schritten höch- stens TM\/J(n) Symbole auf das Abfrageband schreiben kann, woraus sich die Beschränkung von k durch TM1/J(n) ergibt.)

Schließlich verlangen wir noch von unseren Maschinen, daß für alle nE IN und alle \/JE NC der Wert MijJ(n+l) nur existiert, wenn auch M;/J(n) existiert und daß in diesem Falle gilt !MijJ(n)- Mi/J(n+l)i<2-n. Mit Bedingung (II) ergibt dies (III) Für jede Cauchy-Folge \/JE NC gilt Mt/JE PNC

Wir werden der Einfachheit halber jede OTM durch einen Algorithmus über dyadischen und natürlichen Zahlen beschreiben. Eine kanonische Umsetzung in die entsprechenden Algorithmen über W(L) ergibt sich dann aufgrund dieser Vorbemerkungen.

Definition 4.1 (berechenbare reelle Funktion)

Eine Funktion f : lR--- lR heißt berechenbar genau dann, wenn eine Orakel-Turing-Maschine M existiert mit der Eigenschaft

(*) (Vij;ENC) 5(Ml/l) = f(o(1~)) .

Die Menge aller Orakel-Turing-Maschinen, welche die Eigenschaft(*) bezüg- lich f besitzen, bezeichnen wir der Einfachhalt halber mit OTM(f). Die Be- dingung(*) an eine Maschine MEOTM(f) ist aufgrund der Forderung (III) äquivalent zu den folgenden zwei Bedingungen

(i) Ist l)!ENC eine Cauchy-Folge mit Grenzwert xEDef(f), so berechnet die Maschine M hieraus eine Folge Ml/1 E NC , die gegen f(x) konver- giert.

(ii) Liegt der Grenzwert von l)JENC nicht im Definitionsbereich von f , so muß Mi/!(n) für fast alle nElN divergieren.

Wir geben nun einige Beispiele für berechenbare reelle Funktionen

- Viele (totale) stetige Funktionen f: IR - lR sind berechenbar. Hierzu ge- hören insbesondere Polynome mit rekursiven Koeffizienten, alle Elementar- funktionen (exp,sin, ... ), die Betragsfunktion etc.

- Die Funktion f: ffi.-- lR mit f(x) =

l

für x EIR\ {0} =: Def(f) ist be-

x

rechenbar.

- Erweitert man den Begriff der Berechenbarkeit auch auf mehrstellige reelle Funktionen, so ist die Funktion g : JR2

---- lR mit 1 , falls

g(x,y) .-~O ,falls ldiv , sonst

x>y x<y

berechenbar. Jedoch ist die Funktion g^{1 :} IR 2-

m.

mit ro , falls x=y

g ^{i (} X ,y) : = ~

cl ,

^sonst

keine berechenbare Funktion.

Lemma4.2. Sei f:IR---IR berechenbar, MEOTM(f), xEDef(f) Dann ist für al1e nEJN die Menge {TMl/J(n) ^J l/JEo-1

{x}} endlich.

Beweis Aus Kapitel 2 wissen wir, daß sich al1e Orakel l)JEo-1_{{x} in einem} endlich verzweigten Baum anordnen lassen. Für jedes dieser Orakel l/J und jedes feste n ist nun TMl/J(n) E JN, so daß zur Berechnung von Ml/J(n) auch nur ein endliches Anfangsstück OMl/J(n) von ^ljJ benötigt wird. Aus Königs Lem- ma folgt nun, daß der Baum aller OMl/J(n) endlich ist und somit auch nur end- lich viele verschiedene Berechnungen betrachtet werden müssen (genauer: Die Menge aller Berechnungen von M mit Orakeln l)JEo-1_{x} und festem n zer- fällt in endlich viele Äquivalenzklassen) woraus dann die Behauptung folgt.

