1 Statik starrer Körper

Vorwort

Auf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog für die Veranstaltung ’Statik und elementare Festigkeitslehre’ abgedruckt, aus dem jede Woche Aufgaben für die Plenarübung, die Tutorien und das eigenständige Arbeiten ausgewählt werden. Lösungen zu den Tutoriums- und Hausaufgaben werden ungefähr eine Woche nach Bearbeitung veröffentlicht. Leider schleichen sich manchmal in die veröffentlichten Lösungen Fehler ein. Wir bemühen uns, diese möglichst zügig zu beseitigen.

Jede*r Student*in ist aber in erster Linie selbst verantwortlich. Darum sollte selbständig gerechnet werden. Wer gerne weitere Aufgaben (mit Musterlösungen) rechnen möchte, sei auf die breite Auswahl an Aufgabenbüchern verwiesen.

Inhaltsverzeichnis

1 Statik starrer Körper 2

1.1 Zentrale und allgemeine Kräftegruppe . . . 2

1.2 Schwerpunkt . . . 8

1.3 Auflagerreaktionen . . . 12

1.4 Stabwerke . . . 19

1.5 Schnittlasten in Balken und Rahmen . . . 23

2 Elastostatik 28 2.1 Zug/Druck, Wärmedehnung . . . 28

2.2 Torsion . . . 33

2.3 Biegung . . . 36

2.4 Hauptspannungsberechnung, Mohrscher Spannungskreis . . . 45

2.5 Stabilität, Knickung . . . 50

1 Statik starrer Körper

1.1 Zentrale und allgemeine Kräftegruppe

1. An einer Halterung greifen die KräfteF₁ und F₂ an. Die Wirkungsrichtungen der Kräfte sind durch die Winkelα undβ beschrieben (siehe Skizze).

(a) Geben Sie die Kräfte in der dargestellten Basis an.

(b) Wie groß ist die resultierende Kraft? Geben Sie Be- trag und Richtung an.

(c) Gehen Sie nun von folgenden Zahlenwerten aus:

F₁ = 2,5 kN, F₂ = 2,0 kN, β = 30^◦. In welcher Richtung αmuss die Kraft F1 an der Halterung an- greifen, damit an der Einspannstelle nur eine axiale Kraft (Kraft in y-Richtung) wirkt?

e_y e_x F₁

F₂ α

β

2. Der skizzierte Haken ist durch die zwei Kräfte F₁ und F₂ belastet. Die Wirkungsrichtungen der Kräfte werden durch die Winkelα und β beschrieben.

Ersetzen Sie die zwei Kräfte durch eine resultierende KraftFres. Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung dieser resultieren Kraft rechnerisch und zeichnerisch.

Geg.:F₁ = 1,8 kN,F₂ = 2,6 kN, α= 15^◦,β= 55^◦

y

x F1

F₂

α β

3. Ein Ozeandampfer wird von drei Schleppern gezogen.

In den drei Seilen wirkt die gleiche ZugkraftF = 20 kN.

Die Wirkungsrichtungen der Kräfte werden durch die Winkelα = 15^◦,β = 10^◦ und γ = 20^◦ beschrieben.

Bestimmen Sie die resultierende Zugkraft F~res auf den Ozeandampfer und geben Sie deren Betrag an. Welchen Winkel δ bildet die Resultierende mit der positiven x- Achse?

y

x F

F F α β

γ

Bitte beachten Sie, dass der Winkelδ entgegen dem Uhrzeigersinn von der positivenx-Achse aus positiv gezählt wird und nur im Bereich−180^◦< δ≤180^◦ definiert sei.

Geg.:F,α,β,γ

4. Eine Kiste hängt an zwei Seilen. Die Seilkraft F2 wird gemessen. Sie beträgt 5,0 kN. Die Richtung der Seilkräfte wird durch die Winkelα= 15^◦ undβ= 20^◦ beschrieben.

(a) Bestimmen Sie die Seilkraft F₁. (b) Welche Masse hat die Kiste?

Geg.:α= 15^◦,β = 20^◦,F₂ = 5,0 kN,g= 9,81 m s⁻²

e_y e_x F1 α β F₂

g

5. An den Punkten P₁ bis P₄ einer Scheibe (x-y-Ebene) greifen vier in dieser Ebene liegende Kräfte F1 bis F4 an. Ihre Wir- kungslinien schneiden sich im Punkt P₅ der Scheibe. Alle Kräfte weisen von P₅ weg. Gesucht sind Größe und Richtung der Resultierenden.

Geg.: (Alle Größen in SI-Einheiten) F₁ = 70 F₂= 40 F₃= 20 F₄ = 100

P₁(4; 2) P₂(1; 4) P₃(−3; 3) P₄(−5;−3) P₅(0;−2)

P₁ P2

P₃

P₄ P₅ x

y

6. Die abgebildete Hebevorrichtung wird zum Umschlagen von Holzstämmen ver- wendet. Das Seil und der Balken schlie- ßen stets einen Winkel von 45^oein (sie- he Abbildung). Der Schwerpunkt der Last liege stets genau unterhalb des Kranhakens. Die Massem_Sder Stämme sei 200 kg, die MassemH der Hebevor- richtung sei 50 kg.

(a) Wie groß ist die Kraft F im ver- tikalen Seil?

(b) Bestimmen Sie die Vektoren r_EC und r_ED. Hinweis: Der letztge- nannte Buchstabe ist der Punkt, zu dem der Vektor zeigt, d.h.

r_EC =r_C−r_E.

a b

c c g

45^o

A B

C D

E e_x

e_y

F

1 2

(c) Fertigen Sie eine Freischnittskizze des Hakens an. Wie lauten die Gleichgewichtsbedin- gungen? Geben Sie die Kräfte in den Seilen in vektorieller Form an.

7. Am Gelenk eines Festlagers greifen die Kräfte F₁ und F₂ an. Die Wirkungsrichtungen der Kräfte sind durch die Winkel α bzw. β beschrieben (siehe Skizze). Der Gelenk- durchmesser ist als klein anzunehmen.

(a) Geben Sie die Kräfte in der dargestellten Basis an.

(b) Wie groß ist die resultierende Kraft? Geben Sie Be- trag und Richtung an.

(c) Schneiden Sie das Gelenk des Festlagers frei und be- rechnen Sie die Kraft, die das Lager überträgt.

(d) Gehen Sie nun von folgenden Zahlenwerten aus:

F₁ = 2,5 kN, F₂ = 2,0 kN, β = 30^◦. In welcher Richtung α muss die Kraft F₁ am Gelenk angrei- fen, damit das Lager nur eine axiale Kraft (Kraft in y-Richtung) überträgt?

e_y e_x F₁

F₂ α

β

8. Aus den drei gewichtslosen Stäben 1, 2, 3 der Längelwird ein Gelenkviereck gebildet. Die Ge- lenke sind reibungsfrei. An den GelenkenC und Dhängen die Gewichte G₁ und G₂.

Durch eine im PunktDangreifende Kraft P mit horizontaler Wirkungslinie soll erreicht werden, dass die Stäbe I und II um den Winkelα gegen die Vertikale geneigt sind.

Man berechne die KraftP und die Kräfte in den drei Stäben.

