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Bal-kenelementen. Dabei ist C ein Gelenk. B und D sind biegesteife Ecken. Das Trag-werk wird am ersten Balkenelement durch eine konstante Sreckenlast q0 belastet.

(a) Begr¨unden Sie, dass das skizzierte Tragwerk statisch bestimmt gelagert ist.

(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktio-nen und die Gelenkkr¨afte.

A

(c) Berechnen Sie die Normalkraft, die Querkraft und das Biegemoment f¨ur die Balkenle-mente 1 und 2.

(d) Skizzieren Sie die Schnittlastenverl¨aufe aus dem vorherigen Aufgabenteil unter Angabe charakteristischer Werte.

Geg.: q0,l

57. (a) Berechnen Sie f¨ur das skizzierte ebene Tragwerk die Auflagerreaktionen und Stabkr¨afte.

(b) Bestimmen Sie nun die Schnittlasten M(x),Q(x) im Bereich 0< x <3l.

(c) Skizzieren Sie die Schnittgr¨oßen.

x

l l

l l

3l 3l

2l/3 q0

Geg.:q0,l

Literatur: [1, S. 116-134]

58. Das skizzierte Rahmentragwerk wird mit einer Dreieck-streckenlast mit Maximalwertq0sowie einer Einzelkraft F belastet.

(a) Berechnen Sie die Normalkraft, die Querkraft sowie das Biegemoment f¨ur jeden Punkt des Rahmens.

(b) Skizzieren Sie die Schnittlastverl¨aufe f¨ur F = q0l unter Angabe charakteristischer Werte.

(c) Wie groß ist das maximale Biegemoment?

Geg.:F,q0, l

x z

l

l 2 l 2

F q0

59. Der skizzierte Balken ist links fest eingespannt und wird durch eine cosinusf¨ormige Streckenlastq(x) belastet.

(a) Berechnen Sie den Verlauf der Schnittgr¨oßen (Biegemo-ment, Querkraft, Normalkraft).

(b) Skizzieren Sie den Verlauf der Schnittgr¨oßen unter An-gabe charakteristischer Werte.

(c) Wie groß ist das maximale Biegemoment?

Geg.:q0,l

l x

z q0

q(x)

60. Der skizzierte Balken ist in A und B gelenkig gelagert und wird durch eine lineare Streckenlast q(x) belastet.

Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der Schnitt-gr¨oßen (Biegemoment, Querkraft, Normalkraft) unter Angabe charakteristischer Werte.

Geg.: q1,q2,l

l x z

A B

q1 q2

q(x)

Literatur: [1, S. 116-129]

61. Die skizzierten Balken sind statisch bestimmt in den Punkten A, B und C gelagert. Sie wer-den im Bereich AB durch eine linear von Null auf q0 ansteigende Streckenlast sowie im Be-reich BC durch eine entgegengesetzt gerich-tete konstante Streckenlastq0 belastet.

A B C

3l 2l

q0 q0

x z

Die Verl¨aufe von BiegemomentM(x) und QuerkraftQ(x) sollen in den folgenden Schritten bestimmt werden.

(a) Wie lauten (allgemein) die Differentialgleichungen, mit denen sich die gesuchten Schnitt-lastenQund M berechen lassen?

(b) Nehmen Sie eine Bereichseinteilung vor und stellen Sie die Funktion der Streckenlastqj

f¨ur alle Abschnittej auf.

(c) Geben Sie die Rand- und ¨Ubergangsbedingungen an, die zur Berechnung der Schnittla-sten ben¨otigt werden. Weist die Querkraft einen Knick oder Sprung an der Stellex= 3l auf? Begr¨unden Sie.

(d) Bestimmen Sie nun die gesuchten Gr¨oßen M(x) und Q(x) im Abschnitt BC und skiz-zieren Sie diese.

Geg.:q0,l

62. Ein in A, B und C gelagerter Gerbertr¨ager wird durch die Streckenlastq belastet.

Bestimmen Sie die Lage des GelenkesG(Maßa) so, dass das maximal auftretende Biegemoment einen m¨oglichst kleinen Wert annimmt.

Geg.: q,l

A B C

G a

l l

q

x 63. Ein Tr¨ager wird zwischen den

Auflager-punkten A undB durch eine konstan-te Streckenlast q0 sowie im bereich l ≤ x ≤ 2l durch einen linerar verabderliche Streckenlast beansprucht.