•

Damit ist für alle MEOTM(f), xEDef(f) die Funktion TMx: IN - IN mit TMx(n) := max{TMl/J(n)

l

l/J E o-1{x}} wohldefiniert. Aus dem Beweis zu Lemma 4.2 geht sogar hervor, daß für berechenbare xEDef(f) die Funktion TMx total- rekursiv ist. In einem gewissen Sinne stellt TMx eine Komplexitätsschranke für f im Punkte x dar. Zwischen dieser Komplexitätsschranke und den topo- logischen Eigenschaften von f in x besteht ein enger Zusammenhang.

Satz 4.3 Sei f:.!R---.!R berechenbar, MEOTM(f), xEDef(f). Dann ist f

durch

(

i i .e.

t.

stetig in x und der Stetigkeitsmodul von f in x ist beschränkt

>s n. TM ( n+ 1) . X

(vy E Def(f)) (Yn) ( ¹ X -y ¹ < 2-TMX(n+l) => 1 f(x) - f(y) ^{1 ::;} 2-n) 1

)

Beweis Es sei yEDef(f), nE JN, k := TMx(n+l) Gilt nun lx-yl ::;2-k so folgt mit Lemma 2.l(b)

( :l 1~ E 6 - l {X} ) ( :l ljJ ^I E 6 -l ^{{y} ) ljJ [} k ] ^{= ljJ 1 [} k l

Da nun die Länge des bei der Berechnung von Ml/J(n+l) verwendeten Anfangsstückes OMl/J(rr+l) maximal TMl/J(n+l)::; k ist, ist die Berechnung von Ml/!

1

(n+l) identisch mit der von Ml/J(n+l) , also folgt:

/ f (X) - f (y) / 1 f ( \ ^{;,•UJ I} . • ' •

X) - 1 1 · l_ n-t-1 J ¹ -t-

2- ( n+ l) +

= 2-n

1

IMl/J(n+l)-ivll/J(n+l)i +

0 +

•

1 f(y) - Mt/!

1

(n+l) 1

2^-(n+l)

Aus der Topologie (Kuratowski [16] § 35) ist bekannt, daß Definitionsbereiche der partiellen stetigen Funktionen genau die G

6-Mengen sind, also Mengen, die sich als abzählbarer Durchschnitt offener Mengen bzw. als abzählbarer

Durchschnitt einer abzählbaren Vereinigung offener Basismengen darstellen lassen.

Eine entsprechende Charakterisierung kann auch für berechenbare reelle Funk- tionen gegeben werden (vgl. Weihrauch [29], [30]). Wir wählen dazu als Basis- mengen offene Intervalle mit dyadischen Randpunkten.

Definition 4.4 (effektive G-

0-ivJenge~ effektive F

0-Menge)

Satz 4.5

(1) Eine Menge S~IR heißt effektive G

5-Menge genau dann, wenn eine berechenbare Funktion \l : IN-- ~D existiert mit

(vi ,j EIN) O .. := ( \l <i ,2j> , ^\l <i ,2j+l> ) -:f: 0

l J

so daß S ⁼ il u O. . ist.

iEIN jEIN lJ

( 2) Eine Menge Tc IR heißt effektive F -Menge genau dann, wenn

0

lR\ T eine effektive G -Menge ist.

8

(Definitionsbereiche berechenbarer reeller Funktionen)

Eine Menge Sc~ ist Definitionsbereich einer berechenbaren reellen Funktion genau dann, wenn sie eine effektive G,-Menge ist.

0

Beweis

1=>¹ Es sei f: lR--- lR berechenbar, S := Def(f), ME OTM(f)

Lemma 4.5.1 (vxElR\S) (3n) ('i1JJE6-l{x}) Mi/J(n) =div

Beweis des Lemmas Bedingung (ii) an eine berechenbare Funktion besagt.

(vxEIR\S) (V1/;Eö-1{x}) (:lnl) (Vn?::nl) Ml/J(n) =div.

