Universität Tübingen Mathematisches Institut
Prof. Dr. Christian Lubich Tübingen, den 14.04.2014
2. Übungsblatt zur Analysis II
Aufgabe 7: Seik · k eine Norm. Zeigen Sie
kxk − kyk
≤ kx−yk.
Aufgabe 8: Zeigen Sie: Für jedesp≥1 und beliebigesx∈Rn ist kxk∞≤ kxkp ≤n1/pkxk∞.
Insbesondere gilt daher
p→∞lim kxkp=kxk∞.
Aufgabe 9: Zeigen Sie: Für beliebigesx∈Rn ist die Funktionp7→ kxkp auf[1,∞)monoton fallend.
Aufgabe 10: Zeigen Sie, daß eine Folge(xk)k∈Ngenau dann bezüglichk · k∞ gegena∈Rnkonvergiert, wenn sie bezüglich der euklidischen Normk · k2 gegenakonvergiert.
Aufgabe 11: Zeigen Sie für M ⊂Rn:
◦
M = {x∈Rn
M ist Umgebung von x} M = {x∈Rn
M hat nichtleeren Durchschnitt mit jeder Umgebung von x}.
Aufgabe 12: Zeigen Sie für A, B⊂Rn:
A∪B =A∪B , (A∩B)◦ =A◦ ∩B .◦ Geben Sie MengenA, B ⊂Ran, für die
A∩B 6=A∩B , (A∪B)◦ 6=A◦ ∪B .◦
Abgabe in der Vorlesungspause am 23.04.2014, bzw. am 23.04.2014 in den Übungen.
Besprechung in den Übungen vom 23.04.-25.04.2014.
