Literatur Inhaltsverzeichnis Vorwort AufgabenkatalogzurStatikundelementarenFesitgkeitslehre

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Vorwort

Auf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog für die Veranstaltung ’Statik und elementare Festigkeitslehre’ abgedruckt, aus dem jede Woche Aufgaben für die Plenarübung, die Tutorien und das eigenständige Arbeiten ausgewählt werden. Lösungen zu den Tutoriums- und Hausaufgaben werden ungefähr eine Woche nach Bearbeitung veröffentlicht. Leider schleichen sich manchmal in die veröffentlichten Lösungen Fehler ein. Wir bemühen uns, diese möglichst zügig zu beseitigen.

Jeder Student, jede Studentin ist aber in erster Linie selbst verantwortlich. Darum sollte selbständig gerechnet werden. Wer gerne noch mehr Aufgaben (mit Musterlösungen) rechnen möchte, sei auf die breite Auswahl an Aufgabenbüchern verwiesen.

Die Aufgaben werden nicht notwendigerweise in der Reihenfolge des Katalogs abgearbeitet.

Der Katalog kann in den Tutorien k¨auflich erworben werden oder im Internet unter

www.reibungsphysik.deunter Studiuum und Lehre, WiSe 2010/11, Statik und elementare Festig- keitslehre, Studienmaterial heruntergeladen werden.

Bei Fragen zur Organisation bitte zuerst das Informationsblatt und die entsprechenden Internetsei- ten gr¨undlich durchlesen.

Inhaltsverzeichnis

0 Allgemeines 2

1 Statik starrer K¨orper 2

1.1 Zentrale und allgemeine Kr¨aftegruppe . . . 2

1.2 Schwerpunkt . . . 8

1.3 Auflagerreaktionen . . . 12

1.4 Stabwerke . . . 17

1.5 Schnittlasten in Balken und Rahmen . . . 21

2 Elastostatik 26 2.1 Zug/Druck, W¨armedehnung . . . 26

2.2 Torsion . . . 31

2.3 Biegung . . . 35

2.4 Hauptspannungsberechnung, Mohrscher Spannungskreis . . . 45

2.5 Stabilit¨at, Knickung . . . 48

Literatur

[1] Gross, Dietmar,Werner Hauger und Walter Schnell:Technische Mechanik, Band 1 Statik. Springer, 6. Auflage, 2004. (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammlung: 5Lh378.

[2] Gross, Dietmar,Werner Hauger,Walter SchnellundPeter Wriggers:Technische Mechanik, Band 4 Hydromechanik, Elemente der H¨oheren Mechanik, Numerische Methoden.

Springer, 2. Auflage, 1995. (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammlung: 5Lh381.

[3] Schnell, Walter, Dietmar Gross und Werner Hauger: Technische Mechanik, Band 2 Elastostatik. Springer, 6. Auflage, 1998. (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammlung: 5Lh379.

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0 Allgemeines

1. Geben Sie die gezeigten Verl¨aufe als Funktion vonx an.

0 0

0

x x a x

a

a ^a₂ ^a₂

q₀ q₀

q₀

q₁ q₁

q₁

f₁(x) f₂(x)

f₃(x)

linear quadratisch sinusf¨ormig

Geg.:a,q₀,q₁

2. Konjugieren Sie das Verb ’ableiten’.

1 Statik starrer K¨ orper

1.1 Zentrale und allgemeine Kr¨aftegruppe

3. An einer Halterung greifen die Kr¨afteF₁undF₂ an. Die Wirkungs- richtungen der Kraft sind durch den Winkelαbzw.β beschrieben (siehe Skizze).

(a) Geben Sie die Kr¨afte in der dargestellten Basis an.

(b) Wie groß ist die resultierende Kraft? Geben Sie Betrag und Richtung an.

(c) Zeichnen Sie eine Freischnittskizze und berechnen Sie die Kraft in der Einspannstelle.

e_y e_x F₁

F₂

α β

(d) Gehen Sie nun von folgenden Zahlenwerten aus: F1 = 2,5 kN, F2 = 2,0 kN, β = 30^◦. In welcher Richtung α muss die Kraft F₁ an der Halterung angreifen, damit an der Einspannstelle nur eine axiale Kraft (Kraft iny-Richtung) wirkt?

Geg.:α,β,F₁,F₂ Literatur: [1, S. 14-22]

4. Der skizzierte Haken ist durch die zwei Kr¨afte F₁ und F₂ belastet. Die Wirkungsrichtungen der Kr¨afte werden durch die Winkelα und β beschrieben.

Ersetzen Sie die zwei Kr¨afte durch eine resultierende KraftFres. Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung dieser resultieren Kraft rechnerisch und zeichnerisch.

Geg.:F₁ = 1,8 kN, F₂ = 2,6 kN, α= 15^◦,β= 55^◦

y

x F₁ F₂

α β

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5. Eine Kiste hängt an zwei Seilen. Die Seilkraft F₂ wird gemessen. Sie beträgt 5,0 kN. Die Richtung der Seilkräfte wird durch die Winkelα= 15^◦undβ = 20^◦beschrieben.

(a) Bestimmen Sie die Seilkraft F1. (b) Welche Masse hat die Kiste?

Geg.:α= 15^◦,β = 20^◦,F₂ = 5,0 kN,g= 9,81 m s⁻²

e_y e_x F₁ α β F₂

g

6. Die abgebildete Hebevorrichtung wird zum Umschlagen von Holzstämmen ver- wendet. Das Seil und der Balken schlie- ßen stets einen Winkel von 45ô ein (siehe Abbildung). Der Schwerpunkt der Last liege stets genau unterhalb des Kranhakens. Die MassemSder Stämme sei 200 kg, die MassemH der Hebevor- richtung sei 50 kg.

(a) Wie groß ist die Kraft F im ver- tikalen Seil?

(b) Bestimmen Sie die Vektoren r_CE und r_DE. Hinweis: Der erstgenannte Buchstabe ist der Punkt, zu dem der Vektor zeigt, d.h.

r_CE =r_C−r_E.

a b

c c g

45^o

A B

C D

E e_x

e_y

F

1 2

(c) Fertigen Sie eine Freischnittskizze des Hakens an. Wie lauten die Gleichgewichtsbedin- gungen? Geben Sie die Kr¨afte in den Seilen in vektorieller Form an.

Geg.:mS = 200 kg,mH = 50 kg,a,c,b,g Literatur: [1, S. 14-28]

7. Ein Ozeandampfer wird von drei Schleppern gezogen.

In den drei Seilen wirkt die gleiche ZugkraftF = 20 kN.

Die Wirkungsrichtungen der Kr¨afte werden durch die Winkelα = 15^◦,β = 10^◦ und γ = 20^◦ beschrieben.

Welche resultierende Zugkraft Fres wirkt auf den Oze- andampfer? In welche Richtung wirkt sie?

Geg.:F,α,β,γ

y

x F

F F α β

γ

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8. Ein einfacher Lastenaufzug gemäß der Skizze trage eine LastG= 1 kN. Der Aufzug besteht aus den Stäben 1 und 2, einer Rolle mit dem Radius r und einem Seil. Die Gewichte der Rolle, der Stäbe und des Seils sollen vernachlässigt werden.

(a) Bestimmen Sie die Vektoren r_AE,r_BE und r_CE. Hinweis: Der erstgenannte Buchstabe ist der Punkt, zu dem der Vektor zeigt, d.h. r_AE = r_A−r_E.

(b) Wie groß ist der Betrag der Seilkraft?

(c) Fertigen Sie eine Freischnittskizze der Rolle an.

Geben Sie die Kr¨afte, die das Seil auf die Rol- le aus¨ubt, in vektorieller Form an. Nehmen Sie dabei r≪l an.

(d) Wie groß sind die Stabkr¨afte in den St¨aben 1 und 2?

(e) Kann man notfalls einen Stab durch ein Seil ersetzen?

(f) Wie groß sind die Auflagerreaktionen in B?

Geg.:l,G,r

A

B C

E

G 2

1 l

l

2r e_x e_z

9. Das Gewicht G₁ ist an einem Ring befestigt, der durch zwei Seile (undehn- bar, gewichtslos) gehalten wird. Das eine Seil ist an der Spitze des Dreibeins I befestigt, das andere Seil ist über eine Rolle (Radius vernachlässigbar klein) an der Spitze des Dreibeins II geführt und durch das Gewicht G₂ = G belastet.

(a) Wie groß ist der Winkel β?

