• Keine Ergebnisse gefunden

Folgen von Zahlen — Folgen von Funktionen

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Aktie "Folgen von Zahlen — Folgen von Funktionen"

Copied!
2
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Volltext

(1)

FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Skript 16

Mathematik 2 f¨ur KMUB 20./28. Mai 2009

Prof. Dr. H.-R. Metz

Reihen 1

Folgen von Zahlen — Folgen von Funktionen

• Definition

Wird jedem n ∈IN eine Zahl an zugeordnet, so entsteht eine unendliche Zahlenfolge

a1, a2, a3, . . . Schreibweise: (an)n=1 oder kurz (an).

Die Zahlen an heißenGlieder der Folge.

• Anmerkung:

(a) Die Indizierung darf statt mit 1 auch mit jeder anderen ganzen Zahl beginnen.

(b) Eine Folge kann als Funktion f mit

f : IN−→IR, f(n) =an aufgefaßt werden.

(c) Die Vorschrift an =f(n) heißt Bildungsgesetz der Folge.

(d) Eineendliche Folge

a1, a2, a3, . . .,am wird entsprechend geschrieben: (an)mn=1.

• Beispiele, u.a.

– Folge der Primzahlen, – arithmetische Folge, – geometrische Folge, – Fibonacci-Folge.

• Beispiele f¨ur konvergente Folgen (Begriff der Konvergenz anschaulich).

Copyright c2009, Prof. Dr. H.-R. Metz. All rights reserved.

1

(2)

• Definition

Die Zahlenfolge (an) konvergiert gegen g (strebt gegen g), wenn es zu jeder Zahl >0 einen Index n0() gibt, so daß

|an−g|< f¨ur allen > n0()

ist. Dabei heißt g der Grenzwert (Limes) der Folge (an). Schreibweise:

limn→∞an=g oderan→g (n→ ∞).

Die Folge (an) heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist.

• Satz

Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert.

• Beispiele, u.a.

– die Nullfolge n1

n=1

– die Folge 1 + 1nn

n=1

– eine bestimmt divergente Folge (Begriff des uneigentlichen Grenzwerts, Schreibweise)

– die Folge 3n2n−2n+12+4

n=1

– die geometrische Folge (qn)n=0

• Definition

Habe wir unendlich viele durchnumerierte Funktionen f1, f2, . . . , die alle auf derselben Teilmenge M der reellen Zahlen definiert sind, dann nennen wir (fn)n=1 eine Funktionenfolge auf M.

Konvergiert f¨ur jedes x∈M die Zahlenfolge (fn(x))n=1, dann wird durch f(x) = lim

n→∞fn(x) (x∈M)

auf M die Grenzfunktion f der Funktionenfolge definiert, und wir sa- gen, daß die Funktionenfolge aufM punktweise konvergent gegenf ist, geschrieben

fn→f (n → ∞) auf M , oder lim

n→∞fn=f auf M .

• Anmerkung: Eigenschaften der Funktionen f1, f2, . . . m¨ussen sich bei punktweiser Konvergenz nicht auf die Grenzfunktion ¨ubertragen. Sind bei- spielsweise alle Funktionen f1, f2, . . . stetig, dann muß die Grenzfunktion keineswegs stetig sein.

• Beispiele

2

Referenzen

ÄHNLICHE DOKUMENTE

Abgabe bis Do, 08.01., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨ Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨ andigen Bearbeitung..

(Der Operator ∆ heißt Laplace-Operator, die L¨ osungen der Laplace-Gleichung werden als harmonische Funktionen

- alle vorherigen Glieder müssen zur Berechnung von a n bekannt sein, - explizite Vorschrift wird i.d.R.. Umwandlung für inhomogene

Zeigen Sie die

(a) Die beiden ersten Gleichungen folgen aus: ”Die Tangentialkomponenten von E sind immer stetig”... (3) Der Drehimpuls pro L¨ angeneinheit (in z-Richtung) ist also (wir w¨

Bestimme nun den Differenzenquotienten für eine streng monoton fallende und eine streng monoton wachsende Nullfolge, n

Dann nach dem Satz auf der Seite 141 im Skript Ana I diese Funktionenfolge gleichm¨ aßig konvergenz ist und die Grenzfunktion stetig auf [a, b] ist... Also sind die

Eine radikale Sicht ist die, dass eine Gr¨osse nicht anderes ist als die phantasievoll benann- te Funktion f (x) = x auf einem Intervall z.B.. wir erfinden eine neue Gr¨osse ∆x