(a) Berechnen Sie den Verlauf der Querkraft Q(x) und des Biegemo-nemts M(x) mit einem Verfah-ren Ihrer Wahl (Globalschnittver-fahren oder Schnittlastendifferenti-algleichung).

A B

z x q0

l l

(b) Bestimmen Sie das betragsm¨aßig gr¨oßte Biegemoment.

(c) Skizzieren sie dein Verlauf der Querkraft Q(x) und des Biegemoments M(x) unter An-gabe charakteristischer Werte.

Geg.:l,q0

64. Der abgebildete Kran soll untersucht werden.

Die L¨ange des horizontalen Tr¨agers AC und die Lage der Auflager A und B sind aus funk-tionalen Gr¨unden bereits festgelegt. Die H¨ohe der St¨utze AD soll nun so bemessen sein, daß das maximale Biegemoment in der Struktur m¨oglichst klein ist.

Das undehnbare Seil wird ¨uber reibungsfreie Rollen mit vernachl¨assigbar kleinem Radius gef¨uhrt. F¨ur den Abstand der Lager gilt a =

2

(a) Erl¨autern Sie kurz die notwendigen Berechnungsschritte.

(b) Berechnen Sie die H¨ohe der St¨utze AD.

(c) Skizzieren Sie f¨ur diesen Fall den Verlauf des Biegemomentes im gesamten Kran unter Angabe charakteristischer Werte.

(d) Bis zu welchen Lasten kann der Kran zugelassen werden, wenn das maximal zul¨assige Biegemoment 5·105 N m betr¨agt (L¨angel= 5 m).

65. Auf den skizzierten Balken wirkt ein Ein-zelmoment M0 = 4q0l2 und eine konstante Streckenlast q0. Gesucht sind die Schnittla-stenverl¨aufe. Gehen sie zu deten Berechnung wie folgt vor:

(a) Ist das System statisch bestimmt gela-gert? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

(b) Bestimmen Sie alle Lagerreaktionen.

q0

(c) Berechnen Sie die Schnittgr¨oßenN(x),Q(x) undM(x) und skizzieren Sie diese qualitativ unter Angabe markanter Werte (Nullstellen, Extrema etc.).

Geg.:q0,l,α,M0 = 4q0l2

66. Der skizzierte Balken hat die konstante Massenbelegungmx. Er wird durch sein Eigengewicht und eine zus¨atzliche Steckenlast q(x) wie skizziert belastet. Die Streckenlast sei sinusf¨ormig, ihr Maximum betrageq0.

(a) Geben Sie die Schnittlastendifferentialgleichungen f¨ur dieses Problem an. Bestimmen Sie durch Integration deren allge-meine L¨osungen!

(b) Geben Sie die erforderlichen Randbedingungen an.

(c) Berechnen Sie alle Schnittlasten und skizzieren Sie die L¨osung!

67. Die abgebildete Vorrichtung wird in einer Werkstatt benutzt, um schwere Komponen-ten (z.B. Motoren) zu bewegen. Die Masse von Motor und Aufh¨angung (Kette, Haken) sei mL. Der horizontale Tr¨ager ist homogen und hat eine Masse mT = 101mL. F¨ur die Abmessungen giltb= 2a.

(a) Berechnen Sie die Schnittlasten im ho-rizontalen Tr¨ager EG.

(b) Wie groß ist das maximale Biegemo-ment? Nutzen Sie die untenstehenden Zahlenwerte.

Geg.: a= 1 m, b= 2a, mL = 150 kg, mT = 15 kg, g= 9,81 m s−2

a a

a

b

b

bb

A B

C D F E

G

H

Literatur: [1, S. 98-102]

68. Das skizzierte Tragwerk wird auf dem waagerechten Teil des gewinkelten Tr¨agers durch eine konstante Streckenlast belastet.

(a) Begr¨unden Sie die statische Bestimmtheit des skizzierten Tragwerkes.

(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen und die Gelenkkr¨afte.

A

B

C

aa

a

q0 Gelenk

(c) Bestimmen und skizzieren Sie den Verlauf der Schnittgr¨oßen (Normalkraft Fn(x), Quer-kraftFqz(x) und Biegemoment Mb(x)) und geben Sie charakteristische Werte an.

Geg.: a,q0

69. Ein kreisf¨ormiger Tr¨ager (Radius R) ist in A durch ein Festlager und in B durch ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. In B greift eine horizontale KraftF an.