Dies bedeutet, daß die Maschine M von jedem Orakel ,~ E 6-l {x} nur endlich viele Anfangsstücke OMi/J(n) verwendet, um alle Werte

Mi/J(n) =!=div zu berechnen. Wie bei Lemma 4.2 folgt nun die Behauptung mit Hilfe von Königs Lemma

'<='

Beweis von Satz 4.5 ('^•') Wir nehmen an S =!= 0

(Sonst wähle für alle i ,j EIN O .. :=(i,i+l)) lJ

Dann gilt mit Lemma 4.5.1

x Es ^<a> (vn) (3t E o-l {x}) (3k) ( TMt(n) = k /\ liHk) - x 1 < z-k)

1~

-.> (vn) (31,k) ( TM \n) = k /\ lij;l (k) - XI< z-k)

( 11

=>¹¹ Füralle iµENC gibtes lEIN mit 1/Jfk]=lJ;[k])

(

11<=¹¹ Aus lij;l(k)-xl:52-k folgt (3lj.,Eo- 1{x}) 1/Jfk]=,~[k])

<a> (vn) (31,k,t)

t1 -k k

( TM ( n ) = k /\ ^K l ( k ) = t /\ x E ( ^ijJ l ( k ) - 2 , ,~ l ( k ) + 2 - ) ) Da S ^=!= 0 ist gibt es h E R ( l) mit

81· 1 d cph ( n ) = < , , t> TM { l k ^J lJ;l ( n ) = k ,, ^K l ( k ) = t } Dann gilt also

XES

Setzt man also Oij := (\/J

1(k)-2-k, 1/1

1(k)+2-k) wobei <k,l,t>=q;h(i)(j) so fo 1 gt

x E S ^{-.> (} vi) ( 3j) x E O. . * x E n u O ..

lJ iElN jEIN lJ Also ist S eine effektive G

0-Menge

Es sei S := n u o .. eine effektive G

0-Menge. Wir konstruieren i EIN jEJN ¹ J

eine Orakel-Turingmaschine M , die eine Funktion f: IR--- IR berech- net mit

Def(f)=S und ^{( \fX} ES) f(x) = 0

ALGORITHMUS für Eingabe n EIN, Orakel l/J E NC

Suche µ<i,j> ( (vk:5n) (:ll:5j) [1/J(i)-2-i ,iµ(i)+2-i]s_Okl ).

Falls die Suche hält, gebe OE~

O aus;

ENDE DES ALGORITHMUS

Es gilt nun für jede Folge ;µ E NC

o ( ;µ) E S • ( vn) ( :lj) ( Vk :;; n) ( :l l :;; j) ö(ij;)EOkl

• (vn) (:l<i ,j>) (vk:;; n) (31 :s;j) [;µ(i)-2-i, ;µ(i)+2-⁷]~0kl

• ( vn) M;µ ( n) = 0 .

0 ( ;µ) $ ^S

= (

:l k) ( vl ) ö ( ;µ) $ ^{ok l}

• (3k) (vi,l) [;µ(i)-2 -i ,

• (3k) (vn~k) M:/J(n) = div

_;

iJ;(i)+2 J1_okl

Damit leistet die Maschine M das Gewünschte.

•

Effektive G

0-Mengen können relativ kompliziert sein, z.B. sind .lR\~ , .lR\~D sowie viele Einpunktmengen effektive G

5-Mengen. Es gibt sogar effek- tive G

0-Mengen, die nur aus nichtberechenbaren Zahlen bestehen.

Ko ro l 1 a r 4 . 6 Es gibt eine berechenbare Funktion f : .lR--- .lR deren (nichtleerer) Definitionsbereich keine berechenbare Zahl enthält.

Beweis Es sei Ks;IN rekursiv-aufzählbar aber nicht rekursiv. hER(l) sei eine injektive Aufzählung von K. Da K nicht rekursiv ist, ist die Zahl xK .-

l

2-h(i) eine nichtberechenbare reelle Zahl. Mit

i EIN

0. . : = (

l

2-h ( k) - 2-i

1 J k~+i

I

2-h(k)+2-i) gilt jedoch

k~+i

[Xk} : = n U 0 ..

lJ ist eine effektive G₀-Menge, was zusammen mit Satz iElN jEIN

4.5 die Behauptung beweist.