(b) Wie groß muß das Gewicht G₁ sein, damit α= 45^◦ ist?

(c) Wie groß sind die Stabkr¨afte in den St¨aben 1-6?

Geg.:G2 =G,a,α= 45^◦

a a

a a a

a

a 2 a 2

√3a

G₁

G₂ g

1 2

3 4

5

6

I II

α β

Ring

Rolle

z y

x

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10. Die unteren Zylinder haben die Massemund den Radiusr. Der obere Zylinder hat die Masse M und den RadiusR. Die Kl¨otze mit der H¨oheh seien fest mit dem Untergrund verbunden und es gelte h < r.

(a) Dr¨ucken Sie die Winkel α und β durch gegebene Gr¨oßen aus.

(b) Machen Sie alle in der skizzierten Anord- nung auftretenden Kontaktkräfte durch Freischnitte sichtbar und berechnen Sie die Kontaktkräfte. Alle Kontakte seien glatt. Die Winkel α und β sind dabei aus dem 1. Teil bekannt. Die Ausdrücke dafür müssen nicht eingesetzt werden.

Geg.:m,M,r,R,g,h, a.

M g

m m

R

r r

β α

h h

a 11. Aus den drei gewichtslosen St¨aben 1, 2, 3 der

L¨angel wird ein Gelenkviereck gebildet. Die Ge- lenke sind reibungsfrei. An den Gelenken C und Dh¨angen die Gewichte G₁ und G₂.

Durch eine im PunktDangreifende Kraft P mit horizontaler Wirkungslinie soll erreicht werden, dass die St¨abe I und II um den Winkel α gegen die Vertikale geneigt sind.

Man berechne die KraftP und die Kr¨afte in den drei St¨aben.

Geg.: α = 45^◦, l = 1 m, G= 100 N, G₁ = G, G₂ = 2G

A B

C

D P

3 2 α 1

G₁ G₂

Literatur: [1, S. 14-22]

12. Das dargestellte r¨aumliche Tragwerk ist im Punkt A gelagert (feste Einspannung) und wird im Punkt D durch die Last F belastet.

Die Balkenabschnitte AB und CD verlaufen parallel zury-Achse. Der Abschnitt BC ist ein Halbkreisbogen parallel zurx,z-Ebene.

(a) Geben Sie die Vektorenr_DA,r_CA,r_BAan.

Hinweis: Der erstgenannte Buchstabe ist der Punkt, zu dem der Vektor zeigt, d.h.

r_DA =r_D−r_A.

R 3R

2R A F

B C

D e_x

e_y e_z

(b) Geben Sie die vektorielle Darstellung der ¨außeren Kraft in der eingezeichneten Basis an.

(c) Berechnen Sie das Kreuzprodukt r_DA×F. Welche physikalische Bedeutung hat die so berechnete Gr¨oße?

Geg.:R,F

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13. Für den unter Wirkung äußerer Kräfte stehenden Hebel ist die Größe der Kraft Fso zu bestimmen, dass Momentengleichgewicht herrscht. Zusätzlich sind die Lagerreaktionen zu bestimmen. Gehen Sie wie folgt vor:

(a) Bestimmen Sie die Vektoren r_BA,r_CA undr_DA. Hinweis: Der erstgenannte Buchstabe ist der Punkt, zu dem der Vektor zeigt, d.h. r_BA = r_B−r_A.

(b) Geben Sie die eine vektorielle Darstellung der drei ¨außeren Kr¨afte an. Benutzen Sie die eingezeichnete Basis.

(c) Berechnen Sie die Kraftmomente der drei

äußeren Kräfte bezüglich des Punktes A.

a a

A α

B C

D b

F F₁

F₂ e_x

e_y e_z

(d) Wie groß muß die KraftF sein, damit das Moment bez¨uglich des Lagerungspunktes A zu Null wird.

(e) Fertigen Sie eine Freischnittskizze des Systems an. Wie kann man die Lagerkr¨afte in A berechnen?

Geg.:F₁ = 1 kN,F₂ = 2 kN,a= 0,25 m, b= 1 m undα= 30^◦ Literatur: [1, S. 33-44 u. 53-58]

14. Wie groß ist das Moment der Kraft F bez¨uglich des Punktes B? Berechnen Sie sowohl vektoriell M^(B) (Kreuzprodukt) als auch skalar den Wert des Drehmoments (mit

”Kraft mal Hebelarm“).

Geg.:a,F

F e_x e_y

e_z

A

B a a a a Literatur: [1, S. 53-57]

15. F¨ur den Hebel ist die Position s so zu bestimmen, dass statisches Gleichgewicht herrscht. Ferner sind die Auflager- reaktionen zu ermitteln.

Geg.: F = 20 kN, α= 30^◦,b= 1 m

F

F A

s

α b

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16. Die abgebildete Kippvorrichtung dient zum Entladen von Waggons. Für einen gegebenen Waggon (Masse m, Radabstand 2a, Schwer- punkthöhe b, Pufferhöhe c) soll der maximal mögliche Kippwinkel bestimmt werden.

(a) Wie groß sind die Stützkräfte an den Rädern für einen gegebenen Winkelα?

(b) Bei welchem Winkel αk kommt es zum Kippen des Waggons?

(c) Der Puffer C ist für eine maximale Kraft Fzul ausgelegt. Überprüfen Sie, ob die Pufferkraft für den unter (b) berechneten maximal möglichen Kippwinkel unter der zulässigen KraftFzul bleibt.

a a

b

c

A

C B

G

g

α

Geg.:a= 2,0 m, b= 1,6 m,c= 1,2 m, m= 25 t,g= 9,81 m s⁻²,Fzul= 250 kN 17. Ein Klapptisch besteht aus der Platte 1

(Gewicht G₁, Schwerpunkt S₁), den Bei- nen 2 und 3 (Gewichte G₂ = G₃ = G, Schwerpunkte im Gelenk A) sowie der massenlosen Stange 4.

Berechnen Sie die Kraft in der Stange 4 unter Vernachl¨assigung der Reibung!

Geg.:G₁,G,l, ϕ

A g

S1 ϕ

1 4l

1 2l 1

2

3 4

18. Bei einem Kolbenkompressor wirke in der skizzierten Stellung auf die Kolbenfläche die GaskraftFG. Wie groß ist das erforderliche AntriebsmomentMA, wenn die Rei- bungskräfte vernachlässigt werden können?

Geg.:F_G,l,α

A MA

FG

α l

19. Drei Studenten tragen eine 1,2 m mal 2,4 m große Holz- platte wie abgebildet (horizontal). Welche Kraft m¨ussen die Studenten aufbringen, um die 50 kg schwere Holz- platte zu halten? Es sei angenommen, daß die Holzplatte homogen ist.

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20. Ein Rahmen ist wie in der Skizze abgebildet gelagert.

(a) Schreiben Sie das Kr¨aftegleichgewicht (zwei skalare Gleichungen) und die Momenten- gleichgewichte um B und C (je eine skalare Gleichung) auf. Sind die Gleichungen linear unabh¨angig?

a b F

A B

C e_x

e_y

(b) Kann man alle vier Lagerreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen?

Diskutieren Sie das Ergebnis aus (a) im Hinblick auf die statische Bestimmtheit des Systems.

Geg.:F,a,b

1.2 Schwerpunkt

21. Es sind die Schwerpunktabst¨ande x_S undy_S des nebenstehend skizzierten Blechteiles zu bestimmen. (Dicke d

= 3mm)

20 10 70

70 80

S 100

xS

y_S

22. Man bestimme mithilfe des Tabellenverfahrens die Koordinaten des Fl¨achenmittelpunktesx_s, ys f¨ur die zwei skizzierten Querschnitte.

a)

a b

2a

x y

b)

Profil T120:

Fl¨ache:

A= 29,6 cm²

T120

120mm

120 mm

120mm

90 mm

8 mm

32,8mm S

x y

23. Man bestimme per Integration die Lage des Li- nienschwerpunkts eines Kreisbogens und den Flächenschwerpunkt eines Kreissektors mit dem Offnungswinkel¨ α. Man bestimme auch den Flächenmittelpunkt einer Halbkreisfläche.

x x

y y

S

S R R

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24.

(a) Berechnen Sie den Flächeninhalt und die beiden Koordinaten des Flächenmittelpunkts der skizzierten Fläche bzgl. deseingezeichne- ten Koordinatensystems. Ver- wenden Sie dazu eine Tabelle.