(a) Bestimmen Sie den Schnittkraftvektor in dem gekr¨ummten Tr¨ager f¨ur beliebige Winkel ϕ.

(b) Wie groß sind f¨urϕ= 45o und f¨urϕ= 90o die Normalkraft und die Querkraft?

(c) Bestimmen Sie nun den Schnittmomentenvek-tor in dem gekr¨ummten Tr¨ager f¨ur beliebige Winkel ϕ.

(d) Wie groß ist f¨urϕ= 45o und f¨urϕ= 90o das Biegemoment?

ex ez

F ϕ

R

A B

Geg.:R,F

2 Elastostatik

2.1 Zug/Druck, W¨armedehnung

70. Ein Draht aus hochfestem Stahl (L¨ange l = 20 cm, E-Modul E = 210 GPa) wird durch Einwirkung einer KraftF = 10 kN um ∆l= 0,5 mm verl¨angert.

(a) Wie groß ist die Dehnung εin die L¨angsrichtung des Stabs?

(b) Berechnen Sie die Spannungσ im Draht.

(c) Welche Querschnittsfl¨acheAhat der Draht? Wie groß ist der Durchmesserddes Drahtes, wenn man einen kreisf¨ormigen Querschnitt zu Grunde legt?

Literatur: [3]: Zug und Druck St¨aben, Abschnitt 1.1 bis 1.4

71. Ein Stab der L¨ange l = 10 cm mit kreisf¨ormigem Querschnitt (Durchmesser d = 2 cm) verl¨angert sich unter der Einwirkung einer L¨angskraft F = 5 kN um ∆l= 0,2 mm.

(a) Wie groß ist die Dehnung εdes Stabes?

(b) Welche Spannungσ herrscht im Stab?

(c) Kann der Stab aus Stahl sein?

72. Das abgebildete mechanische System besteht aus zwei St¨aben (L¨angen:l1 = 10 cm, l2 = 8 cm, Durchmesser:

d1 = 3 cm,d2 = 2 cm, E-Modul:E1 =E2 = 210 GPa).

Am rechten Ende greift die KraftF = 20 kN an.

Wie groß ist die gesamte L¨angen¨anderung?

F

1 2

Literatur: [3]: Zug und Druck St¨aben, Abschnitt 1.1 bis 1.4 73. Der starre Hebel BDE ist ¨uber zwei St¨abe AB und CD

gest¨utzt. Stab AB ist aus Aluminium (E-ModulE1) und hat eine Querschnittsfl¨ache A1. Stab CD ist aus Stahl (E-Modul E2) und hat eine Querschnittsfl¨ache A2. Im Punkt E ist der Hebel durch eine EinzelkraftFbelastet.

(a) Wie groß sind die L¨angen¨anderungen der St¨abe AB und CD?

(b) Bestimmen Sie die Absenkung des Punktes E un-ter der angegebenen Last.

l2 l1

l2

1 2l2

F A

B

C

D E

Geg.: F = 30 kN, l1 = 300 mm,l2 = 400 mm,E1 = 70 000 N mm−2,E2 = 200 000 N mm−2, A1 = 500 mm2,A2= 600 mm2

Literatur: [3]: Statisch bestimmte Stabsysteme: Abschnitt 1.5, insb. Beispiel 1.5

74. Der starre Hebel AF ist ¨uber zwei St¨abe BC und DE gest¨utzt. Beide St¨abe sind aus Stahl (E-Modul E = 200 kN mm2) und haben eine rechteckige Querschnittsfl¨ache (12 mm×6 mm). Im Punkt A ist der Hebel durch eine EinzelkraftF belastet.

(a) Ist der starre Hebel AF statisch bestimmt gelagert? Kann man die Kr¨afte in den St¨aben BC und DE nur aus den Gleichge-wichtsbedingungen bestimmen?

(b) Wie groß sind die Kr¨afte in den beiden St¨aben?

a b

a

1 2a

1 2a A F

B C

D

E

F

(c) Bestimmen Sie die Auslenkung des Punktes A unter der angegebenen Last.

Geg.:F = 2,5 kN, a= 100 mm, b= 125 mm, E = 200 kN mm−2,A= 72 mm2 Literatur: [3]: Statisch unbestimmte Stabsysteme: Abschnitt 1.6, insb. Beispiel 1.7 75. Der Architraph eines Daches mit dem

Ge-wicht G soll auf zwei S¨aulen aufgestellt wer-den. Es sind nur S¨aulen der L¨angssteifigkeitEA verf¨ugbar und das Dach soll zu jeder Zeit waa-gerecht liegen. (Das heißt, die S¨aulen sollen sich unter der Dachlast gleichm¨aßig absenken.)