A B

C

D P

3 1 2

α

G₁ G₂

Geg.:α= 45^◦,l = 1 m, G= 100 N, G₁ =G,G₂= 2G 9. Das Gewicht G₁ ist an einem Ring be-

festigt, der durch zwei Seile (undehn- bar, gewichtslos) gehalten wird. Das ei- ne Seil ist an der Spitze des Dreibeins I befestigt, das andere Seil ist über eine Rolle (Radius vernachlässigbar klein) an der Spitze des Dreibeins II geführt und durch das Gewicht G₂ = G bela- stet.

(a) Wie groß ist der Winkel β?

(b) Wie groß muß das Gewicht G₁ sein, damit α= 45^◦ ist?

a a

a a a

a

a 2 a 2

√3a

G₁

G₂ g

1

2 3

4

5

6

I II

α β

Ring

Rolle

z y

x (c) Wie groß sind die Stabkräfte in den Stäben 1-6?

Geg.:G2 =G,a,α= 45^◦

10. Die unteren Zylinder haben die Massemund den Radiusr. Der obere Zylinder hat die Masse M und den RadiusR. Die Klötze mit der Höheh seien fest mit dem Untergrund verbunden und es gelteh < r.

(a) Drücken Sie die Winkel α und β durch gegebene Größen aus.

(b) Machen Sie alle in der skizzierten Anord- nung auftretenden Kontaktkräfte durch Freischnitte sichtbar und berechnen Sie die Kontaktkräfte. Alle Kontakte seien glatt. Die Winkelαundβsind dabei aus dem 1. Teil bekannt. Die Ausdrücke da- für müssen nicht eingesetzt werden.

Geg.:m,M,r,R,g,h,a.

M g

m m

R

r r

β α

h h

a

11. Ein Klapptisch besteht aus der Platte 1 (GewichtG₁, Schwerpunkt S₁), den Bei- nen 2 und 3 (Gewichte G2 = G3 = G, Schwerpunkte im Gelenk A) sowie der massenlosen Stange 4.

Berechnen Sie die Kraft in der Stange 4 unter Vernachlässigung der Reibung!

Geg.:G₁,G,l,ϕ

A g

S₁ ϕ

1 4l

1 4l

1 2l 1

2

3 4

12. Wie groß ist das Moment der Kraft F be- züglich des Punktes B? Berechnen Sie so- wohl vektoriell M^(B) (Kreuzprodukt) als auch skalar den Wert des Drehmoments (mit „Kraft mal Hebelarm“).

Geg.:a,F

F e_x e_y

e_z

A

B a a a a 13. Das dargestellte räumliche Tragwerk ist im

Punkt A gelagert (feste Einspannung) und wird im Punkt D durch die Last F belastet.

Die Balkenabschnitte AB und CD verlaufen parallel zury-Achse. Der Abschnitt BC ist ein Halbkreisbogen parallel zurx,z-Ebene.

(a) Geben Sie die Vektorenr_AD,r_AC,r_ABan.

Hinweis: Der zweitgenannte Buchstabe ist der Punkt, zu dem der Vektor zeigt, d.h.

r_AD =r_D−r_A.

R 3R

2R A F

B C

D e_x

e_y e_z

(b) Geben Sie die vektorielle Darstellung der äußeren Kraft in der eingezeichneten Basis an.

(c) Berechnen Sie das Kreuzprodukt r_AD×F. Welche physikalische Bedeutung hat die so berechnete Größe?

Geg.:R,F

14. Ein einfacher Lastenaufzug gemäß der Skizze trage eine Last G= 1 kN. Der Aufzug besteht aus den Stäben 1 und 2, einer Rolle mit dem Radius r und einem Seil. Die Gewichte der Rolle, der Stäbe und des Seils sollen vernachlässigt werden.

(a) Bestimmen Sie die Vektoren r_EA,r_EB und r_EC. Hinweis: Der erste Buchstabe ist der Punkt, an dem der Vektor beginnt, der zweite Buchstabe, jener, zu dem der Vektor zeigt.

(b) Wie groß ist der Betrag der Seilkraft?

(c) Fertigen Sie eine Freischnittskizze der Rolle an.

Geben Sie die Kräfte, die das Seil auf die Rol- le ausübt, in vektorieller Form an. Nehmen Sie dabei r≪l an.

(d) Wie groß sind die Stabkräfte in den Stäben 1 und 2?

(e) Kann man notfalls einen Stab durch ein Seil er- setzen?

(f) Wie groß sind die Auflagerreaktionen in B?

Geg.:l,G,r

A

B C

E

G 2

1 l

l

l

2r e_x e_z

15. Für den unter Wirkung äußerer Kräfte stehenden Hebel ist die Größe der Kraft F so zu bestimmen, dass Momentengleichgewicht herrscht. Zusätzlich sind die Lagerreaktionen zu bestimmen. Gehen Sie wie folgt vor:

(a) Schneiden Sie das System frei, und tragen Sie die Auflagerreaktionen ein.

(b) Geben Sie die Bedingung für das Momenten- gleichgewicht um A an und bestimmen Sie dar- aus F.

(c) Geben Sie die Bedingungen für das Kräftegleich- gewicht an, und bestimmen Sie daraus die La- gerreaktionen.

a a

A α

B C

D b

F F1

F₂

Geg.:F1 = 1 kN,F2 = 2 kN,a= 0,25 m, b= 1 m undα= 60^◦ 16. Für den Hebel ist die Position s so zu bestimmen, dass

statisches Gleichgewicht herrscht. Ferner sind die Auflager- reaktionen zu ermitteln.

Geg.:F = 20 kN,α= 30^◦,b= 1 m

F

F A

s

α b

17. Bei einem Kolbenkompressor wirke in der skizzierten Stellung auf die Kolbenfläche die GaskraftF_G. Wie groß ist das erforderliche AntriebsmomentMA, wenn die Rei- bungskräfte vernachlässigt werden können?

Geg.:FG,l,α

A M_A F_G

α l

18. Die abgebildete Kippvorrichtung dient zum Entladen von Waggons. Für einen gegebenen Waggon (Masse m, Radabstand 2a, Schwer- punkthöhe b, Pufferhöhe c) soll der maximal mögliche Kippwinkel bestimmt werden.

(a) Wie groß sind die Stützkräfte an den Rä- dern für einen gegebenen Winkelα?

(b) Bei welchem Winkel α_k kommt es zum Kippen des Waggons?

(c) Der Puffer C ist für eine maximale Kraft F_zul ausgelegt. Überprüfen Sie, ob die Pufferkraft für den unter (b) berechneten maximal möglichen Kippwinkel unter der zulässigen KraftFzul bleibt.

a a

b

c

A

C B

G

g

α

Geg.:a= 2,0 m, b= 1,6 m,c= 1,2 m,m= 25 t,g= 9,81 m s⁻²,Fzul= 250 kN 19. Am skizzierten Körper greift das räumliche Kraftsystem

F₁,F₂,F₃ an.

(a) Man bestimme die resultierende KraftR und ihren Betrag !

(b) Bestimmen Sie das Vektorprodukt zwischen dem Abstandsvektor der Resultierenden zum Ursprung und der resultierenden Kraft R! Was beschreibt dieses Vektorprodukt?