(b) Geben Sie ohne neue Rech- nung die Koordinaten des Fl¨achenmittelpunkts der skizzierten Fl¨ache an.

Geg.:a

a a a

a

2a 2a

4a 8a 8a

x x

y y

Skizze zu a) Skizze zu b)

25. Berechnen Sie die Koordinaten des Mittel- punkts der Fl¨ache, die durch den Graphen der Normalparabel, die y-Achse und die Li- niey=a² begrenzt wird (s. Skizze).

(a) Stellen Sie die Funktionsgleichung der Normalparabel auf.

(b) Berechnen Sie alle notwendigen Inte- grale.

Geg.:a

x y

a a²

26. Aus einer halbkreisf¨ormigen Scheibe (Dicke t, Dichte ρ) ist ein rechteckiges St¨uck entfernt. Bei gegebenem r und a bestimme man b mithilfe des Tabellenverfahrens so, dass der Schwerpunkt S die eingezeichnete Lage annimmt.

Geg.:r,a= ^9π₆₄²^r a

b S r

27. Für die dargestellte Kreisscheibe, die in der oberen Hälfte eine kreisförmige Aussparung besitzt. Bestimmen Sie mit Hilfe einer Tabelle das Verhältnis der Dichten ρi derart, dass der Schwer- punkt im Mittelpunkt der Kreisscheibe liegt. Der Mittelpunkt der Aussparung befindet sich im AbstandR/2 von der Mitte der Kreisscheibe.

Hinweis: Der Schwerpunkt einer Halbkreisfl¨ache liegt beiys = ^4R_3π, wobeiR den Radius bemißt.

Geg.:R,r

r

ρ₂

ρ1

R

x y

1 2R

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28. Das skizzierte System, das sich im Schwerefeld der Erde befindet, besteht aus einer ebenen Scheibe, die mit drei Pendelstützen gelagert ist. Die Scheibe setzt sich aus zwei Teilen mit den Dichtenρ₁ und ρ₂ zusammen. Beide Teile haben die konstante Dicket. Der Lagerungspunkt B kann so verändert werden, daß sich verschiedene Winkel 0ô< β <90ô einstellen lassen.

(a) Bestimmen Sie ρ₂ in Abh¨angigkeit von ρ₁ so, daß der Schwerpunkt der Scheibe im Ursprung des in der Skizze eingetrage- nen Koordinatensystems befindet.

(b) Bestimmen Sie die Kraft in der Pendelst¨utze BE als Funktion von β.

(c) F¨ur welchen Winkelβkexi- stiert kein Gleichgewichts- zustand? Begr¨unden Sie.

Geg.:g,t,s,l,ρ₁

A

B

C D

E

F l l

l

2s

3s β

ρ₁

ρ₂ l

x y

g

x y

r 2α

Schwerpunkt des Kreisausschnittes:

x

_S

=

^2r_3α^sin^α

29. Die abgebildete Rauchklappe (Masse m, Schwerpunkt S) ist im Punkt B drehbar gelagert. Sie soll bei einem Winkel θ= 30ô geöffnet bleiben. Berechnen Sie die dafür notwendige Steifigkeit k der Feder unter der Annahme, daß die Feder beiθ= 0ô entspannt ist.

Geg.:a,b,l,m,g,θ= 30^o

A A

B B

C

S S

l

a b

k θ

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30. Eine Walze (homogen, Masse m, Radius r) liegt an einem Absatz (Höhe ^r₂) einer schiefen Ebene (Win- kelα zur Horizontalen). Auf die Wal- ze stützt sich ein Körper (homogen, MasseM, Kantenlängen 2a). An dem Körper greift die Kraft F (ebenfalls Winkel α zur Horizontalen) an. Die gesamte Anordnung ist reibungsfrei.

Hinweis: Benutzen Sie das eingezeichnete Koordintensystem.

A B

C

D

E a

a 2a 2a

F g

m

M

r

r/2

x y

α α

(a) Schneiden Sie Walze und K¨orper frei und zeichnen Sie alle angreifenden Kr¨afte ein.

(b) Berechnen Sie die Schnittkr¨afte in den Ber¨uhrpunkten A, B und C.

(c) Ermitteln Sie den Schwerpunkt des K¨orpers. Welchen Wert a^∗ darfa h¨ochstens anneh- men,

damit der K¨orper nicht nach links ¨uber die Walze kippt?

(d) Wie groß darf f¨ura < a^∗ die Kraft F h¨ochstens sein, damit die Walze in Punkt B nicht abhebt?

Geg.:M,m,g,F,a,r,α

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1.3 Auflagerreaktionen

31. F¨ur den mit einer trapezf¨ormigen Streckenlast beauf- schlagten Balken sind die Auflagerreaktionen zu ermitteln.

Geg.:q_A,q_B,l

l x z

A B

q_A qB

q(x)

32. Berechnen Sie f¨ur den skizzierten Balken die Auflager- reaktionen. Die Streckenlast q(x) ist wie dargestellt cosinusf¨ormig.

Geg.:q₀,l

l x z q₀

q(x)

33. Betrachtet wird der abgebildete Kran in einer Werkhalle. Der horizontale Tr¨ager ist rechts und links im Mauerwerk gelagert.

(a) Skizzieren Sie vier verschiedene Lagerungsm¨oglichkeiten und fertigen Sie f¨ur alle vier Varianten Freischnittskiz- zen an.

(b) F¨ur welche Varianten kann man die Auf- lagerkr¨afte aus den Gleichgewichtsbedin- gungen berechnen? Wann spricht man von einem statisch bestimmten System?

Geg.:s

s

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34. Die abgebildete Konstruktion ist Teil einer Erd¨olf¨orderanlage in einem Naturschutzgebiet in Alaska.

g

a

3a 2a

5a 6a

A B

C

D E

M

F SB

SC

SW

α β

Untersucht wird die dargestellte Lage, bei der der Träger ABC horizontal ist. In diesem Fall ist die Kraft im Kabel gerade F. Welches Drehmoment M muss in diesem Fall durch den Motor aufgebracht werden, um die LastF gerade zu halten? Die Gewichte des oberen Trägers seien GC, GB mit den Schwerpunkten SC bzw. SB. Das Gegengewicht ist GW. Die Stange AD ist beidseitig gelenkig gelagert und ihr Gewicht ist vernachlässigbar.

Geg.:F = 1000 N, GC = 240 N, GB = 520 N, GW = 800 N, α= 30^o,β = 60^o,a= 0,3 m Literatur: [1, S. 88]

35. Ein LKW mit dem Gesamtgewicht G (Schwerpunkt S) steht in der gezeichne- ten Lage auf einer Br¨ucke, die in der Mit- te (ZwischenlagerE) geteilt ist.

Bestimmen Sie alle Auflager- und Zwi- schenlagerreaktionen inA, B, C, D, E. Geg.:a,G= 90 kN

A B

C D E

S

g a

2a 2a

2a

6a 6a

(14)

36. Das abgebildete System besteht aus einem Balken AC und einem Stab CD, die in den Punkten A, B und D gelenkig an die Umgebung gekoppelt sind und im Punkt C gelenkig miteinander verbunden sind. Der Balken AC ist durch eine lineare Streckenlast belastet.

(a) Ist das System statisch bestimmt?

Begr¨unden Sie ihre Antwort.

(b) Bestimmen Sie den Betrag und die Wirkungslinie der Resultieren- den der Streckenlast.

(c) Bestimmen Sie s¨amtliche Auflager- reaktionen.

(d) Welcher Beanspruchung unterliegt der Stab CD?

Geg.:l,a,α,q0

l l

A B C

D α

a q₀

x y

37. Das skizzierte Tragwerk besteht aus zwei gelenkig gelagerten Winkeltr¨agern, die durch ein Gelenk miteinander verbunden sind. Das Tragwerk wird durch eine konstante Streckenlast und eine Einzelkraft belastet.

(a) Ist das System statisch bestimmt? Be- gr¨unden Sie Ihre Antwort.

(b) Bestimmen Sie Betrag und Angriffspunkt der Resultierenden der Streckenlast mit Hilfe der integralen Zusammenh¨ange.

(c) Bestimmen Sie s¨amtliche Lagerreaktio- nen.

Geg.: F = 1 kN, q₀ = 0,3^kN_m, a = 2 m, b = 4 m

a

a b

A B

F

x y q₀

38. Eine homogene Scheibe (Masse m) ist wie abgebildet ¨uber zwei Pendelst¨utzen und ein Los- lager gelagert.

(a) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen, d.h. die Kr¨afte in den Pendelst¨utzen und die Kraft im Loslager C.