•

5. Komplexität berechenbarer reeller Funktionen

Im vorigen Kapitel haben wir gesehen, daß für jede berechenbare Funktion f: lR--- lR die Berechnungskomplexität von f in einem Punkte xEDef(f) durch die Funktion TMx nach oben abgeschätzt werden kann, wobei M eine beliebige OTM ist, die f berechnet. Wir wollen nun nach einer geeigneten Definition für eine (rekursive) Komplexitätsschranke suchen, welche die Be- rechnungskomplexität einer reellen Funktion f in allen Punkten des Defini- tionsbereiches nach oben begrenzt und sich damit als Grundlage für eine Blum'sche Komplexitätstheorie auf reellen Funktionen eignet. Im Allgemeinen jedoch ist die Komplexität einer Orakel-Turing-Maschine MEOTM(f) nicht un- abhängig vom Funktionsargument und seinen Darstellungen. Es gibt daher be-

rechenbare reelle Funktionen, die nur aufgrund ihres komplizierten Definitions- bereiches keine Kamp 1 exitätsschranke t : IN - IN (nicht ei nma 1 eine nicht- rekursive) besitzen.

Beispiel 5.1. Es sei f : lR --- IR berechenbar mit Def ( f) = lR \ ~ .

Dann gibt es keine (uniforme) Komplexitätsschranke für f.

Beweis Es sei T: JN - JN eine· beliebige, wachsende Funktion, MEOTM(f) Wir konstruieren eine Zahl xE lR\~, sodaß für unendlich viele nE JN gilt:

TMx(n) > T(n)

Dazu sei v~ eine Standardnumerierung von ~, , : {0,1} -I0 ein effektives Cantor-Raster.

ALGORITHMUS Stufe k = 0 Stufe k + 1

ENDE

Setze w0:=E: , n0:=0

Falls v~(k) $ ,(wk) dann setze wk+l := wk, nk+l := nk ; Sonst bestimme eine Zahl nk+l>nk mit T(nk+l) <TMt/J(nk+l) für alle iµEo-1{v~(k)} (Da f auf v~(k) divergiert, wird ein solches nk+l immer gefunden - vgl. Lemma 4.5.1), suche einWort wE{O,l}* mit lg(wkow)=T(nk+l) sowie

-T(nk·l) -T(nk+l)

,(wkow)~[v~(k)-2 ^{T ,} v~(k)+2 ]\{v~(k)}

und setze dann wk+l : = wk⁰ w

Da die Menge ~ dicht in lR liegt, wächst die Folge der nk und damit auch lg(wk) unbegrenzt. Also gibt es eine Zahl x mit {x} = n ,(wk)

kElN Per Kons truk ti on gilt x E lR \ ~ und

-T(n )

lx - v~(k) ¹ :-s; 2 k+l für unendlich viele k .

Da die Maschine M die Zahlen x und v~(k) in T(nk+l) Schritten nicht unterscheiden kann (vgl. Lemma 2.1) und für kein Orakel \)JE

o-

1{v~(k)} in T(nk+l) Schritten hält, gibt es also unendlich viele k EIN mit

TM (nk+l) X > T(nk+l)

Damit kann T keine Komplexitätsschranke für f bilden.

•

Im folgenden werden wir nun Definitionsbereiche für berechenbare reelle Funk- tionen charakterisieren, welche die Existenz einer Komplexitätsschranke garan- tieren. Dabei werden wir uns den in Kapitel 4 aufgedeckten Zusammenhang

zwischen Topologie und Komplexität zunutze machen. Wir formulieren zunächst die Begriffe ¹¹effektive Kompaktheit^1' (vgl. Bishop [3], Martin-Löf [20]) und effektive K -Menge in unserer Notation.