O

x

y z

F₁

F₂ F₃

P₁

P2

P3

Geg.:OP^−→1=





 a 0 0





,OP^−→2=





 0 2a

0





,OP^−→3=





 0 0 a





, F₁=F e_z,F₂=F e_x,F₃ =F e_y,a

20. Drei Studenten tragen eine 1,2 m mal 2,4 m große Holz- platte wie abgebildet (horizontal). Welche Kraft muss jeder einzelne Student aufbringen, um die 50 kg schwe- re Holzplatte zu halten? Es sei angenommen, daß die Holzplatte homogen ist.

1.2 Schwerpunkt

21. Es sind die Schwerpunktabstände xS undyS des neben- stehend skizzierten Blechteiles zu bestimmen. (Dicke d

= 3mm)

20 10 70

70 80

100 S

x_S yS

22. An welchem Punkt P in der (x, y)- Ebene muß ein Kran- haken angebracht werden, damit der skizzierte homoge- ne Körper in waagerechter Lage des Oberteils angehoben werden kann?

Geg.:a,s₁= ₁₀^a,s₂= ^2a₁₀,s₃ = ^4a₁₀

x y z

a a

a s₁

s₂ s3

P

23. Man bestimme mithilfe des Tabellenverfahrens die Koordinaten des Flächenmittelpunktesxs, y_s für die zwei skizzierten Querschnitte.

a)

a b

2a

x y

b)

ProfilT120:

Fläche:

A= 29,6 cm²

T120

120mm

120 mm

120mm

90 mm

8 mm

32,8mm S

x y

24. Man bestimme per Integration die Lage des Linien- schwerpunkts eines Kreisbogens und den Flächenschwer- punkt eines Kreissektors mit dem Öffnungswinkel α.

Man bestimme auch den Flächenmittelpunkt einer Halb- kreisfläche.

x x

y y

S R S R

25.

(a) Berechnen Sie den Flächeninhalt und die beiden Koordinaten des Flächenmittelpunkts der skizzier- ten Fläche bzgl. deseingezeichne- ten Koordinatensystems. Ver- wenden Sie dazu eine Tabelle.

(b) Geben Sie ohne neue Rechnung die Koordinaten des Flächenmittel- punkts der skizzierten Fläche an.

Geg.:a

a a a

a

2a

2a 4a

8a 8a

x x

y y

Skizze zu a) Skizze zu b)

26. Berechnen Sie die Koordinaten des Mittel- punkts der Fläche, die durch den Graphen der Parabel, diey-Achse und die Liniey=a begrenzt wird (s. Skizze).

(a) Stellen Sie die Funktionsgleichung der Parabel auf.

(b) Berechnen Sie alle notwendigen Inte- grale.

Geg.:a

x y

a a

27. Eine Walze (homogen, Masse m, Ra- dius r) liegt an einem Absatz (Hö- he ^r₂) einer schiefen Ebene (Win- kelα zur Horizontalen). Auf die Wal- ze stützt sich ein Körper (homogen, MasseM, Kantenlängen 2a). An dem Körper greift die Kraft F (ebenfalls Winkel α zur Horizontalen) an. Die gesamte Anordnung ist reibungsfrei.

Hinweis: Benutzen Sie das eingezeich- nete Koordintensystem.

A B

C

D

E a

a 2a 2a

F g

m

M

r

r/2

x y

α α

(a) Schneiden Sie Walze und Körper frei und zeichnen Sie alle angreifenden Kräfte ein.

(b) Berechnen Sie die Schnittkräfte in den Berührpunkten A, B und C.

(c) Ermitteln Sie den Schwerpunkt des Körpers. Welchen Wert a^∗ darfahöchstens anneh- men,

damit der Körper nicht nach links über die Walze kippt?

(d) Wie groß darf füra < a^∗ die Kraft F höchstens sein, damit die Walze in Punkt B nicht abhebt?

Geg.:M,m,g,F,a,r,α

28. Das skizzierte System, das sich im Schwerefeld der Erde befindet, besteht aus einer ebenen Scheibe, die mit drei Pendelstützen gelagert ist. Die Scheibe setzt sich aus zwei Teilen mit den Dichtenρ1 und ρ2 zusammen. Beide Teile haben die konstante Dicke t. Der Lagerungspunkt B kann so verändert werden, dass sich verschiedene Winkel 0^o< β <90^o einstellen lassen.

(a) Bestimmen Sie ρ₂ in Ab- hängigkeit von ρ1 so, dass sich der Schwerpunkt der Scheibe im Ursprung des in der Skizze eingetragenen Koordinatensystems befin- det.

(b) Bestimmen Sie die Kraft in der Pendelstütze BE als Funktion von β.

(c) Für welchen Winkelβkexi- stiert kein Gleichgewichts- zustand? Begründen Sie.

Geg.:g,t,s,l,ρ₁

A

B

C D

E

F l l

l

l

2s

3s β

ρ₁

ρ2

l

x y

g

x y

r 2α

Schwerpunkt des Kreisausschnittes:

x

=

29. Aus einer halbkreisförmigen Scheibe (Dicke t, Dichte ρ) ist ein rechteckiges Stück entfernt. Bei gegebenem r und a bestimme man b mithilfe des Tabellenverfahrens so, dass der Schwerpunkt S die eingezeichnete Lage annimmt.

Geg.:r,a= ^9π₆₄^2r a

b S r

30. Für die dargestellte Kreisscheibe, die in der oberen Hälf- te eine kreisförmige Aussparung besitzt, bestimme man mit Hilfe einer Tabelle das Verhältnis der Dichten ρi

derart, dass der Schwerpunkt im Mittelpunkt der Kreis- scheibe liegt. Der Mittelpunkt der Aussparung befindet sich im AbstandR/2 von der Mitte der Kreisscheibe.

Hinweis: Der Schwerpunkt einer Halbkreisfläche liegt bei ys= ^4R_3π, wobeiR den Radius bemisst.

Geg.:R,r

r

ρ₂

ρ₁ R

x y

1 2R

31. Nachdem sich am Tag der Vordiplomprüfung alle Studenten in den ihnen zugeteilten Sälen eingefunden haben, verliest der im Audimax Aufsicht führende Assistent die Hinweise zum Prüfungsablauf. Er erwähnt dabei, daß TM-Bücher als Hilfs- mittel nicht zugelassen seien, was 20% der Anwesenden, die die Hinweise am Aushang nicht vorher gelesen haben, in helle Aufregung versetzt.

Die unzulässigen TM-Bücher werden daraufhin eingesammelt und auf der Bühne gestapelt. Da eine solche Prüfung für die Aufsichten nicht gerade unterhaltsam ist, wendet sich der As- sistent dem Bücherstapel zu. Er versucht nun, alle Bücher so aufzustapeln, daß der Überhangsmöglichst groß wird. Dabei stellt er sich recht ungeschickt an, und der Stapel fällt immer wieder um. Da Sie mit Ihren Prüfungsaufgaben vor der Zeit fertig sind, beschließen Sie, ihm zu helfen.

Hinweis: Fangen Sie beim Stapeln oben an. Wann bleibt das oberste Buch gerade noch liegen?

(a) Wie groß ist der maximale Überhang smax, der mit 36 Büchern erreicht werden kann?

Betrachten Sie die Bücher als homogene Quader gleicher Dichte.

(b) Ist der Überhang für beliebig viele Bücher beschränkt?

(c) Die Dichte der Bücher sei jetzt verschieden (ρT M I < ρT M I I < ρT M I I I). Wie müssen die Bücher angeordnet werden, damit der Überhang maximal wird?

