Biegung

96. Ein Balkeb (L¨ange l, Biegesteifigkeit EI) ist wie skizziert gelagert und belastet. (Bei A ge-lenkig aber nicht verschieblich)

(a) Bestimmen Sie die Biegelinie mit Hilfe dee Biegeliniendifferentialgleichung.

(b) Bestimmen Sie die AuflagerkKraft im Ge-lenkA.

(c) An welcher Stelle tritt das maximal Bie-gemment auf?

Geg.:l,q₀ ,EI

A B

z, w x q₀

l EI

97. Der skizzierte Balken ist in A und B gelenkig gelagert und wird durch eine lineare Streckenlast q(x) belastet.

(a) Berechnen Sie die Biegelinie w(x).

(b) Erkl¨aren Sie, wie man die maximale Durchsenkung ˆ

w berechnen kann!

Geg.:q1,q2,l,EI

l x

z

A B

q₁ q₂

q(x)

98. Der skizzierte Balken ist links fest eingespannt und wird durch eine cosinusf¨ormige Streckenlastq(x) belastet.

(a) Berechnen Sie die Durchbiegung w(x) und skizzie-ren Sie den Verlauf.

(b) Wie groß ist die maximale Durchsenkung ˆw?

Geg.:q₀,l,EI

l x

z q₀

q(x)

99. Der abgebildete schlanke Balken (Biegesteifigkeit EI, L¨angel) ist links fest eingespannt und wird ¨uber die gesamte L¨ange durch eine konstante Streckenlastq₀belastet. Zudem greifen am rechten Ende eine EinzelkraftF und ein Moment M an. Zeigen Sie, daß f¨ur die Absenkung

ˆ

wund die Neigung ˆϕ des rechten Balkenendes gilt

ˆ

w= F l³

3EI + M l²

2EI + q0l⁴ 8EI , ˆ

ϕ= F l² 2EI + M l

EI + q0l³ 6EI . Geg.:q₀,F, M,l,EI

l x

z

q₀ F

M

100. Der abgebildete schlanke Balken (Biegesteifigkeit EI) ist links fest eingespannt und wird im Abschnitt BA durch eine konstante Strecken-last q₀ belastet. Bestimmen Sie die Absenkung des Punktes A.

Geg.:q0,l,EI

101. Berechnen Sie den Querverschiebungszustand der skizzierten Systeme durch Integration der Verschiebungsdifferentialgleichungen.

102. Der abgebildete Balken ist rechts fest eingespannt und links ¨uber ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. Der Balken wird durch eine lineare Streckenlast q(x) und eine KraftF belastet.

(a) Wie lautet die Differentialgleichung f¨ur die Durch-senkungw(x)?

(b) Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der Biegeliniendifferentialgleichung f¨ur diesen Last-fall und geben Sie die geometrischen und dynamischen Randbedingungen des Systems an.

(c) Bestimmen Sie die unbekannten Konstanten.

(d) Bestimmen Sie den VerdrehwinkelϕA im Lager A.

(e) Wie muss die Kraft F gew¨ahlt werden, damit die Durchsenkungw(0) = 0 wird?

Geg.:F,E,I,q₀,l,

103. Der abgebildete schlanke Balken (L¨ange l, Biege-steifigkeitEI) ist links fest eingespannt und rechts

¨uber ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. Der Balken wird bei B durch ein MomentMB belastet.

(a) Ist der Balken statisch bestimmt gelagert?

K¨onnen die Schnittgr¨oßen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen gewonnen wer-den?

x

l z

MB

A

B

(b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen und den Verlauf des Biegemomentes mit Hilfe der Biegeliniendifferentialgleichung.

(c) Nutzen Sie das Superpositionsprinzip, um den Aufgabenteil (b) zu l¨osen.

(d) Wie groß ist das maximale Biegemoment im Balken?

Geg.:MB,l,EI

104. Der abgebildete schlanke Balken (L¨ange l, Biegesteifigkeit EI) ist rechts fest eingespannt und links ¨uber ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. Der Balken wird durch eine lineare Streckenlastq(x) belastet.

(a) Ist der Balken statisch bestimmt gelagert? K¨onnen die Schnittgr¨oßen allein aus den Gleichgewichtsbe-dingungen gewonnen werden?

(b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen im Lager A.

(c) Wie groß ist die Durchsenkungw(x) des Balkens?

(d) Bestimmen Sie den Verdrehwinkel ϕAim Lager A.

Geg.:q₀,l,EI

l x

z

q₀

A B

105. Der abgebildete schlanke Balken (L¨ange l, Biege-steifigkeitEI) ist ¨uber drei Lager gest¨utzt. Der Bal-ken wird ¨uber die gesamte L¨ange durch eine kon-stante Streckenlast q₀ belastet.

(a) Ist der Balken statisch bestimmt gelagert?