(J

Definition 5.2 (effektiv-kompakte Menge~ effektive K -Menge)

0

a) Eine Menge S S. lR die Menge

heißt effektiv-kompakt genau dann, wenn sie kompakt und U(S):={jElNjS~ u

<i ,k>ED.

J

-k

-k}

(d.-2 , d.+2 )

l l

rekursiv-aufzählbar ist.

b) Eine Menge Tc ^lR heißt effektive K -Menge genau dann, wenn es eine

0

Funktion hER(l) und effektiv-kompakte Mengen s. (j EIN) gibt mit

J

(vj) U(Sj) = Wh(j) und T = ^u s.

jEIN ^J

( d .h. T ist eine aufzählbare Vereinigung effektiv kompakter Mengen) Eine kompakte Menge S ist also genau dann effektiv-kompakt, wenn die Heine- Borel-Eigenschaft effektiv ist, d.h. wenn die Menge aller endlichen Familien offener Oberdeckungen von S aufgezählt werden kann. Die Menge S ist durch diese Oberdeckungsfamilien eindeutig bestimmt, denn es gilt: S=j~U(S)Uj mit Uj .- u (di-2-k, d;+2-k)

<i, k>EO.

J

Sowohl auf effektiv-kompakten Mengen als auch auf effektiven K -Mengen kann

0

man sinnvoll von der Komplexität einer hierauf definierten berechenbaren reel- len Funktion sprechen.

Lemma 5.3 Es sei f: IR--- IR berechenbar, Ss;.Def(f), MEOTM(f) a) Ist S effektiv-kompakt, so gibt es eine Funktion tER(l) mit

(ViJ; E ö-l(S)) TMiJ;(n) ~ t(n) für alle n

b) Ist

s

eine effektive K -Menge, s·o existiert tER(l) mit

0

( Vij;. E ö - l ( S ) ) TM;J;(n) ~ t(n) für fast alle n Beweis

a) Da

s

beschränkt ist, lassen sich alle Orakel iJ;Eö-l(S) in endlich vielen endlich verzweigten Bäumen anordnen. Mit Königs Lemma folgt wie bei Lemma 4.2, daß die Menge {TMlJ!(n) ¹ iJ;Eo-1(S)} endlich ist, also wegen der effektiven Kompaktheit eine Funktion tER(l) mit

t(n) =max{TMt/J(n) ^j iJ;Eo-1(S)} existiert.

b) Ist S = Funktion

u S j mit effektiven kompakten

j ElN

tER(l) gewünschte. D

Mengen S. ,

J so leistet die das

Korollar 5.4 Ist f: IR --- IR berechenbar und SfDef(f) effektiv-kam- pakt, so ist f gleichmäßig stetig auf S und der Stetigkeitsmodul von f auf S ist rekursiv.

(d.h. (3tER(l)) (vx,yES) (vn) lx-y!~2-t(n) ~ lf(x)-f(y)l~2-n) Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus Lemma 5.3 und Satz 4.3 .

Da die Existenz einer uniformen Komplexitätsschranke für eine berechenbare reelle Funktion eine gleichmäßige Stetigkeit bedingt (die Umkehrung gilt nicht! - vgl. 5.1), erscheint uns die Definition von Komplexität durch immer geltende Schranken, die z.B. von Ko [14] verwandt wird, zu restriktiv. Wir geben hier eine Definition, die es uns z.B. auch erlaubt, der Funktion f(x) := 1/x eine Komplexität zuzuordnen.

Definition 5. 5 Sei mit

(Komplexitätsklassen Ss_lR eine effektive ss_Def(f).

für berechenbare reelle Funktionen) K -Menge, f : lR--- lR berechenbar

(5

f hat auf S die Komplexitätsschranke genau dann, wenn eine Maschine ME OTM(f) (ViµE 5-l(S)) TM\/J(n)::::t(n) für fast alle

tE R(l) ("fE CS(t)") existiert, so daß gilt

n .