Geg.: h= 10 mm, 2b= 205 mm

Plotten Siesmax/b als Funktion vonn(= Anzahl der Bücher, 1≤n≤100) 32. Kurz vor der Wintersaison ist ein neuer Su-

perbob auf den Markt gebracht worden. Er wird vereinfacht durch die abgebildete ebe- ne Figur dargestellt. Bestimmen Sie für die angegebene Geometrie

(a) die Flächeninhalte Ai und die Koordinaten xSi, ySi, i = 1, . . . ,4 der Flächenschwer- punkte der vier ebenen Teilkörper bzgl. des vorgegebenenx, y–Koordinatensystems.

(b) für das Gesamtsystem die Koordinaten xS, yS des Flächenschwerpunkts bzgl. des vor- gegebenenx, y–Koordinatensystems.

1.3 Auflagerreaktionen

33. Für den mit einer trapezförmigen Streckenlast beauf- schlagten Balken sind die Auflagerreaktionen zu ermit- teln.

Geg.:qA,qB,l

l x z

A B

qA qB

q(x)

34. Berechnen Sie für den skizzierten Balken die Auflager- reaktionen. Die Streckenlast q(x) ist wie dargestellt co- sinusförmig.

Geg.:q₀,l

l x z q₀

q(x)

35. Das skizzierte Tragwerk besteht aus zwei gelenkig gelagerten Winkelträgern, die durch ein Gelenk miteinander verbunden sind. Das Tragwerk wird durch eine konstante Streckenlast und eine Einzelkraft belastet.

(a) Ist das System statisch bestimmt? Be- gründen Sie Ihre Antwort.

(b) Bestimmen Sie Betrag und Angriffspunkt der Resultierenden der Streckenlast mit Hilfe der integralen Zusammenhänge.

(c) Bestimmen Sie sämtliche Lagerreaktio- nen.

Geg.:F = 1 kN,q₀ = 0,3^kN_m,a= 2 m,b= 4 m a

a b

A B

F

x y q₀

36. In dem gezeigten, ebenen Tragwerk sind ein Balken und ein Winkel gelenkig im Punkt G miteinander verbunden. Während der Balken durch eine lineare Streckenlast und ein Einzel- momentM0 belastet wird, wirkt an der Ecke des Winkels eine Einzelkraft F.

(a) Prüfen Sie die notwendige Bedin- gung für die statische Bestimmtheit des Systems.

(b) Schneiden Sie das System frei und ermitteln Sie die Lagerreaktionen in den Punkten A und B und die Ge- lenkkräfte in G.

2

α e

e

x

z

ℓ

ℓ ℓ ℓ

A

B

M₀ G

F q₀

Geg.:M₀,F,q₀,ℓ,α= 30^◦

37. Ein LKW mit dem Gesamtgewicht G (Schwerpunkt S) steht in der gezeichne- ten Lage auf einer Brücke, die in der Mit- te (ZwischenlagerE) geteilt ist.

Bestimmen Sie alle Auflager- und Zwi- schenlagerreaktionen inA, B, C, D, E.

Geg.:a,G= 90 kN

A B

C D E

S

g a

2a 2a

2a

6a 6a

38. Das abgebildete System besteht aus einem Balken AC und einem Stab CD, die in den Punkten A, B und D gelenkig an die Umgebung gekoppelt sind und im Punkt C gelenkig miteinander verbunden sind. Der Balken AC ist durch eine lineare Streckenlast belastet.

(a) Ist das System statisch bestimmt?

Begründen Sie ihre Antwort.

(b) Bestimmen Sie den Betrag und die Wirkungslinie der Resultieren- den der Streckenlast.

(c) Bestimmen Sie sämtliche Auflager- reaktionen.

(d) Welcher Beanspruchung unterliegt der Stab CD?

Geg.:l,a,α,q₀

l l

A B C

D α

a q0

x y

39. Betrachtet wird der abgebildete Kran in einer Werkhalle. Der horizontale Träger ist rechts und links im Mauerwerk gelagert.

(a) Skizzieren Sie vier verschiedene Lagerungsmöglichkeiten und fertigen Sie für alle vier Varianten Freischnittskiz- zen an.

(b) Für welche Varianten kann man die Auf- lagerkräfte aus den Gleichgewichtsbedin- gungen berechnen? Wann spricht man von einem statisch bestimmten System?

Geg.:s

s

40. Eine homogene Scheibe (Masse m) ist wie ab- gebildet über zwei Pendelstützen und ein Los- lager gelagert.

(a) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen, d.h. die Kräfte in den Pendelstützen und die Kraft im Loslager C.

(b) Skizzieren Sie die Kraft im Lager C als Funktion der Längeb, wobei 0< b <2a.

Geg.:a,b,g,m,α= 30^◦

a 2a

A B

C

e_x e_y b

√3 3 a

g

α α

41. Der abgebildete starre Rahmen ist in A und B über Loslager und in C über eine Pendelstütze gelagert. Im Punkt E wird die Konstruktion durch eine EinzelkraftF belastet.

(a) Schneiden Sie den Rahmen frei.

Wieviele unbekannte Lagerreaktio- nen gibt es?

(b) Stellen Sie die Gleichgewichtsbedin- gungen auf.

(c) Zeigen Sie, dass die ZugkraftS in der Pendelstütze

S= 2F

cosα−sinα

beträgt. Bestimmen Sie zudem die Lagerkräfte in den Loslagern A und B.

(d) Skizzieren Sie den Verlauf der Kraft S in der Pendelstütze in Abhängig- keit vom Winkel α, wobei 0 < α <

90^◦.

A

B

C

D

E P

2l

2l l

l

l

α

e_x e_y

F

(e) Zeichnen Sie die Wirkungslinien der drei berechneten Auflagerreaktionen für α= 45^◦ in eine maßstabsgerechte Skizze der Konstruktion. Interpretieren Sie das Ergebnis.

Geg.:F,l, 0< α <90^◦

42. Das abgebildete Tragwerk soll so ausgelegt werden, daß die Sicher- heit gegen Versagen der Lager für die Belastung durch die Einzelkraft F möglichst groß ist. Die Hauptab- messungen des Tragwerks sind aus funktionalen Gründen bereits vor- gegeben. Lediglich die Position des Gelenks E, d. h. die Länge a, kann noch verändert werden. Die zulässi- gen Lagerkräfte sind für alle Lager gleich groß.

Bestimmen Sie die Längea, so dass die betragsmäßig maximalen Kräfte der Lager A, B, C, D möglichst klein werden.

Geg.:F,l

l

l

1 2l a

F

x

y A

B C

D

E

43. Ein in A, B und C gelagerter Gerberträger wird durch die konstante Streckenlast q₀ und eine Ein- zelkraftF = ³₂q₀lbelastet. Die Hauptabmessungen des Gerberträgers sind aus funktionalen Gründen bereits vorgegeben. Lediglich die Lage des Gelen- kes G (0< a < l) kann noch gewählt werden. Die zulässigen Lagerkräfte (betragsmäßig) seien für al- le Lager gleich groß.

A G B C

a

l l

q0

x z + F

(a) Berechnen Sie die Auflagerkräfte in Abhängigkeit vona.