K¨onnen die Schnittgr¨oßen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen gewonnen wer-den?

x

z

q0

2

3l ¹₃l

A B C

(b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen mit Hilfe der Biegeliniendifferentialgleichung.

(c) ¨Uberpr¨ufen Sie die Auflagerkraft im Punkt B, in dem Sie diese nochmals mit Hilfe des Superpositionsprinzips berechnen.

(d) Wie groß ist die Neigung im Punkt A?

Geg.:q₀,l,EI

106. Das skizzierte Tragwerk ist im Bereich AGdurch eine konstante Streckenlastq₀ sowie in den PunktenC und B durch einzelne Kr¨afteF belastet.

(a) Begr¨unden Sie die statische Be-stimmtheit des skizzierten Trag-werks.

(b) Berechnen Sie die Auflagerreak-tionen und die Gelenkkr¨afte.

(c) Berechnen Sie mit dem Schnitt-verfahren das Biegemoment im Bereich AG.

(d) Rechnen Sie im Folgenden mit dem Biegemomentenverlauf

M(x) =−1

2q₀x²+ 1 2q₀lx weiter. An welcher Stelle ˆx im Bereich AG tritt das maxima-le Biegemoment M(ˆx)auf? Wie groß ist dessen Betrag?

A

(e) Ausgehend von dem in (d) gegebenem Biegemoment M(x) bestimmen Sie die Biegelinie im Bereich AG.

Geg.:l,q₀,EI, F

107. Der nebenstehend skizzierte Balken sei l¨angshomogen. Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen in A und B.

Hinweis: Die Werte der L¨angssteifigkeitKLund der BiegesteifigkeitKBm¨ussen nicht bekannt sein. Zu betrachten ist nur die Belastung quer zum Balken, die horizontalen Lagerkr¨afte sind Null.

(a) Lassen sich die Auflagerreaktionen alleine aus den Gleich-gewichtsbeziehungen bestimmen? Begr¨unden Sie ihre Antwort.

(b) Geben Sie stichpunktartig die Arbeitsschritte an, die zur L¨osung dieses Problems erforderlich sind. (Zwei oder drei Stichpunkte gen¨ugen.)

(c) Berechnen Sie die L¨osung auf dem in (b) angegebenen Weg.

108. Ein schubstarrer Balken (L¨ange 2l, konstante BiegesteifigkeitEIy) ist an seinem linken Ende fest eingespannt und im PunktB ¨uber ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. Der Balke wird die gesamte L¨ange durch eine konstante Streckenlastq₀ beansprucht.

(a) Bestimmen Sie die Auflagerkraft im PunktB.

(b) Ermitteln Sie das Biegemonent an der Stelle x= 0.

(c) Wie groß ist der Neigungswinkel im PunktB.

Geg.:l,q₀,EIy =const

A B

z, w x

l l

EIy

q₀

Hinweis:Wir empfehlen, diese Aufgabe mit Hilfe des Superpositionsprinzips zu l¨osen.

109. Geben Sie alle geometrischen und statischen Rand- und ¨Ubergangsbedingungen des skizzier-ten Systems an!

z x

ℓ ℓ

ℓ ℓ

α M₀ F

cM

q₁(x)

q₂(x)

I II III IV

110. Mit dem skizzierten Radmutternkreuz wird ei-ne Radmutter mit dem Drehmoment MD an-gezogen. Das Radkreuz besteht aus Rundstahl (Durchmesserd, Materialkennwerte E undG).

(a) Bestimmen Sie die Kraft FD, mit der die beiden Enden A und B belastet werden, um das Drehmoment zu erzeugen. (Siehe Skiz-ze)

(b) Wie weit federn die Kraftangriffspunk-te A und B zur¨uck, wenn die Belastung zur¨uckgenommen wird?

Geg.:E, G, L, d, MD, kleine Verschiebungen

A

B

L 2 L

2

L 2

L 2

FD

FD

MD

MD

Literatur: [3]: Biegelinie: Abschnitt 4.5, Torsion: Abschnitt 5.1

111. An einem Torsionsstab (L¨ange (a+b) ist horizontal ein Hebel der L¨ange c angebracht. Beide sind aus dem glei-chen Rundstahl gefertigt (Durchmesser D, E, G). Am Hebel wirkt senkrecht die KraftF. Die Durchbiegung des Tosionsstabes soll vernachl¨assigt werden, die Verschie-bungen und Drehungen sollen klein sein. Berechnen Sie die Absenkung des Kraftangriffspunktes P!

Geg.: a, b, c, D, ε, F, aus Tabellenwerk:

ˆ w= _3EI^{F l3}

0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0

1

^EI _F

l

ˆ w

x

y

z F

a

b c

P

112. F¨ur das gegebene d¨unnwandige, quadratische Hohlprofil sind in Bezug auf das gegebene Koordinatensystem die Fl¨achentr¨agheitsmomente zu bestimmen!