Die Existenz einer Komplexitätsschranke ist nach Lemma 5.3(b) für jede effek- tive K -Menge Sf;.Def(f) garantiert.

(5

Satz 5.6 (Hierarchiesatz)

Zu jeder Komplexitätsschranke tE R(l) läßt sich eine (totale) berechenbare Funktion f: lR - IR konstruieren, die nicht in der Klasse ClR(t) liegt.

Satz 5.7 (Beschleunigungssatz)

Für alle rE R(Z) gibt es eine (totale) berechenbare Funktion f: lR - lR mit der Eigenschaft:

Zu jede Maschine ME OTM( f) gibt es eine Maschine ME OTM( f) , so daß (V1JJ,l/J¹ ENC) r(n,TW(n))::::TMt/!

1

(n) für fast alle n

Zum Beweis dieser Sätze genügt es, Funktionen mit konstantem (berechenbaren) Funktionswert zu betrachten, und die entsprechenden Sätze für reelle Zahlen (3.6 bzw. 3.7) anzuwenden.

Wir haben bisher gesehen, daß berechenbare reelle Funktionen sehr schwer zu berechnen sind, wenn sie nur komplizierte Werte annehmen oder einen komplizier- ten Definitionsbereich besitzen. Es gibt jedoch Funktionen, deren Komplexität sehr hoch ist, obwohl sie einen einfachen Definitionsbereich haben und auf

"einfachen" Argumenten auch einfache Worte annehmen. Man kann hieran sehen, daß Definitionen der Art "Eine Funktion f: IR---;;>IR ist einfach (z.B. in polynomialer Zeit) zu berechnen, wenn sie einfache Argumente in einfache Werte transformiert" sich nicht für eine Komplexitätsdefinition für reelle Funktionen eignen.

Satz 5.8 Zu jeder unendlichen, schwach n-r.a. Menge X~JR und jeder Komplexitätsschranke tER(l) gibt es eine berechenbare Funktion

f:[0,1]-JR, fürdiegilt

(VyEX) f(y)E~o und f~C[O,l](t).

Beweis Wir zählen X injektiv auf und konstruieren eine konvergierende Folge von Polygonzügen fi , die auf Umgebungen der ¹¹ersten¹¹ i Punkte aus X konstant sind.

Dazu seien p,qER(l) , q streng monoton mit (vi) q(i)2::2i +3, so daß gilt

( 1) { np ( i ) j i E JN} = {0, l} ^{U .} X

( 2) ( vn) ( ^\jJ _{P ( 0) (} n) = 0 /\ ^\jJ P ( 1) ( n) ⁼ 1)

( 3) ( Vi 2:: 2) ( V j < i ) 1 \jJ p ( i ) ( q ( i ) ) - \jJ p ( j ) ( q ( i ) ) > 2 • 2-q ( i) Wir schreiben \jiji als Abkürzung für tp(j)(q(i)) und

{

\)! . . + 2-q ( i ) (bzw . \jJ .. - 2 -q ( i ) ) , fa 11 s j 2:: 2

Jl Jl

für

\)!-• , sonst.

Jl

+ ( -

·J; .. bzw. \ji .. )

J 1 J 1

Wir definieren die Polygonzüge fi: [O,l]-JR (i 2:: 1) über ihre Werte auf Stützstellen z E {\ji;i

I

j ~ i} u {\jiji

I

j ~ i} . Es sei

f l ( 0 ) : =Ü , f l (1 ) : = 1 und für i 2:: 2

{

f . l ( \jJ • • ) + ( -1 ) g ( i ) · 2 -q ( i ) , fa l l s

1 - 11

fi (z) :=

. f i _ 1 ( z) , sonst

zE {\)!'.., _,., \)!~-} _{1 1}

Dabei sei gER(l) eine 0/1-wertige Funktion, deren Eigenschaften wir später noch etwas genauer angeben.