(b) Bestimmen Sie nun (z.B. grafisch) die Länge a so, dass die Sicherheit gegen Versagen eines (beliebigen) Auflagers möglichst groß wird.

Hinweis:Zur betragsmäßigen Erfassung der Lagerkräfte sind auch die horizontalen Kom- ponenten entscheidend.

Geg.:q₀,l,F = ³₂q₀l

44. Das abgebildete Tragwerk wird durch eine konstante Streckenlastq₀ belastet.

Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Lagern A und C.

Geg.:a,b,q0

A

B

C

q₀

a 2a a a

b

e_x e_y

45. Es soll die abgebildete Entladestation näher untersucht werden. Die Stangen AD und BE haben die Längel und sind im Punkt C gelenkig miteinander verbunden. Das Gewicht der Stangen soll gegenüber dem Gewicht der Ladung und der Plattform (insgesamt Gewichtskraft G, Schwerpunkt S) vernachlässigt werden.

(a) Berechnen Sie die Gelenkkräfte in A und C sowie die Kraft im Hydrau- likzylinder DP in Abhängigkeit vom Winkel α.

(b) Wie groß ist die Absenkung ∆h, wenn in der oberen Lage α = 60^◦ und in der unteren Lage α = 30^◦ gilt? Zeigen Sie, dass für a= ¹₃lder Schwerpunkt S stets zwischen A und B liegt.

(c) Wie groß ist Lagerkraft im Gelenk C füra= ¹₃lund α= 30^◦? Werten Sie alle Winkelfunktionen aus und ge- ben Sie auch eine Näherung für die Lagerkraft an.

Geg.:l,a,G

a

α

∆h S

A B

C

E D P

46. Die abgebildete Konstruktion ist Teil einer Erdölförderanlage in einem Naturschutzgebiet in Alaska.

a

3a 2a

5a 6a

A B

C

D E

M

F S_B

S_B

SC

SW

α β

Untersucht wird die dargestellte Lage, bei der der Träger ABC horizontal ist. In diesem Fall ist die Kraft im Kabel gerade F. Welches Drehmoment M muss in diesem Fall durch den Motor aufgebracht werden, um die LastF gerade zu halten? Die Gewichte des oberen Trägers seien GC, GB mit den Schwerpunkten SC bzw. SB. Das Gegengewicht ist GW. Die Stange AD ist beidseitig gelenkig gelagert und ihr Gewicht ist vernachlässigbar.

Geg.:F = 1000 N,GC = 240 N, GB = 520 N, GW = 800 N, α= 30^o,β = 60^o,a= 0,3 m

47. Eine Seilwinde ist durch ein Festla- ger A und ein Loslager B gelagert.

Durch die an der Kurbel angreifende KraftP soll der Last G das Gleich- gewicht gehalten werden. Wie groß muß die Kraft P sein, und welche Kräfte wirken in der eingezeichneten Stellung in den Lagern?

Geg.:l,a,c,r,h,G,ϕ= 45^◦

y x

z z

P P

G h

r

c

A

B

a

l ϕ

48. Das dargestellte räumliche Tragwerk ist im Punkt A gelagert (feste Einspannung) und wird im Punkt D durch die LastFbelastet. Die Balkenabschnitte AB und CD verlaufen paral- lel zury-Achse. Der Abschnitt BC ist ein Halb- kreisbogen parallel zur x,z-Ebene. Berechnen Sie die Auflagerreaktionen im Punkt A.

Geg.:R,F R

3R

2R A F

B C

D x

y z

49. Ein in P gelenkig gelagerter Balken wird von zwei Seilen AC und BD gehalten und durch eine Kraft F im Punkt E belastet. Man berech- ne den Vektor der Auflagerkraft P im Lager P und die KräfteS₁ bzw.

S2 in den beiden Seilen.

Hinweis: Die Lager in A, B und P sind Festlager.

Geg.:l,F

l

l 2l

2l 2l 2l

A B

C

D

E P

x y

z

F

50. Das dargestellte räumliche System besteht aus zwei übereinander angeordneten, ebenen, horizonta- len Rahmen, welche durch die drei Stäbe 1, 2 und 3 verbunden sind. Der obere Rahmen ist im Punkt A fest eingespannt. Der untere Rahmen ist im Punkt B unverschieblich und frei drehbar gelagert. Das System wird durch eine vertikale Last F1 im Punkt C, eine horizontale LastF₂ im Punkt D und ein eingeprägtes MomentM₀ im unteren Rahmen belastet.

Bestimmen Sie

(a) die Stabkräfte in den Stäben 1, 2, 3, (b) die Auflagerreaktionen in A und B

F₁

F₂ a

a a

M₀

~e_x

~ey

~ez

1 2

3 A

B

C D

E H

Geg.:F₁,F₂,M₀,a

51. Eine schwere Dreiecksplatte mit dem Gewicht G (An- griffspunkt A) wird durch 6 Stäbe vernachlässigbarer Masse in waagerechter Lage gehalten. Bestimmen Sie die Stabkräfte infolge des Eigengewichts der Platte.

Geg.:G,a

52. Auf der in den Punkten A, B und C jeweils zweiwertig gestützten Plattform wird im Punkt D ein Loch gebohrt und dabei die Kraft F0 und das Moment M0 erzeugt.

Man berechne die Auflagerreaktionen.

Geg.:L,F₀,M₀

L L

L L

L A

B C

D

x y z

F₀ M0

1.4 Stabwerke

53. Das aus einem Starrkörper, einer Fachwerk- scheibe (Stäbe 1 bis 7) und dem Stab 8 be- stehende System ist in den Punkten A und B statisch bestimmt gelagert. Ein im Punkt D befestigtes Seil wird über reibungsfreie Umlenkrollen in E und F geführt und mit einer KraftP belastet. Zusätzlich wirkt im Punkt C die Kraft ¹₂P. Der Radius der Um- lenkrollen kann bei der Lösung vernachläs- sigt werden.

(a) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen des Systems.

a a

a

a

a a a

P

1 2P

A B

C D

E F

1 2 3 4

5 6 7

8

(b) Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben 4, 5 und 6 mit einem Ritterschen Schnitt. Geben Sie jeweils die Beansprungsart (Zug/Druck) an.

(c) Der Stab 8 wird aus dem System entfernt. Verändern Sie die Lagerung so, daß auch das neue System statisch bestimmt gelagert ist. Skizzieren Sie eine der möglichen Lösungen.

Begründen Sie Ihre Entscheidung durch den Nachweis der statischen Bestimmtheit.

Geg.:P,a

54. Die abgebildete Vorrichtung wird in einer Werkstatt benutzt, um schwe- re Komponenten (z.B. Motoren) zu bewegen. Strebe BD und Hydraulik- zylinder BF sind beidseitig gelenkig gelagert. Das Eigengewicht der Kon- struktion ist für die folgenden Be- rechnungen zu vernachlässigen. Die Masse des Motors seim.

(a) Berechnen Sie die Kraft F₁ im Hydraulikzylinder BF und die Kraft F₂ in der Strebe BD.

Geg.:a,b= 2a,m,g

a a

a

b

b

bb

A B

C D F E

G

H

55. Das abgebildete Fachwerk aus neun Stäben wird wie skizziert im Knoten II durch eine Einzelkraft F belastet.

(a) Überprüfen Sie, ob das skizzierte Fachwerk statisch bestimmt ist.