(a) Welches L¨angenverh¨altnis hh12 muß gew¨ahlt werden, damit der Architraph waagerecht steht?

(b) Wie groß ist der Winkel α zu w¨ahlen?

Geg.:EA,G,l

h1

h2

l α

g

76. Das gezeigte ebene, symmetrische Dreibein besteht aus drei elastischen St¨aben. Alle drei St¨abe haben den E-Modul E. Die St¨abe 1 und 3 haben die Querschnitts-fl¨ache A, Stab 2 hat die Querschnittsfl¨ache 2A.

Das Dreibein wird im oberen Gelenkpunkt, in dem al-le St¨abe geal-lenkig verbunden sind, durch eine Kraft F belastet. Knicken der St¨abe sei ausgeschlossen. Die Ver-formungen sind sehr klein und rein elastisch.

~ex

~ey

l l

l

A

3 F

1 2

(a) Berechnen Sie die Stabkr¨afte S1,S2 undS3. (b) Wie groß ist die Verschiebung~uA des Punktes A?

Geg.:F,E,A,l

77. Eine KraftF soll mit einem Stabzweischlag im Abstandavom Punkt C gehalten werden. Beide St¨abe bestehen aus dem glei-chen Werkstoff und haben jeweils eine konstante Querschnitts-fl¨ache A. Die zul¨assige Spannung σzul ist bei Zug- und Druck-beanspruchung gleich.

(a) Wie groß muß der Winkel α < 90 gew¨ahlt werden, da-mit m¨oglichst wenig Material ben¨otigt wird? Beachten Sie, daß in keinem der St¨abe die maximale Spannung

¨

uberschritten werden darf.

(b) Wie verschiebt sich der Punkt B in diesem Fall, wenn die Last F = 12zul wirkt?

Geg.:F,a,E,A,σzul

a α

F

A

B 2 C

1

78. Das skizzierte System aus vier elastischen St¨aben wird im zentralen Knoten P mit der Last F in der angegebenen Richtung belastet. Alle Bauteile haben den Elastizit¨atsmodulE und einen quadra-tischen Querschnitt mit der Kantenl¨ange D. Die L¨angen sind der Skizze zu entnehmen.

Bestimmen Sie diex- undy-Komponenten der Ver-schiebung des Punktes P! Die VerVer-schiebung soll klein und Knicken ausgeschlossen sein.

Geg.:a, b, c, d, D, F, α, E

x

a y b

c

d F

α

P 1

2 3

4

79. Das skizzierte System aus drei elastischen St¨aben wird im zentralen Knoten P mit der durch den VektorF~ =Fx~ex+Fy~ey gegebenen Kraft belastet. Die dadurch hervorgerufene Verschie-bung soll mit dem zu bestimmenden Vektor~ubeschrieben werden.

Alle Bauteile haben den Elastizit¨atsmodulE und die Querschnittsfl¨ache A. Die L¨angen sind der Skizze zu entnehmen.

(a) Formulieren Sie die Gleichgewichtsbeziehung f¨ur den Knoten P.

(b) Ermitteln Sie die L¨angen¨anderung ∆lider drei St¨abe i ∈ {1,2,3} als Funktion der Verschie-bungskomponenten ux und uy.

(c) Geben Sie die Stabkr¨afte Si als Funktionen von ux und uy an.

(d) Bestimmten Sie die Komponenten des Ver-schiebungsvektors ~uP.

x

a y b

c d

F~

P 1

2

3

Geg.: a, b, c, d, A, E, Fx, Fy

Hinweis: Verwenden Sie die Abk¨urzung r:=√

a2+c2.

80. Der skizzierte Balken sei starr, die St¨abe sollen die Feder-steifigkeitk1 bzw.k2haben und nicht ausknicken. Es sollen kleine Verformungen angenommen werden.

(a) Bestimme die L¨angen¨anderung ∆l1, ∆l2 der St¨abe 1 und 2!

(b) Bestimme die Verschiebung uB des linken Lagers B und den Winkelϕ, um den sich der Balken unter der Belastung dreht!