(b) Skizzieren Sie die Kraft im Lager C als Funktion der L¨angeb, wobei 0< b <2a.

Geg.:a,b,g,m,α= 30^◦

a 2a

A B

C

e_x e_y b

√3 3 a

g

α α

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39. Das abgebildete Tragwerk soll so ausgelegt werden, daß die Sicherheit gegen Versagen der Lager für die Belastung durch die Einzelkraft F möglichst groß ist. Die Hauptabmes- sungen des Tragwerks sind aus funk- tionalen Gründen bereits vorgege- ben. Lediglich die Position des Ge- lenks E, d. h. die Längea, kann noch verändert werden. Die zulässigen Lagerkräfte sind für alle Lager gleich groß.

Bestimmen Sie die Längea, so dass die betragsmäßig maximalen Kräfte der Lager A, B, C, D möglichst klein werden.

Geg.:F,l

l

1 2l a

F

x

y A

B C

D

E

40. Das abgebildete Tragwerk wird durch eine konstante Streckenlastq₀ belastet.

Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Lagern A und C.

Geg.:a,b,q₀

A

B

C

q₀

a 2a a a

b

e_x e_y

41. Ein in P gelenkig gelagerter Balken wird von zwei Seilen AC und BD gehalten und durch eine Kraft F im Punkt E belastet. Man berechne den Vektor der Auflagerkraft P im Lager P und die Kr¨afteS₁ bzw.

S₂ in den beiden Seilen.

Hinweis: Die Lager in A, B und P sind Festlager.

Geg.:l,F

l

l 2l

2l 2l 2l

A B

C

D

E P

x y

z

F

42. Das dargestellte r¨aumliche Tragwerk ist im Punkt A gelagert (feste Einspannung) und wird im Punkt D durch die LastFbelastet. Die Balkenabschnitte AB und CD verlaufen parallel zury-Achse. Der Abschnitt BC ist ein Halb- kreisbogen parallel zur x,z-Ebene. Berechnen Sie die Auflagerreaktionen im Punkt A.

Geg.:R,F R

3R

2R A F

B C

D x

y z

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43. Eine Seilwinde ist durch ein Festla- ger A und ein Loslager B gelagert.

Durch die an der Kurbel angreifende KraftP soll der Last Gdas Gleich- gewicht gehalten werden. Wie groß muß die Kraft P sein, und welche Kr¨afte wirken in der eingezeichneten Stellung in den Lagern?

Geg.:l,a,c,r,h,G, ϕ= 45^◦

y x

z z

P P

G h

r

c

A

B

a

l ϕ

44. Auf der in den Punkten A, B und C jeweils zweiwertig gest¨utzten Plattform wird im Punkt D ein Loch gebohrt und dabei die Kraft F0 und das Moment M0 erzeugt.

Man berechne die Auflagerreaktionen.

Geg.:L,F₀,M₀

L L

L A

B C

D

x y z

F₀ M₀

45. Der abgebildete starre Rahmen ist in A und B über Loslager und in C über eine Pendelstütze gelagert. Im Punkt E wird die Konstruktion durch eine EinzelkraftF belastet.

(a) Schneiden Sie den Rahmen frei.

Wieviele unbekannte Lagerreaktio- nen gibt es?

(b) Stellen Sie die Gleichgewichtsbedin- gungen auf.

(c) Zeigen Sie, dass die ZugkraftS in der Pendelst¨utze

S= 2F

cosα−sinα

betr¨agt. Bestimmen Sie zudem die Lagerkr¨afte in den Loslagern A und B.

(d) Skizzieren Sie den Verlauf der Kraft S in der Pendelst¨utze in Abh¨angigkeit vom Winkel α, wobei 0< α <90^◦.

A

B

C

D

E P

2l

2l l

l

α

e_x e_y

F

(e) Zeichnen Sie die Wirkungslinien der drei berechneten Auflagerreaktionen f¨urα= 45^◦ in eine maßstabsgerechte Skizze der Konstruktion. Interpretieren Sie das Ergebnis.

Geg.:F,l, 0< α <90^◦

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1.4 Stabwerke

46. Die abgebildete Vorrichtung wird in einer Werkstatt benutzt, um schwere Komponenten (z.B. Motoren) zu bewegen. Strebe BD und Hydraulik- zylinder BF sind beidseitig gelenkig gelagert. Das Eigengewicht der Kon- struktion ist f¨ur die folgenden Be- rechnungen zu vernachl¨assigen. Die Masse des Motors seim.

(a) Berechnen Sie die Kraft F₁ im Hydraulikzylinder BF und die Kraft F₂ in der Strebe BD.

Geg.:a,b= 2a,m,g

a a

a

b

bb

A B

C D F E

G

H

47. Das Tor einer Flugzeughalle wird mittels des abgebildeten Mechanismus langsam ge¨offnet bzw. geschlos- sen. Zwischen dem Rad in A und der Wand soll die Reibung vernachl¨assigt werden.

Unter der Annahme einer zweigliedrigen T¨ur (jeweils H¨oheh, Breitebund Masse m) soll die Kraft im Seil AB berechnet werden.

Geg.:h,b,m,g,ϕ g

ϕ

A

B

C

D

(18)

48. Das abgebildete Fachwerk aus neun St¨aben wird wie skizziert im Knoten II durch eine Einzelkraft F belastet.

(a) ¨Uberpr¨ufen Sie, ob das skizzierte Fachwerk statisch bestimmt ist.

(b) Berechnen Sie die Stabkr¨afte S_i (i = 1, ...,9). Geben Sie zu jedem Stab an, ob er auf Zug oder Druck belastet ist.

Geg.:l,F

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0

1 1 0 0 1 1

x y

(I) (II) (III)

(IV) (V)

(VI)

1

2 3

4 6 5

8 7

9 l

l l

l 2

F 49. Gegeben ist das skizzierte Tragwerk aus einem

fest eingespannten Balken und einem Fach- werk aus 13 Stäben. Es wird belastet durch das GewichtG= 2q₀aan einem über 2 Rollen geführten Seil (reibungsfrei). Der Balken wird zusätzlich durch eine nicht konstante Strecken- last qz(x) belastet, deren Maximalwert mit q₀ gegeben ist.

(a) Erkennen Sie Nullst¨abe?

(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktion in A und B.

a a

a

2a

r r

q₀ x

z A

B

G 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11

12 13

(c) Berechnen Sie die Stabkräfte in den Stäben 8, 9, 10. Handelt es sich um Zug- oder Druckstäbe?

Geg.:q₀,a,r,G= 2q₀a

50. Ein ebens Fachwerk aus 15 gelenkig miteinander ver- bundenen St¨aben wird mit vier Kr¨aften belastet und wie gezeigt in den Punkten A und B gelagert.

(a) Ist das System statisch bestimmt?

(b) Identifizieren Sie offensichtliche Nullst¨abe.

(c) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen in A und B.

(d) Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben 12, 13 und 14 mit Hilfe des Ritterschen Schnittes und geben Sie an, ob die Stäbe auf Zug oder Druck beansprucht werden.

Geg.:F,l

A

B F

F F

√2F

l l

ll 2l 2

45^o

x z

+

1 1

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 12 13

14 15

(19)

51. Das aus einem Starrkörper, einer Fachwerk- scheibe (Stäbe 1 bis 7) und dem Stab 8 bestehende System ist in den Punkten A und B statisch bestimmt gelagert. Ein im Punkt D befestigtes Seil wird über reibungsfreie Umlenkrollen in E und F geführt und mit einer KraftP belastet. Zusätzlich wirkt im Punkt C die Kraft ¹₂P. Der Radius der Umlenkrollen kann bei der Lösung ver- nachlässigt werden.

(a) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen des Systems.

a a

a

a a a

P

1 2P

A B

C D

E F

1 2 3 4

5 6 7

8

(b) Ermitteln Sie die Kr¨afte in den St¨aben 4, 5 und 6 mit einem Ritterschen Schnitt. Geben Sie jeweils die Beansprungsart (Zug/Druck) an.

(c) Der Stab 8 wird aus dem System entfernt. Verändern Sie die Lagerung so, daß auch das neue System statisch bestimmt gelagert ist. Skizzieren Sie eine der möglichen Lösungen.

Begr¨unden Sie Ihre Entscheidung durch den Nachweis der statischen Bestimmtheit.