(b) Berechnen Sie die Stabkräfte Si (i = 1, ...,9). Geben Sie zu jedem Stab an, ob er auf Zug oder Druck belastet ist.

Geg.:l,F

00 00 11 11 00 00 11 11 0 0 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0

1 1 0 0 1 1

x y

(I) (II) (III)

(IV) (V)

(VI)

1

2 3

4 6 5

8 7

9 l

l l

l 2

F 56. Gegeben ist das skizzierte Tragwerk aus einem

fest eingespannten Balken und einem Fachwerk aus 13 Stäben. Es wird belastet durch das Ge- wicht G = 2q0a an einem über 2 Rollen ge- führten Seil (reibungsfrei). Der Balken wird zu- sätzlich durch eine nicht konstante Strecken- lastqz(x) belastet, deren Maximalwert mit q0

gegeben ist.

(a) Erkennen Sie Nullstäbe?

(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktion in A und B.

a a

a a

a

2a

r r

q₀ x

A z

B

G 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11

12 13

(c) Berechnen Sie die Stabkräfte in den Stäben 8, 9, 10. Handelt es sich um Zug- oder Druckstäbe?

Geg.:q₀,a,r,G= 2q0a

57. Ein ebens Fachwerk aus 15 gelenkig miteinander ver- bundenen Stäben wird mit vier Kräften belastet und wie gezeigt in den Punkten A und B gelagert.

(a) Ist das System statisch bestimmt?

(b) Identifizieren Sie offensichtliche Nullstäbe.

(c) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen in A und B.

(d) Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben 12, 13 und 14 mit Hilfe des Ritterschen Schnittes und ge- ben Sie an, ob die Stäbe auf Zug oder Druck bean- sprucht werden.

Geg.:F,l

A

B F

F F

√2F

l l

ll 2l 2

45^o

x z

+

1 1

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 12 13

14 15

58. Der Dachbinder einer Turnhalle soll als Fachwerkkonstruktion wie nebenste- hend skizziert ausgebildet werden. Be- rechnen Sie die Auflagerreaktionen und Stabkräfte. Nutzen Sie die Symmetrie.

Geg.:α,l,F

F F

3F

α α

α α

1 4l

1 4l

1 4l

1 4l

l 59. Ein Kranausleger soll mit dem ab-

gebildeten mechanischen System be- schrieben werden. Für die Dimen- sionierung müssen die Auflagerkräfte und Stabkräfte bestimmt werden.

(a) Überprüfen Sie die notwendi- ge Bedingung für statische Be- stimmtheit des Fachwerks.

(b) Bestimmen Sie die Lagerreak- tionen in A (Knoten VI) und B (Knoten IV).

A

B

1 2

3 4 5

6 7

8 9

I II III

IV V VI

~ex

~ey

~e_z

l

l

2 l

2 2l

F

(c) Ermitteln Sie nun die Stabkräfte in den Stäben 1 bis 9 mit Hilfe des Knotenschnittver- fahrens oder mit demRitterschnittverfahren.

Geg.:l,F

60. Das skizzierte, ebene, ideale Fachwerk dient als mechanisches Ersatzmodell für einen Kran, welcher eine Last mit dem Gewicht G (Gewichtskraft!) trägt. Das Tragseil ist am Knoten- punktAbefestigt und wird über drei reibungsfreie Umlenkrollen mit vernachlässigbar kleinem Radius geführt.

(a) Überprüfen Sie die notwendige Bedingung für die statische Be- stimmtheit des Fachwerks!

(b) Bestimmen Sie die Lagerreaktio- nen in den Punkten Aund B.

(c) Ermitteln Sie die Stabkräfte in den Stäben 3, 8 und 12 mit Hil- fe des Ritterschnittverfahrens und geben Sie die jeweiligeBean- spruchungsart an.

(d) Wie groß sind die Kräfte in den Stäben 1 und 4?

Geg.:l,G

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

A 21 B

l l

l l

l

l

l G

~ex

~ez

61. Gegeben ist der skizzierte Kranausleger. Am Tragseil hängt ein Gewicht der Masse M. Das masselose Tragseil wird über zwei masselose reibungsfreie Rollen (von zu vernachlässigendem Durchmesser) geführt.

(a) Bestimmen Sie die Auflager- reaktionen in A und B sowie die Seilkraft S.

(b) Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben 6, 7 und 9 und geben Sie an, ob die Stäbe auf Zug oder auf Druck be- ansprucht sind. (Werten Sie die trigonometrischen Funk- tionen aus und vereinfachen Sie das Endergebnis.)

Geg.:M,g,a,α= 30^◦

A

B

y x

M

a

a

2a

2a + α

g

1 2

3

4 5 6 7

8 9 10

62. Das gezeigte ideale Fachwerk besteht aus 17 gelenkig miteinander verbundenen Stäben. Es ist im PunktAdurch ein Festlager und im PunktB durch eine Pendelstütze gelagert. Im Knoten C ist ein undehnbares Seil befestigt, welches über reibungsfreie Umlenkrollen geführt wird und mit der GewichtskraftGbelastet ist. Der Radius der Umlenkrollen ist zu vernachlässigen.

(a) Prüfen Sie die notwendige und die hinreichende Bedingung für statische Bestimmtheit.

(b) Identifizieren Sie alle offensichtli- chen Nullstäbe.

(c) Bestimmen Sie die Auflagerreak- tionen in A und die Kraft in der Pendelstütze bei B.

(d) Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben 1, 2, 3 und 6 mit dem Knotenschnittverfahren. Geben Sie an, ob diese auf Zug oder Druck beansprucht werden.

(e) Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben 12, 13 und 14 mit dem Ritterschen Schnittverfahren.

Geg.:G,a,α= 45^◦

Pendelstütze

A

B

C

G a

a a a

a a

a a

α y x

1

2 3

4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14

15 16 17

1.5 Schnittlasten in Balken und Rahmen

63. Der skizzierte Balken ist links fest eingespannt und wird durch eine cosinusförmige Streckenlastq(x) belastet.

(a) Berechnen Sie den Verlauf der Schnittgrößen (Biegemo- ment, Querkraft, Normalkraft).

(b) Skizzieren Sie den Verlauf der Schnittgrößen unter An- gabe charakteristischer Werte.

(c) Wie groß ist das maximale Biegemoment?

Geg.:q₀,l

l x

z q₀

q(x)

64. Der skizzierte Balken ist in A und B gelenkig gelagert und wird durch eine lineare Streckenlast q(x) belastet.

Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der Schnittgrö- ßen (Biegemoment, Querkraft, Normalkraft) unter An- gabe charakteristischer Werte.

Geg.:q₁,q₂,l

l x z

A B

q₁ q2

q(x)

65. Das abgebildete System besteht aus einem Balken, der durch das FestlagerAund das LoslagerBan die Umgebung gekoppelt ist. Der Balken wird durch die lineare Streckenlastq(x) und die Kraft F belastet.

(a) Ist das System statisch bestimmt? Begründen Sie Ihre Antwort.

(b) Bestimmen Sie sämtliche Lagerreaktionen.

(c) Bestimmen Sie die SchnittgrößenM(x),Q(x), und N(x).