81. Stab 1 der abgebildeten Konstruktion wird um ∆T erw¨armt.

Berechnen Sie die Komponenten ux und uy der Verschie-bung des Knotens P. (Beachten Sie die eingezeichnete Vek-torbasis.)

Geg.: b, ∆T, Querschnittsfl¨ache A = const, Elasti-zit¨atsmodulE, Temperaturausdehnungskoeffizient α

P

82. Das abgebildete mechanische System besteht aus zwei St¨aben mit kreisf¨ormigem Querschnitt (Durchmesser d1 bzw.d2, E-Modul E1 bzw. E2, Temperaturausdehnungskoeffizient α1 bzw α2), die zwischen zwei starren Platten angebracht sind. Die St¨abe wurden bei Raumtempe-ratur spannungsfrei eingef¨ugt. Danach wurden die St¨abe um unterschiedliche Temperaturdif-ferenzen ∆T1 und ∆T2 erw¨armt.

(a) Leiten Sie Gleichungen f¨ur die Spannungen in beiden St¨aben als Funktion von ∆T1, ∆T2, α1, α2, E1, E2, l1, l2,d1 undd2 her.

(b) Setzen Sie nun die folgenden Zahlenwerte ein:

l1 = 30 cm,l2 = 50 cm;

83. Die Endquerschnitte eines konischen Stabes sind durch zwei gleiche, anfangs ungespannte Federn mit der Federsteifigkeit cverbunden.

Wie verschiebt sich der rechte Endquerschnitt A, wenn der Stab (nicht die Federn) um ∆T erhitzt wird? Knickung sei ausgeschlossen.

Geg.:D,d,l,E,c,αt, ∆T

c starre Platte

84. Ein starrer Balken der L¨ange 4list durch ein festes Ge-lenklager in A und zwei St¨abe in B und C gest¨utzt. Der Balken und die St¨abe sind als gewichtslos zu betrachten.

Im unbelasteten Zustand seien die St¨abe ungedehnt.

Die St¨abe haben die Querschnittsfl¨achenA1 =A2=A und die L¨angenl1 =l,l2 = 2l, E-Modul E.

Der Balken wird durch eine konstante Streckenlast q belastet. Der Stab 1 wird zudem um ∆T erw¨armt. Der lineare W¨armeausdehnungskoeffizient f¨ur den Werkstoff des Stabes 1 istα.

x y

q A

B

C 1

2

2l 2l

(a) Berechnen Sie f¨ur diesen Fall die Stabkr¨afte S1 und S2 sowie die Lagerkraft in A.

(b) F¨ur welche Temperatur¨anderung ∆T wird die gesamte Belastung von Stab 1 getragen?

Geg.:q, ∆T,α,A,l,E 85.

d D1 D2

H1 H1 H1

H2 H2

H2

A A

A:

ll

Zur Verbindung der beiden H¨ulsenringeH1(E1 = 2,1·105 N/mm2, D1 = 40 mm) und H2 (E2 = 0,8·105 N/mm2, D2 = 50 mm) wird ein Niet (EN = 2,1·105 N/mm2) bei einer Temperatur von T0 = 520 K durch die Bohrung (d= 20 mm) geschlagen. Man be-rechne die Spannungen in den H¨ulsenringen H1 und H2 sowie im Schaft des Nietes nach Abk¨uhlung aufT1 = 290 K. (Annahme: die Nietk¨opfe sind starr, die H¨ulsen von Anfang an kalt: 290 K).

Geg.: αt= 12·10−6 1/K

86. Der skizzierte Stab besteht in seinem rechten Teil 3 aus einem homogenen Werkstoff, in seinem linken Teil (1 und 2) aus einem symmetrisch aufgebauten Verbund-K¨orper. Zwischen den Teilen des Stabes befindet sich eine starre Platte. Der Stab liegt zun¨achst spannungsfrei zwischen zwei festen Widerlagern. Dann wird Teil 3 des Stabes um eine Temperatur ∆θ erw¨armt.

A1/2

A1/2 A2

l1 l2

1 1

2 3

S: S

(a) Wie groß sind die Normalspannungen in den drei Querschnittsteilen?

(b) Wie groß ist die Verschiebung der starren Platte?

Geg.:l1 = 4,00m, l2= 3,50m A1 = 300cm2,E1 = 2·104N/mm2, A2 = 100cm2,E2 = 2·105N/mm2, A3 = 700cm2,E3 =E1 = 2·104N/mm2, αt3= 12·1061/K, ∆θ= 40K