Geg.:P,a

52. Der Dachbinder einer Turnhalle soll als Fachwerkkonstruktion wie nebenstehend skizziert ausgebildet werden. Berechnen Sie die Auflagerreaktionen und Stabkr¨afte. Nut- zen Sie die Symmetrie.

Geg.:α,l,F

F F

3F

α α

1 4l

l

(20)

53. Das skizzierte, ebene, ideale Fachwerk dient als mechanisches Ersatzmodell für eienen Kran, welcher eine Last mit dem Gewicht G (Gewichtskraft) trägt. Das Tragseil ist am Knoden- punktAbefestigt und wird über drei reibungsfreie Umlenkrollen mit vernachlässigbar kleinem Radius geführt.

(a) Überprüfen Sie die notwendige Bedingung für die statische Be- stimmtheit des Fachwerks.

(b) Bestimmen Sie die Lagerreaktio- nen in den Punkten Aund B.

(c) Ermitteln Sie die Stabkr¨afte in den St¨aben 3, 8 und 12 mit Hil- fe des Ritterschnittverfahrens und geben Sie die jeweilige Beanspru- chungsart an.

(d) Wie Groß sind die Kr¨afte in den St¨aben 1 und 4?

Geg.:σ₀, ³₄√

3≈1,3

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

A 21 B

l l

l

l G

~e_x

~ey

Hinweis: Alle Aufgabenteile sind unabh¨angig voneinander l¨osbar.

54. Gegeben ist der skizzierte Kranausleger. Am Tragseil hängt ein Gewicht der Masse M. Das masselose Tragseil wird über zwei masselose reibungsfreie Rollen (von zu vernachlässigendem Durchmesser) geführt.

(a) Bestimmen Sie die Auflager- reaktionen in A und B sowie die Seilkraft S.

(b) Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben 6, 7 und 9 und geben Sie an, ob die Stäbe auf Zug oder auf Druck beansprucht sind. (Werten Sie die trigonometrischen Funk- tionen aus und vereinfachen Sie das Endergebnis.)

Geg.:M,g, a,α= 30^◦

A

B

y x

M

a

2a

2a + α

g

1 2

3

4 5 6 7

8 9 10

(21)

55. Ein Kranausleger soll mit dem abgebildeten mechanischen System beschrieben werden. Für die Dimen- sionierung müssen die Auflagerkräfte und Stabkräfte bestimmt werden.

(a) Überprüfen Sie die notwendige Bedingung für statische Be- stimmtheit des Fachwerks.

(b) Bestimmen Sie die Lagerreak- tionen in A (Knoten VI) und B (Knoten IV).

A

B

1 2

3 4 5

6 7

8 9

I II III

IV V VI

~ex

~ey

~ez

l

l 2

l

2 2l

F

(c) Ermitteln Sie nun die Stabkr¨afte in den St¨aben 1 bis 9 mit Hilfe des Knotenschnittver- fahrens oder mit demRitterschnittverfahren.

Geg.:l,F

1.5 Schnittlasten in Balken und Rahmen 56. Das skizzierte Tragwerk besteht aus 4 Bal-

kenelementen. Dabei ist C ein Gelenk. B und D sind biegesteife Ecken. Das Trag- werk wird am ersten Balkenelement durch eine konstante Sreckenlast q0 belastet.

(a) Begr¨unden Sie, dass das skizzierte Tragwerk statisch bestimmt gelagert ist.

(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktio- nen und die Gelenkkr¨afte.

A

B

C D

E

l

l l

q₀

~ex

~ez

x₁

z₁ x2

z₂

x3

z₃

x₄ z4

60^◦

(c) Berechnen Sie die Normalkraft, die Querkraft und das Biegemoment f¨ur die Balkenle- mente 1 und 2.

(d) Skizzieren Sie die Schnittlastenverl¨aufe aus dem vorherigen Aufgabenteil unter Angabe charakteristischer Werte.

Geg.: q₀,l

(22)

57. (a) Berechnen Sie f¨ur das skizzierte ebene Tragwerk die Auflagerreaktionen und Stabkr¨afte.

(b) Bestimmen Sie nun die Schnittlasten M(x),Q(x) im Bereich 0< x <3l.

(c) Skizzieren Sie die Schnittgr¨oßen.

x

l l

3l 3l

2l/3 q₀

Geg.:q₀,l

Literatur: [1, S. 116-134]

58. Das skizzierte Rahmentragwerk wird mit einer Dreieck- streckenlast mit Maximalwertq₀sowie einer Einzelkraft F belastet.

(a) Berechnen Sie die Normalkraft, die Querkraft sowie das Biegemoment f¨ur jeden Punkt des Rahmens.

(b) Skizzieren Sie die Schnittlastverl¨aufe f¨ur F = q₀l unter Angabe charakteristischer Werte.

(c) Wie groß ist das maximale Biegemoment?

Geg.:F,q₀, l

x z

l

l 2 l 2

F q₀

59. Der skizzierte Balken ist links fest eingespannt und wird durch eine cosinusf¨ormige Streckenlastq(x) belastet.

(a) Berechnen Sie den Verlauf der Schnittgr¨oßen (Biegemo- ment, Querkraft, Normalkraft).

(b) Skizzieren Sie den Verlauf der Schnittgr¨oßen unter An- gabe charakteristischer Werte.

(c) Wie groß ist das maximale Biegemoment?

Geg.:q₀,l

l x

z q₀

q(x)

60. Der skizzierte Balken ist in A und B gelenkig gelagert und wird durch eine lineare Streckenlast q(x) belastet.

Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der Schnitt- gr¨oßen (Biegemoment, Querkraft, Normalkraft) unter Angabe charakteristischer Werte.

Geg.: q₁,q₂,l

l x z

A B

q₁ q2

q(x)

Literatur: [1, S. 116-129]

(23)

61. Die skizzierten Balken sind statisch bestimmt in den Punkten A, B und C gelagert. Sie werden im Bereich AB durch eine linear von Null auf q₀ ansteigende Streckenlast sowie im Be- reich BC durch eine entgegengesetzt gerich- tete konstante Streckenlastq₀ belastet.

A B C

3l 2l

q₀ q₀

x z

Die Verl¨aufe von BiegemomentM(x) und QuerkraftQ(x) sollen in den folgenden Schritten bestimmt werden.

(a) Wie lauten (allgemein) die Differentialgleichungen, mit denen sich die gesuchten Schnitt- lastenQund M berechen lassen?

(b) Nehmen Sie eine Bereichseinteilung vor und stellen Sie die Funktion der Streckenlastqj

f¨ur alle Abschnittej auf.

(c) Geben Sie die Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur Berechnung der Schnittla- sten benötigt werden. Weist die Querkraft einen Knick oder Sprung an der Stellex= 3l auf? Begründen Sie.

(d) Bestimmen Sie nun die gesuchten Gr¨oßen M(x) und Q(x) im Abschnitt BC und skizzieren Sie diese.

Geg.:q₀,l

62. Ein in A, B und C gelagerter Gerbertr¨ager wird durch die Streckenlastq belastet.

Bestimmen Sie die Lage des GelenkesG(Maßa) so, dass das maximal auftretende Biegemoment einen m¨oglichst kleinen Wert annimmt.

Geg.: q,l

A B C

G a

l l

q

x 63. Ein Tr¨ager wird zwischen den Auflager-

punkten A undB durch eine konstante Streckenlast q₀ sowie im bereich l ≤ x ≤ 2l durch einen linerar verabderliche Streckenlast beansprucht.

(a) Berechnen Sie den Verlauf der Querkraft Q(x) und des Biegemo- nemts M(x) mit einem Verfah- ren Ihrer Wahl (Globalschnittver- fahren oder Schnittlastendifferenti- algleichung).

A B

z x q0

l l

(b) Bestimmen Sie das betragsm¨aßig gr¨oßte Biegemoment.

(c) Skizzieren sie dein Verlauf der Querkraft Q(x) und des Biegemoments M(x) unter An- gabe charakteristischer Werte.

Geg.:l,q₀

(24)

64. Der abgebildete Kran soll untersucht werden.

Die Länge des horizontalen Trägers AC und die Lage der Auflager A und B sind aus funk- tionalen Gründen bereits festgelegt. Die Höhe der Stütze AD soll nun so bemessen sein, daß das maximale Biegemoment in der Struktur möglichst klein ist.

Das undehnbare Seil wird über reibungsfreie Rollen mit vernachlässigbar kleinem Radius geführt. Für den Abstand der Lager gilt a =

2 3l.

x y g h

a l

m

A B

C D

(a) Erl¨autern Sie kurz die notwendigen Berechnungsschritte.