Geg.:l,F,q₀

q(x)

A B F

l q0

x z

66. Auf den skizzierten Balken wirkt ein Ein- zelmoment M₀ = 4q0l² und eine konstante Streckenlast q₀. Gesucht sind die Schnittla- stenverläufe. Gehen sie zu deten Berechnung wie folgt vor:

(a) Ist das System statisch bestimmt gela- gert? Begründen Sie Ihre Antwort.

(b) Bestimmen Sie alle Lagerreaktionen.

q₀

2l

2l 4l

x

M0

α

(c) Berechnen Sie die SchnittgrößenN(x),Q(x) undM(x) und skizzieren Sie diese qualitativ unter Angabe markanter Werte (Nullstellen, Extrema etc.).

Geg.:q₀,l,α,M₀ = 4q0l²

67. Die abgebildete Hebevorrichtung wird zum Umschlagen von Holzstämmen ver- wendet. Das Seil und der Balken schlie- ßen stets einen Winkel von 45^◦ein (siehe Abbildung). Der Schwerpunkt der Last liege stets genau unterhalb des Kranha- kens. Wo müssen die Befestigungen C und D vorgesehen werden (Längeb), da- mit die Last im Abschnitt CD kein Bie- gemoment hervorruft. Nehmen Sie an, daß die Masse m der Holzstämme 200 kg beträgt.

Geg.:m= 200 kg, a= 3 m, c= 0,2 m

a b

c c g

45^◦

A B

C D

E

68. Ein fest eingespannter Balken wird mit ein EinzellastF und einer linear ansteigenden Streckenlast mit dem Maximumq₀ belastet.

Bestimmen Sie die Schnittlasten

(a) mit Hilfe des Globalschnittverfahrens (elementare Frei- schnittmethode).

(b) mittels der Schnittlastendifferentialgleichungen.

Stellen Sie die Schnittlastenverläufe grafisch dar.

Geg.:q0,l,F =q0l

x

z

q0

F

l l

69. Der abgebildete Kran soll untersucht werden.

Die Länge des horizontalen Trägers AC und die Lage der Auflager A und B sind aus funktio- nalen Gründen bereits festgelegt. Die Höhe der Stütze AD soll nun so bemessen sein, daß das maximale Biegemoment in der Struktur mög- lichst klein ist.

Das undehnbare Seil wird über reibungsfreie Rollen mit vernachlässigbar kleinem Radius geführt. Für den Abstand der Lager gilta= ²₃l.

x y g h

a l

m

A B

C D

(a) Erläutern Sie kurz die notwendigen Berechnungsschritte.

(b) Berechnen Sie die Höhe der Stütze AD.

(c) Skizzieren Sie für diesen Fall den Verlauf des Biegemomentes im gesamten Kran unter Angabe charakteristischer Werte.

(d) Bis zu welchen Lasten kann der Kran zugelassen werden, wenn das maximal zulässige Biegemoment 5·10⁵ N m beträgt (Längel= 5 m).

70. Ein in A, B und C gelagerter Gerberträger wird durch die Streckenlastq belastet.

Bestimmen Sie die Lage des GelenkesG(Maßa) so, dass das maximal auftretende Biegemoment einen möglichst kleinen Wert annimmt.

Geg.:q,l

A B C

G a

l l

q

x

71. Die skizzierten Balken sind statisch bestimmt in den Punkten A, B und C gelagert. Sie wer- den im Bereich AB durch eine linear von Null auf q₀ ansteigende Streckenlast sowie im Be- reich BC durch eine entgegengesetzt gerich- tete konstante Streckenlastq₀ belastet.

A B C

3l 2l

q₀ q₀

x z

Die Verläufe von BiegemomentM(x) und QuerkraftQ(x) sollen in den folgenden Schritten bestimmt werden.

(a) Wie lauten (allgemein) die Differentialgleichungen, mit denen sich die gesuchten Schnitt- lastenQund M berechen lassen?

(b) Nehmen Sie eine Bereichseinteilung vor und stellen Sie die Funktion der Streckenlastqj

für alle Abschnittej auf.

(c) Geben Sie die Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur Berechnung der Schnittla- sten benötigt werden. Weist die Querkraft einen Knick oder Sprung an der Stellex= 3l auf? Begründen Sie.

(d) Bestimmen Sie nun die gesuchten Größen M(x) und Q(x) im Abschnitt BC und skiz- zieren Sie diese.

Geg.:q₀,l

72. Das skizzierte Tragwerk besteht aus 4 Bal- kenelementen. Dabei ist C ein Gelenk. B und D sind biegesteife Ecken. Das Trag- werk wird am ersten Balkenelement durch eine konstante Sreckenlast q₀ belastet.

(a) Begründen Sie, dass das skizzierte Tragwerk statisch bestimmt gelagert ist.

(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktio- nen und die Gelenkkräfte.

A

B

C D

E

l

l l

q₀

~e_x

~e_z

x1

z₁ z2 x₂

x₃ z₃

x₄ z₄ 60^◦

(c) Berechnen Sie die Normalkraft, die Querkraft und das Biegemoment für die Balkenle- mente 1 und 2.

(d) Skizzieren Sie die Schnittlastenverläufe aus dem vorherigen Aufgabenteil unter Angabe charakteristischer Werte.

Geg.:q0,l

73. Das skizzierte Rahmentragwerk wird mit einer Dreieck- streckenlast mit Maximalwertq₀ sowie einer Einzelkraft F belastet.

(a) Berechnen Sie die Normalkraft, die Querkraft sowie das Biegemoment für jeden Punkt des Rahmens.

(b) Skizzieren Sie die Schnittlastverläufe für F = q₀l unter Angabe charakteristischer Werte.

(c) Wie groß ist das maximale Biegemoment?

Geg.:F,q0,l

x z

l

l 2 l 2

F q₀

74. Ein Träger wird zwischen den Auflager- punkten A und B durch eine konstan- te Streckenlast q0 sowie im bereich l ≤ x ≤ 2l durch einen linerar veränderliche Streckenlast beansprucht.

(a) Berechnen Sie den Verlauf der Querkraft Q(x) und des Biegemo- nemts M(x) mit einem Verfah- ren Ihrer Wahl (Globalschnittver- fahren oder Schnittlastendifferenti- algleichung).

A B

z x q0

l l

(b) Bestimmen Sie das betragsmäßig größte Biegemoment.

(c) Skizzieren sie dein Verlauf der Querkraft Q(x) und des Biegemoments M(x) unter An- gabe charakteristischer Werte.

Geg.:l,q₀

75. (a) Berechnen Sie für das skizzierte ebene Tragwerk die Auflagerreaktionen und Stabkräfte.

(b) Bestimmen Sie nun die SchnittlastenM(x),Q(x) im Bereich 0< x <3l.

(c) Skizzieren Sie die Schnittgrößen.

x

l l

l l

3l 3l

2l/3 q₀

Geg.:q₀,l

76. Die abgebildete Vorrichtung wird in einer Werkstatt benutzt, um schwere Komponen- ten (z.B. Motoren) zu bewegen. Die Masse von Motor und Aufhängung (Kette, Haken) sei m_L. Der horizontale Träger ist homogen und hat eine MassemT = ₁₀¹ mL. Für die Ab- messungen giltb= 2a.

(a) Berechnen Sie die Schnittlasten im ho- rizontalen Träger EG.

