Analysis 1
D. Edelmann 21. Dezember 2020
WS 2020/21 Musterlösung
Übungsblatt 7
Aufgabe 42
Sei f : [0,1]→R,g :R→R, h : [−1,1]→R, und u : [0, π]→R, mit f(x) = x·sin(1/x)−2x, fallsx 6= 0 undf(0) = 0,
g(x) = sin(1/x), falls x 6= 0 undg(0) = 0.
h(x) = (1/x)·sin(1/x), falls x 6= 0 und h(0) = 0 u(x) = (1/√
sinx)−1, falls x 6= 0, x 6=π und u(0) =u(π) = 0.
Welche Funktionen sind stetig?
Lösung. Für x 6= 0 (bzw. zusätzlichx 6= π füru) sind alle Funktionen stetig, da durch Multiplikation, Addition und Verkettung stetiger Funktionen zusammengesetzt. Wir müssen die Stetigkeit also nur noch in x = 0 nachprüfen.
• f ist stetig in x = 0, da
|f(x)−f(0)|=
xsin1 x
−2x
≤ |x| |sin(1/x)|
| {z }
≤1
+2|x| ≤3|x|
Zu gegebenemε >0 wählt man alsoδ =ε/3, dann gilt für alle x mit|x−0|< δ, dass |f(x)−f(0)|< ε.
• Die Funktiong ist nicht stetig in x = 0, da die Folge (xn) mitxn = 2nπ+π/21 gegen 0 konvergiert, aber g(xn) = 1 und g(0) = 0.
• Die Funktion h ist nicht stetig, da mit derselben Folge gilt, dass h(xn) = 2nπ+π/2→ ∞.
• Die Funktion u ist nicht stetig in x = 0 und x = π, da sin(0) = sin(π) = 0 und die Funktion somit unbeschränkt ist. Genauer: Für δ= arcsin(1/4)>0 ist sin(x) ≤ 14 für alle x ≤ δ und damit qsin(x)≤ 12 bzw. √1
sin(x) ≥2. Somit gilt für alle x < δ, dass
|u(x)−u(0)|=
1
qsin(x) −1
= 1
qsin(x) −1≥1. (1) Fürx =π analog mit einer Spiegelung an x =π/2.
1