(b) Berechnen Sie die H¨ohe der St¨utze AD.

(c) Skizzieren Sie f¨ur diesen Fall den Verlauf des Biegemomentes im gesamten Kran unter Angabe charakteristischer Werte.

(d) Bis zu welchen Lasten kann der Kran zugelassen werden, wenn das maximal zulässige Biegemoment 5·10⁵ N m beträgt (Längel= 5 m).

65. Auf den skizzierten Balken wirkt ein Ein- zelmoment M0 = 4q0l² und eine konstante Streckenlast q₀. Gesucht sind die Schnittla- stenverl¨aufe. Gehen sie zu deten Berechnung wie folgt vor:

(a) Ist das System statisch bestimmt gelagert? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

(b) Bestimmen Sie alle Lagerreaktionen.

q₀

2l

2l 4l

x

M₀

α

(c) Berechnen Sie die Schnittgr¨oßenN(x),Q(x) undM(x) und skizzieren Sie diese qualitativ unter Angabe markanter Werte (Nullstellen, Extrema etc.).

Geg.:q₀,l,α,M₀ = 4q₀l²

66. Der skizzierte Balken hat die konstante Massenbelegungm_x. Er wird durch sein Eigengewicht und eine zus¨atzliche Steckenlast q(x) wie skizziert belastet. Die Streckenlast sei sinusf¨ormig, ihr Maximum betrageq₀.

(a) Geben Sie die Schnittlastendifferentialgleichungen f¨ur dieses Problem an. Bestimmen Sie durch Integration deren allgemeine L¨osungen!

(b) Geben Sie die erforderlichen Randbedingungen an.

(c) Berechnen Sie alle Schnittlasten und skizzieren Sie die L¨osung!

00 00 11 11 00 00 11 11 00 00 11 11 00 00 11 11

0 1 0 0 1 0 1 0 1 1

g

l mx

q(x) x, u

z, w

Geg.:q₀,l,g,mx

(25)

67. Die abgebildete Vorrichtung wird in einer Werkstatt benutzt, um schwere Komponen- ten (z.B. Motoren) zu bewegen. Die Masse von Motor und Aufhängung (Kette, Haken) sei m_L. Der horizontale Träger ist homogen und hat eine Masse mT = ₁₀¹mL. Für die Abmessungen giltb= 2a.

(a) Berechnen Sie die Schnittlasten im horizontalen Tr¨ager EG.

(b) Wie groß ist das maximale Biegemo- ment? Nutzen Sie die untenstehenden Zahlenwerte.

Geg.: a= 1 m, b= 2a, mL = 150 kg, mT = 15 kg, g= 9,81 m s⁻²

a a

a

b

bb

A B

C D F E

G

H

68. Das skizzierte Tragwerk wird auf dem waagerechten Teil des gewinkelten Tr¨agers durch eine konstante Streckenlast belastet.

(a) Begr¨unden Sie die statische Bestimmtheit des skizzierten Tragwerkes.

(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen und die Gelenkkr¨afte.

A

B

C

aa

a

q₀ Gelenk

(c) Bestimmen und skizzieren Sie den Verlauf der Schnittgr¨oßen (Normalkraft Fn(x), Quer- kraftFqz(x) und Biegemoment Mb(x)) und geben Sie charakteristische Werte an.

Geg.: a,q0

69. Ein kreisf¨ormiger Tr¨ager (Radius R) ist in A durch ein Festlager und in B durch ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. In B greift eine horizontale KraftF an.

(a) Bestimmen Sie den Schnittkraftvektor in dem gekrümmten Träger für beliebige Winkel ϕ.

(b) Wie groß sind fürϕ= 45ô und fürϕ= 90ô die Normalkraft und die Querkraft?

(c) Bestimmen Sie nun den Schnittmomentenvek- tor in dem gekrümmten Träger für beliebige Winkel ϕ.

(d) Wie groß ist fürϕ= 45ô und fürϕ= 90ô das Biegemoment?

e_x e_z

F ϕ

R

A B

Geg.:R,F

(26)

2 Elastostatik

2.1 Zug/Druck, W¨armedehnung

70. Ein Draht aus hochfestem Stahl (L¨ange l = 20 cm, E-Modul E = 210 GPa) wird durch Einwirkung einer KraftF = 10 kN um ∆l= 0,5 mm verl¨angert.

(a) Wie groß ist die Dehnung εin die L¨angsrichtung des Stabs?

(b) Berechnen Sie die Spannungσ im Draht.

(c) Welche Querschnittsfl¨acheAhat der Draht? Wie groß ist der Durchmesserddes Drahtes, wenn man einen kreisf¨ormigen Querschnitt zu Grunde legt?

Literatur: [3]: Zug und Druck St¨aben, Abschnitt 1.1 bis 1.4

71. Ein Stab der Länge l = 10 cm mit kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser d = 2 cm) verlängert sich unter der Einwirkung einer Längskraft F = 5 kN um ∆l= 0,2 mm.

(a) Wie groß ist die Dehnung εdes Stabes?

(b) Welche Spannungσ herrscht im Stab?

(c) Kann der Stab aus Stahl sein?

72. Das abgebildete mechanische System besteht aus zwei St¨aben (L¨angen:l₁ = 10 cm, l₂ = 8 cm, Durchmesser:

d₁ = 3 cm,d₂ = 2 cm, E-Modul:E₁ =E₂ = 210 GPa).

Am rechten Ende greift die KraftF = 20 kN an.

Wie groß ist die gesamte L¨angen¨anderung?

F

1 2

Literatur: [3]: Zug und Druck Stäben, Abschnitt 1.1 bis 1.4 73. Der starre Hebel BDE ist über zwei Stäbe AB und CD

gestützt. Stab AB ist aus Aluminium (E-ModulE₁) und hat eine Querschnittsfläche A₁. Stab CD ist aus Stahl (E-Modul E2) und hat eine Querschnittsfläche A2. Im Punkt E ist der Hebel durch eine EinzelkraftFbelastet.

(a) Wie groß sind die Längenänderungen der Stäbe AB und CD?

(b) Bestimmen Sie die Absenkung des Punktes E unter der angegebenen Last.

l₂ l₁

l₂

1 2l₂

F A

B

C

D E

Geg.: F = 30 kN, l₁ = 300 mm,l₂ = 400 mm,E₁ = 70 000 N mm⁻²,E₂ = 200 000 N mm⁻², A1 = 500 mm²,A2= 600 mm²

Literatur: [3]: Statisch bestimmte Stabsysteme: Abschnitt 1.5, insb. Beispiel 1.5

(27)

74. Der starre Hebel AF ist über zwei Stäbe BC und DE gestützt. Beide Stäbe sind aus Stahl (E-Modul E = 200 kN mm⁻²) und haben eine rechteckige Querschnittsfläche (12 mm×6 mm). Im Punkt A ist der Hebel durch eine EinzelkraftF belastet.

(a) Ist der starre Hebel AF statisch bestimmt gelagert? Kann man die Kr¨afte in den St¨aben BC und DE nur aus den Gleichge- wichtsbedingungen bestimmen?

(b) Wie groß sind die Kr¨afte in den beiden St¨aben?

a b

a

1 2a

1 2a A F

B C

D

E

F

(c) Bestimmen Sie die Auslenkung des Punktes A unter der angegebenen Last.

Geg.:F = 2,5 kN, a= 100 mm, b= 125 mm, E = 200 kN mm⁻²,A= 72 mm² Literatur: [3]: Statisch unbestimmte Stabsysteme: Abschnitt 1.6, insb. Beispiel 1.7 75. Der Architraph eines Daches mit dem Ge-

wicht G soll auf zwei Säulen aufgestellt werden. Es sind nur Säulen der LängssteifigkeitEA verfügbar und das Dach soll zu jeder Zeit waagerecht liegen. (Das heißt, die Säulen sollen sich unter der Dachlast gleichmäßig absenken.)

(a) Welches Längenverhältnis ^h_h¹₂ muß gewählt werden, damit der Architraph waagerecht steht?

(b) Wie groß ist der Winkel α zu w¨ahlen?

Geg.:EA,G,l

h₁

h₂

l α

g

76. Das gezeigte ebene, symmetrische Dreibein besteht aus drei elastischen Stäben. Alle drei Stäbe haben den E- Modul E. Die Stäbe 1 und 3 haben die Querschnitts- fläche A, Stab 2 hat die Querschnittsfläche 2A.