(b) Wie groß ist das maximale Biegemo- ment? Nutzen Sie die untenstehenden Zahlenwerte.

Geg.: a = 1 m, b= 2a,mL = 150 kg, mT = 15 kg,g= 9,81 m s⁻²

a a

a

b

b

bb

A B

C D F E

G

H

77. Das skizzierte Tragwerk wird auf dem waagerechten Teil des gewinkelten Trägers durch eine konstante Streckenlast belastet.

(a) Begründen Sie die statische Bestimmtheit des skizzierten Tragwerkes.

(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen und die Gelenkkräfte.

A

B

C

aa

a

q₀ Gelenk

(c) Bestimmen und skizzieren Sie den Verlauf der Schnittgrößen (NormalkraftN(x), Quer- kraftQ(x) und Biegemoment M(x)) und geben Sie charakteristische Werte an.

Geg.:a,q0

78. Das skizzierte Tragwerk wird auf dem waagerechten Teil des gewinkelten Trägers durch eine quadratische Streckenlast q(x) belastet. Es sollen die Schnittlasten N(x), Q(x) und M(x) bestimmt werden.

(a) Führen Sie eine Bereichseinteilung durch und ge- ben Sie jeweils die Schnittlastdifferentialgleichun- gen an.

(b) Formulieren Sie die Rand- und Übergangsbedin- gungen.

(c) Berechen Sie die Schnittlasten.

Geg.:a,q₀,q(x) =−6_a^q02x²+ 6^q_a⁰x

A

B

aa

a

x

3 q(x)

2q₀ Gelenk

79. Das abgebildete Tragwerk wird durch eine konstante Streckenlastq₀ belastet.

(a) Berechnen Sie die Auflagerreaktio- nen in den Lagern A und C.

(b) Berechnen Sie nun das Biegemo- ment im (horizontalen) Abschnitt AD (0 ≤ x ≤ a) und skizzieren Sie das Ergebnis unter Angabe charak- teristischer Werte.

Geg.:a,b,q0

A

B D C

q0

a

a 2a a

b

e_x x

e_z

80. Ein kreisförmiger Träger (Radius R) ist in A durch ein Festlager und in B durch ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. In B greift eine horizontale KraftF an.

(a) Bestimmen Sie die Schnittlasten in dem ge- krümmten Träger für beliebige Winkel ϕ.

(b) Wie groß sind für ϕ = 45^◦ und für ϕ = 90^◦ die Normalkraft, Querkraft und das Biegemo-

ment? e_x

e_z

F ϕ

R

A B

Geg.:R,F

2 Elastostatik

2.1 Zug/Druck, Wärmedehnung

81. Ein Draht aus hochfestem Stahl (Länge l = 20 cm, E-Modul E = 210 GPa) wird durch Einwirkung einer KraftF = 10 kN um ∆l= 0,5 mm verlängert.

(a) Wie groß ist die Dehnung εin die Längsrichtung des Stabs?

(b) Berechnen Sie die Spannungσ im Draht.

(c) Welche QuerschnittsflächeAhat der Draht? Wie groß ist der Durchmesserddes Drahtes, wenn man einen kreisförmigen Querschnitt zu Grunde legt?

82. Ein Stab der Länge l = 10 cm mit kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser d = 2 cm) verlängert sich unter der Einwirkung einer LängskraftF = 5 kN um ∆l= 0,2 mm.

(a) Wie groß ist die Dehnung εdes Stabes?

(b) Welche Spannungσ herrscht im Stab?

(c) Kann der Stab aus Stahl sein?

83. Das abgebildete mechanische System besteht aus zwei Stäben (Längen:l₁ = 10 cm, l₂ = 8 cm, Durchmesser:

d₁ = 3 cm,d₂ = 2 cm, E-Modul:E₁ =E₂ = 210 GPa).

Am rechten Ende greift die KraftF = 20 kN an.

Wie groß ist die gesamte Längenänderung?

F

1 2

84. Das abgebildete mechanische System besteht aus zwei Stäben mit kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser d1 bzw. d2, E-Modul E1 bzw. E2, Temperaturausdehnungskoeffizient α1 bzw α₂), die zwischen zwei starren Platten angebracht sind. Die Stäbe wurden bei Raumtempe- ratur spannungsfrei eingefügt. Danach wurden die Stäbe um unterschiedliche Temperaturdif- ferenzen ∆T1 und ∆T2 erwärmt.

(a) Leiten Sie Gleichungen für die Spannungen in beiden Stä- ben als Funktion von ∆T1, ∆T2,α₁,α₂,E₁,E₂,l₁,l₂,d₁ und d2 her.

(b) Setzen Sie nun die folgenden Zahlenwerte ein:

l₁ = 30 cm,l₂ = 50 cm,d₁ = 10 cm,d₂ = 8 cm,

E1= 206 GPa,E2= 147 GPa, ∆T1= 20 K, ∆T2= 40 K, α₁ = 1,3·10⁻⁵K⁻¹,α₂= 0,6·10⁻⁵ K⁻¹

1 2

l₁ l₂

E₁α₁, d₁ E₂, α₂, d₂

85. Der starre Hebel BDE ist über zwei Stäbe AB und CD gestützt. Stab AB ist aus Aluminium (E-ModulE₁) und hat eine Querschnittsfläche A1. Stab CD ist aus Stahl (E-Modul E₂) und hat eine Querschnittsfläche A₂. Im Punkt E ist der Hebel durch eine EinzelkraftF belastet.

(a) Wie groß sind die Längenänderungen der Stäbe AB und CD?

(b) Bestimmen Sie die Absenkung des Punktes E un- ter der angegebenen Last.

l₂ l₁

l₂

1 2l₂

F A

B

C

D E

Geg.: F = 30 kN,l1 = 300 mm,l2 = 400 mm,E1 = 70 000 N mm⁻²,E2 = 200 000 N mm⁻², A₁ = 500 mm²,A₂= 600 mm²

86. Der starre Hebel AF ist über zwei Stäbe BC und DE gestützt. Beide Stäbe sind aus Stahl (E-Modul E = 200 kN mm⁻²) und haben eine rechteckige Querschnittsfläche (12 mm×6 mm). Im Punkt A ist der Hebel durch eine EinzelkraftF belastet.

(a) Ist der starre Hebel AF statisch bestimmt gelagert? Kann man die Kräfte in den Stä- ben BC und DE allein aus den Gleichge- wichtsbedingungen bestimmen?

(b) Wie groß sind die Kräfte in den Stäben?

a b

a

1 2a

1 2a A F

B C

D

E

F

(c) Bestimmen Sie die Auslenkung des Punktes A unter der angegebenen Last.

Geg.:F = 2,5 kN, a= 100 mm, b= 125 mm,E = 200 kN mm⁻²,A= 72 mm² 87. Der Architraph eines Daches mit dem Gewicht

G soll auf zwei Säulen aufgestellt werden. Es sind nur Säulen der LängssteifigkeitEAverfüg- bar und das Dach soll zu jeder Zeit waagerecht liegen. (Das heißt, die Säulen sollen sich unter der Dachlast gleichmäßig absenken.)

(a) Welches Längenverhältnis ^h_h¹₂ muß ge- wählt werden, damit der Architraph waa- gerecht steht?

(b) Wie groß ist der Winkel α zu wählen?

Geg.:EA,G,l

h₁

h₂

l α

g