über eine vollständige Induktion läßt sich zeigen, daß die Steigung der Funk- tionen fi (betragsmäßig) maximal 2i -1 ist. Hieraus folgt wegen

q(i)2:2i+3 für alle xE[O,l] und alle iElN:

lfi(x)-fi_ 1(x)I :52 -i

Damit ist die Funktion f := lim f. wohldefiniert und berechenbar (vgl. Ko [14]).

i__,, l

Außerdem gilt für a 11 e y EX :

(:liEIN) y=rip(i) 1\ f(y)=fi(i/Jii)E~D

Wir zeigen nun, daß die Funktion f im wesentlichen genauso schwer zu berech- nen ist wie die zur Definition verwendete Funktion gER(l) . Dazu geben wir ein Verfahren an, welches g mit Hilfe einer Turing-Maschine MEOTM(f) berechnet.

EINGABE:

( I)

(II)

i (o.B.d.A i 2: 2)

Bestimme k,j E {0, ... , i-1} , + - + -

so daß gilt 1/Jji <1/Jii <1J!ii <1)Jii <lJ;ki wobei (1/Jk. ^- -ij; .. ) ⁺ minimal ist.

l Jl

über die Funktionswerte +

f(ri ( ')) = f. 1(1/J,. 1) _{PJ 1- Jl-} interpoliere eine Näherung

kleiner als z-(q(i)+l) (III) Berechne eine Näherung F¹

fehler von z-(q(i)+l)

F für f.

1(tj; .. )

l - 11 mit einem Fehler für f(lJ! .. ) =f(ri (')) mit einem Maximal-

„

^{p l}

AUSGABE: O , fa 11 s F - F ¹ > 0 , andernfa 11 s 1 .

Die Korrektheit dieses Verfahrens ist mit der folgenden Skizze einzusehen:

,,f,,.

/ 1

',) j i '+

+ 'l'j i-1

, - 1 1 +

W; i !i; i ·µ; i

---

- - · - - - - -

f. 1

1 - 1 -

,J,ki-1 '~ki

Es sei nu;1 tER(l) eine Komplexitätsschranke -für f, TER(l) beschr2ibe den - nur von p und q abhängigen - Aufwand für den ersten Teil des Ver- fahrens. Dann ist die Funktion t ¹ ER(l) mit t ¹(i)=3t(q(i)+3)+T(i) eine Schranke für die Komplexität von g .

Nach dem Blum¹schen Kompressionssatz ([4]) gibt es zu jeder Funktion t¹ ER(l) eine 0/1-wertige rekursive Funktion g , deren Komplexität größer als t ¹ ist. Ver.vendet man nun eine derartige Funktion zur Definition der Polygenzüge fi , so besitzt f die gewünschten Eigenschaften.

•

6. Schlußbemerkungen

Wir haben in dieser Arbeit eine Blumsche Komplexitätstheorie für reelle Zahlen formuliert und Grundlagen für eine Komplexitätstheorie auf berechenbaren reel- len Funktionen (im Sinne von Grzegorczyk) geschaffen. Dazu wurde zunächst eine geeignete Darstellung der reellen Zahlen mit Hilfe von normierten Cauchy-Fol- gen aufgestellt. Bei der Definition berechenbarer Funktionen erwies sich das Konzept der Orakel-Turing-Maschinen als sinnvoll. Es ermöglicht sowohl eine Berechenbarkeitstheorie für Funktionen f: ffi --- ffi als auch Untersuchungen ihrer Berechnungskomplexität. Wir haben festgestellt, daß Komplexitätsbetrach- tungen nicht ohne Berücksichtigung topologischer Gesichtspunkte (wie Stetig- keit oder Art des Definitionsbereiches) durchgeführt werden können.

Der nächste Schritt wäre nun eine Vertiefung der rekursionstheoretischen Komplexitätstheorie für reelle Funktionen und eine Erweiterung auf Funktionen- folgen und Funktionale. Daneben sind auch Anwendungen unseres Modells für kon- kretere Komplexitätsuntersuchungen im Bereich der konstruktiven Analysis denk- bar.