Das Dreibein wird im oberen Gelenkpunkt, in dem alle St¨abe gelenkig verbunden sind, durch eine Kraft F belastet. Knicken der St¨abe sei ausgeschlossen. Die Ver- formungen sind sehr klein und rein elastisch.

~ex

~ey

l l

l

A

3 F

1 2

(a) Berechnen Sie die Stabkr¨afte S₁,S₂ undS₃. (b) Wie groß ist die Verschiebung~u_A des Punktes A?

Geg.:F,E,A,l

(28)

77. Eine KraftF soll mit einem Stabzweischlag im Abstandavom Punkt C gehalten werden. Beide Stäbe bestehen aus dem gleichen Werkstoff und haben jeweils eine konstante Querschnitts- fläche A. Die zulässige Spannung σ_zul ist bei Zug- und Druck- beanspruchung gleich.

(a) Wie groß muß der Winkel α < 90^◦ gewählt werden, damit möglichst wenig Material benötigt wird? Beachten Sie, daß in keinem der Stäbe die maximale Spannung

¨

uberschritten werden darf.

(b) Wie verschiebt sich der Punkt B in diesem Fall, wenn die Last F = ¹₂Aσ_zul wirkt?

Geg.:F,a,E,A,σzul

a α

F

A

B 2 C

1

78. Das skizzierte System aus vier elastischen Stäben wird im zentralen Knoten P mit der Last F in der angegebenen Richtung belastet. Alle Bauteile haben den ElastizitätsmodulE und einen quadra- tischen Querschnitt mit der Kantenlänge D. Die Längen sind der Skizze zu entnehmen.

Bestimmen Sie diex- undy-Komponenten der Ver- schiebung des Punktes P! Die Verschiebung soll klein und Knicken ausgeschlossen sein.

Geg.:a, b, c, d, D, F, α, E

x

a y b

c

d F

α

P 1

2 3

4

79. Das skizzierte System aus drei elastischen St¨aben wird im zentralen Knoten P mit der durch den VektorF~ =Fx~ex+Fy~ey gegebenen Kraft belastet. Die dadurch hervorgerufene Verschie- bung soll mit dem zu bestimmenden Vektor~ubeschrieben werden.

Alle Bauteile haben den ElastizitätsmodulE und die Querschnittsfläche A. Die Längen sind der Skizze zu entnehmen.

(a) Formulieren Sie die Gleichgewichtsbeziehung f¨ur den Knoten P.

(b) Ermitteln Sie die Längenänderung ∆lider drei Stäbe i ∈ {1,2,3} als Funktion der Verschie- bungskomponenten ux und uy.

(c) Geben Sie die Stabkr¨afte Si als Funktionen von u_x und u_y an.

(d) Bestimmten Sie die Komponenten des Ver- schiebungsvektors ~uP.

x

a y b

c d

F~

P 1

2

3

Geg.: a, b, c, d, A, E, Fx, Fy

Hinweis: Verwenden Sie die Abk¨urzung r:=√

a²+c².

(29)

80. Der skizzierte Balken sei starr, die St¨abe sollen die Feder- steifigkeitk₁ bzw.k₂haben und nicht ausknicken. Es sollen kleine Verformungen angenommen werden.

(a) Bestimme die Längenänderung ∆l1, ∆l₂ der Stäbe 1 und 2!

(b) Bestimme die Verschiebung uB des linken Lagers B und den Winkelϕ, um den sich der Balken unter der Belastung dreht!

Geg.:l,α,F,k₁,k₂

0 1 0 1 00 11 00 00 0 1

11 11 0 0 1 1 000 000 111 00 111

00 11 11 00 11 0 0 1 00 1 11 00 11 00 11 00 11

00 11 00 11 0 0 1 00 1 00 11 11 00 11 00 11 00 00 11 11

α

F k1

k₂

l l

1

2

B C A

81. Stab 1 der abgebildeten Konstruktion wird um ∆T erw¨armt.

Berechnen Sie die Komponenten ux und uy der Verschie- bung des Knotens P. (Beachten Sie die eingezeichnete Vek- torbasis.)

Geg.: b, ∆T, Querschnittsfl¨ache A = const, Elasti- zit¨atsmodulE, Temperaturausdehnungskoeffizient α

P

b

b b

1

2 3

e_x e_y

82. Das abgebildete mechanische System besteht aus zwei Stäben mit kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser d₁ bzw.d₂, E-Modul E₁ bzw. E₂, Temperaturausdehnungskoeffizient α₁ bzw α₂), die zwischen zwei starren Platten angebracht sind. Die Stäbe wurden bei Raumtempe- ratur spannungsfrei eingefügt. Danach wurden die Stäbe um unterschiedliche Temperaturdif- ferenzen ∆T1 und ∆T2 erwärmt.

(a) Leiten Sie Gleichungen f¨ur die Spannungen in beiden St¨aben als Funktion von ∆T1, ∆T₂, α₁, α₂, E₁, E₂, l₁, l₂,d₁ undd₂ her.

(b) Setzen Sie nun die folgenden Zahlenwerte ein:

l₁ = 30 cm,l₂ = 50 cm;

d₁ = 10 cm,d₂ = 8 cm;

E₁= 206 GPa, E₂ = 147 GPa;

α₁ = 1,3·10⁻⁵K⁻¹,α₂= 0,6·10⁻⁵ K⁻¹;

∆T1= 20 K, ∆T2 = 40 K.

1 2

l₁ l₂

E₁α₁, d₁ E₂, α₂, d₂

83. Die Endquerschnitte eines konischen Stabes sind durch zwei gleiche, anfangs ungespannte Federn mit der Federsteifigkeit cverbunden.

Wie verschiebt sich der rechte Endquerschnitt A, wenn der Stab (nicht die Federn) um ∆T erhitzt wird? Knickung sei ausgeschlossen.

Geg.:D,d,l,E,c,α_t, ∆T

D αt, E A l

d

x c

c starre Platte

(30)

84. Ein starrer Balken der Länge 4list durch ein festes Ge- lenklager in A und zwei Stäbe in B und C gestützt. Der Balken und die Stäbe sind als gewichtslos zu betrachten.

Im unbelasteten Zustand seien die St¨abe ungedehnt.

Die Stäbe haben die QuerschnittsflächenA₁ =A₂=A und die Längenl₁ =l,l₂ = 2l, E-Modul E.

Der Balken wird durch eine konstante Streckenlast q belastet. Der Stab 1 wird zudem um ∆T erwärmt. Der lineare Wärmeausdehnungskoeffizient für den Werkstoff des Stabes 1 istα.

x y

q A

B

C 1

2

2l 2l

(a) Berechnen Sie f¨ur diesen Fall die Stabkr¨afte S₁ und S₂ sowie die Lagerkraft in A.

(b) F¨ur welche Temperatur¨anderung ∆T^∗ wird die gesamte Belastung von Stab 1 getragen?

Geg.:q, ∆T,α,A,l,E 85.

d D1 D2

H₁ H₁ H₁

H₂ H₂

H₂

A A

A:

ll

Zur Verbindung der beiden HülsenringeH₁(E₁ = 2,1·10⁵ N/mm², D₁ = 40 mm) und H₂ (E₂ = 0,8·10⁵ N/mm², D₂ = 50 mm) wird ein Niet (E_N = 2,1·10⁵ N/mm²) bei einer Temperatur von T₀ = 520 K durch die Bohrung (d= 20 mm) geschlagen. Man berechne die Spannungen in den Hülsenringen H₁ und H₂ sowie im Schaft des Nietes nach Abkühlung aufT₁ = 290 K. (Annahme: die Nietköpfe sind starr, die Hülsen von Anfang an kalt: 290 K).

Geg.: αt= 12·10⁻⁶ 1/K

(31)

86. Der skizzierte Stab besteht in seinem rechten Teil 3 aus einem homogenen Werkstoff, in seinem linken Teil (1 und 2) aus einem symmetrisch aufgebauten Verbund-Körper. Zwischen den Teilen des Stabes befindet sich eine starre Platte. Der Stab liegt zunächst spannungsfrei zwischen zwei festen Widerlagern. Dann wird Teil 3 des Stabes um eine Temperatur ∆θ erwärmt.

A₁/2

A₁/2 A2

l₁ l₂

1 1

2 3

S: S

(a) Wie groß sind die Normalspannungen in den drei Querschnittsteilen?

(b) Wie groß ist die Verschiebung der starren Platte?

Geg.:l₁ = 4,00m, l₂= 3,50m A₁ = 300cm²,E₁ = 2·10⁴N/mm², A₂ = 100cm²,E₂ = 2·10⁵N/mm², A₃ = 700cm²,E₃ =E₁ = 2·10⁴N/mm², α_t3= 12·10⁻⁶1/K, ∆θ= 40K

2.2 Torsion

87. Wie groß ist die Torsionsfederkon- stante f¨ur die skizzierte Welle?

Geg.: d₁ = 2 cm, d₂ = 4 cm, a= 25 cm, b = 50 cm, e = 30 cm, G = 86

GPa a b e

d₁ d₂

88. Der vorl¨aufige Entwurf einer Welle zur Verbindung eines Motors mit einem Generator sieht eine Hohlwelle mit Innendurchmesserdi = 100 mm und Außendurchmesserda= 150 mm vor.

Die maximal zulässige Schubspannung beträgt τzul = 85 MPa. Welches maximale Drehmo- ment kann durch die Welle übertragen werden, wenn

(a) die Welle wie geplant gefertigt wird,

(b) eine Vollwelle gleicher Masse gefertigt wird,

(c) eine Hohlwelle gleicher Masse und Außendurchmesser da = 200 mm gefertigt wird?

d_i d_a

Literatur: [3]: Torsion kreiszylindrischer Wellen: Abschnitt 5.1

(32)

89. Die Enden einer abgesetzten Welle (Abschnitt 1: Durchmesser d₁, Abschnitt 2: Durchmesser d₂) sind in den Lagern A und B gegen Verdrehung festgehalten. Auf ein Zahnrad, das mit der Welle fest verbunden ist, wirkt ein Kr¨aftepaar, so daß auf die Welle das Torsionsmoment MT ¨ubertragen wird.

(a) Wie groß sind die in den Lagern A und B auf- zunehmenden Torsionsmomente?

(b) In welchem Wellenabschnitt tritt f¨ur den Fall a > b > cdie gr¨oßte Schubspannungτmax auf und wie groß ist sie?

(c) An welcher Stelle m¨ußte das Zahnrad auf dem Wellenabsatz 2 befestigt sein, damit der Ver- drehwinkel maximal wird?

Geg.:d₁,d₂,a,b,c,MT

A B

a b c

x

1 2

90. Eine Vollwelle aus Stahl (Durchmesserd) und eine Hohlwelle aus Aluminium (Außendurchmes- ser da, Wandstärke t) sind rechts fest eingespannt und links über eine starre Platte verbunden. Wie groß ist das maximal zulässige Dreh- moment, das auf die starre Scheibe aufgebracht werden kann, wenn die zulässigen Schubspan- nungen für die Stahlwelle τ_S = 120 MPa und für die AluminumwelleτA= 70 MPa betragen.

d di

da

starr l

Geg.: Vollwelle aus Stahl: d= 50 mm,G_S = 80 GPa, τ_S = 120 MPa, Hohlwelle aus Alumi- nium:t= 8 mm, da= 76 mm, GA= 27 GPa, , τA= 70 MPa

91. Dargestellt ist ein durch zwei ¨außere Drehmomente belasteter zusammengesetzter zylindri- scher Stab aus elastischem Material mit dem SchubmodulG.

a a

M d1 2M

starr

d2

Bestimmen Sieξ=d₁/d₂so, dass links und rechts der starren Scheibe betragsm¨aßig dieselben maximalen Spannungen auftreten.

(33)

92. Zwei Torsionswellen mit kreisförmigem Querschnitt, die aus dem gleichen Material gefertigt wurden, sind durch Zahnräder miteinander verbunden. Die Zahnräder sind so geformt, daß es nur zu Torsionsbeanspruchungen in den Wellen kommt. Die linke Welle 1 (Radiusr₁) wird mit dem Moment M₁ und die rechte Welle 2 (Radius r₂) mit dem Moment M₂ belastet.

A

B d₁

d₂ M1

M2

l₁

l₂ x₁

x2

Welle 1

Welle 2

(a) Berechnen Sie die Torsionswiderst¨ande f¨ur die beiden Wellen.

(b) Zeigen Sie, daß im statischen GleichgewichtM1 =−2M2 gilt.

(c) Bestimmen Sie die Länge l₂ der rechten Welle für den Fall, daß die Verdrehung der Wellenquerschnitte in den Punkten A und B dem Betrag nach gleich groß sind. Gehen Sie davon aus, daß sich die Zahnräder nicht verdrehen.

(d) In welchem der beiden Querschnitte ist die Schubspannung am gr¨oßten?

Geg.:r,r₁=r,r₂=√

2r,d,l₁= 20d, d₁ = 2d,d₂ =d 93. Dargestellt ist ein Stab mit rundem Querschnitt,

bei demanur unwesentlich gr¨oßer ist als b.

(a) Bestimmen Sie das polare Fl¨achentr¨agheits- moment Ip(x).

(b) Bestimmen Sie nun den Verdrehwinkel ϕ am rechten Ende des Stabes!

M G, l

2a y x 2b

z

Geg.:a,b,M,G,l

(34)

94. Dargestellt ist ein Stab, der durch ein Torsionsmoment MT beansprucht wird. Als Profile sollen (A) ein Vollkreisquerschnitt und (B) ein d¨unnwandig geschlossener Rohrquerschnitt mit denselben Abmessungen und dem gleichen Material betrachtet werden.

MT

l G, l

0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000

1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111

0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000

1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111

1111111111A B

2R 2R

t

(a) Um welchen Faktor ist das Profil (A) torsionssteifer als das Profil (B)?

(b) Berechnen Sie das Torsionsmoment MT,zul für die zwei Profile, so daß die zulässige Schubspannungτ_zul gerade nicht überschritten wird.

(c) Wie groß ist der Verdrehwinkelϕinfolge der Belastung durch das zul¨assige Torsionsmo- mentMT,zul?

(d) Stellen Sie die Schubspannungsverl¨aufe im Querschnitt f¨ur die zwei Profile unter Angabe charakteristischer Werte und der Richtung graphisch dar.

Geg.:MT,R= 10 cm,t= 2 mm,l= 2 m,G= 81000 N/mm², τzul= 80 N/mm² 95.

dm

t

Bei welchem Verhältnis α = ^d^m_t kann ein Kreisring als dünnwandiges geschlossenes Profil auf Torsion untersucht werden? Ingenieurmäßig wird i.As. ein relativer Fehler von 3%

akzeptiert.

Geg.: dm

(35)

2.3 Biegung

96. Ein Balkeb (L¨ange l, Biegesteifigkeit EI) ist wie skizziert gelagert und belastet. (Bei A gelenkig aber nicht verschieblich)

(a) Bestimmen Sie die Biegelinie mit Hilfe dee Biegeliniendifferentialgleichung.

(b) Bestimmen Sie die AuflagerkKraft im Ge- lenkA.

(c) An welcher Stelle tritt das maximal Bie- gemment auf?

Geg.:l,q₀ ,EI

A B

z, w x q₀

l EI

97. Der skizzierte Balken ist in A und B gelenkig gelagert und wird durch eine lineare Streckenlast q(x) belastet.

(a) Berechnen Sie die Biegelinie w(x).

(b) Erkl¨aren Sie, wie man die maximale Durchsenkung ˆ

w berechnen kann!

Geg.:q1,q2,l,EI

l x

z

A B

q₁ q₂

q(x)

98. Der skizzierte Balken ist links fest eingespannt und wird durch eine cosinusf¨ormige Streckenlastq(x) belastet.

(a) Berechnen Sie die Durchbiegung w(x) und skizzieren Sie den Verlauf.

(b) Wie groß ist die maximale Durchsenkung ˆw?

Geg.:q₀,l,EI

l x

z q₀

q(x)

99. Der abgebildete schlanke Balken (Biegesteifigkeit EI, Längel) ist links fest eingespannt und wird über die gesamte Länge durch eine konstante Streckenlastq₀belastet. Zudem greifen am rechten Ende eine EinzelkraftF und ein Moment M an. Zeigen Sie, daß für die Absenkung

ˆ

wund die Neigung ˆϕ des rechten Balkenendes gilt

ˆ

w= F l³

3EI + M l²

2EI + q0l⁴ 8EI , ˆ

ϕ= F l² 2EI + M l

EI + q0l³ 6EI . Geg.:q₀,F, M,l,EI

l x

z

q₀ F

M