Geg.:a,δ≪a

a δ

y

z Literatur: [3]: Fl¨achentr¨agheitsmomente: Abschnitt 4.2

113. Berechnen Sie das Fl¨achentr¨agheitsmoment Iηη des Rohrquerschnittes bzg. derη-Achse.

Geg.:ri= 49 cm,t= 2 cm, e= 20 cm

eη η

y

z r_i

t

114. Bestimmen Sie f¨ur das dargestellte gleichseitige Dreieck das Fl¨achentr¨agheitsmoment Iyy mittels Integration.

Geg.:a S

y

z a

115. Das abgebildete Maschinenteil (Querschnitt wie abgebildet) ist in den Endpunkten A und D gelenkig gelagert und wird in den Punkten B und C durch Einzelkr¨afte belastet.

x

y

z

z a

a

b

c l

t

t F

F

A B C D

(a) Bestimmen Sie den Verlauf des Biegemomentes im Balken AD. An welcher Stelle ist das Biegemoment am gr¨oßten?

(b) Berechnen Sie den Fl¨achenschwerpunkt der Querschnittsfl¨ache. Anmerkung: Der Ur-sprung des eingezeichnete Koordinatensystem liegt im Fl¨achenschwerpunkt der Quer-schnittsfl¨ache.

(c) Berechnen Sie das Fl¨achentr¨agheitsmoment Iyy.

(d) Wie groß sind die maximale Zug- und Druckspannung in dem Maschinenteil?

Geg.:F = 15 kN,a= 250 mm, l= 875 mm, t= 12 mm,b= 100 mm,c= 75 mm

Literatur: Schnittlasten im geraden Balken: [1] Abs. 7.2; Fl¨achenschwerpunkt: [1] Abs. 4.3;

Fl¨achentr¨agheitsmoment: [3] Abs. 4.2; Normalspannungen: [3] Abs. 4.4

116. Der abgebildete schlanke Balken (Querschnitt wie abgebildet) ist links fest eingespannt und wird bei B durch ein MomentM belastet. Die maximal zul¨assige Normalspannung seiσ_zul= 100 MPa. Wie groß darf das angelegte Biegemoment maximal sein, damit nirgends die zul¨assige Normalspannung ¨uberschritten wird?

x

z y

z h

b

t M

A

B

Geg.:b= 80 mm,h= 120 mm, t= 8 mm,σ_zul= 100 MPa

117. Ein Stahltr¨ager liegt auf zwei Steinw¨anden mit dem Abstand l auf und wird in der Mitte durch ein Gewicht mit der KraftGbelastet.

Der Stahltr¨ager ist aus drei gleichen Flachstahlb¨andern zu einem I-Profil zusammengeschweißt.

Die Flachstahlb¨ander haben einen rechteckigen Querschnitt mit den Kantenl¨angen b und h (h > b).

(a) Bestimmen Sie das Biegemoment an der Krafteinleitungsstelle in der Mitte des Stahltr¨agers.

(b) Berechnen Sie die maximale Normal-spannung in diesem Querschnitt (an der Krafteinleitungsstelle). Benutzen Sie I =

1

2bh³ als N¨aherung f¨ur das Fl¨achentr¨ag-heitsmoment. Verwenden Sie nicht das exakte Fl¨achentr¨agheitsmoment!

(c) Zeigen Sie, daß das maximale Biegemo-ment in der Mitte des Stahltr¨agers auf-tritt.

(d) Zeigen Sie, daß das tats¨achliche Fl¨achen-tr¨agheitsmoment I_exakt gr¨oßer ist als die N¨aherung I = ¹₂bh³.

Geg.:l,b,h,G

118. Das abgebildete Maschinenteil (Querschnitt wie abgebildet) ist in den Endpunkten A und D gelenkig gelagert und wird in den Punkten B und C durch Einzelkr¨afte belastet. Wie groß sind die maximale Zug- und Druckspannung in dem Maschinenteil?

x y

z

z a

a

b

b

l

t F t

F

A B C D

Anmerkung: Der Ursprung des eingezeichneten Koordinatensystems liegt im Fl¨achenschwerpunkt der Querschnittsfl¨ache.

Bei der Berechnung des Fl¨achentr¨agheitsmomentes Iyy kann (n¨aherungsweise) von t≪bausgegangen werden.

Geg.: F,a,l,t,b

Literatur: Schnittlasten im geraden Balken: [1] Abs. 7.2; Fl¨achentr¨agheitsmoment: [3] Abs.

4.2; Normalspannungen: [3] Abs. 4.4

119. F¨ur einen belasteten Balken der L¨ange l hat man folgende Schnittla-sten ermittelt:

N(x) = N0x

l , My(x) = q0

2(lx−x²) .

Berechnen Sie die maximale Normalspannung σmax im Balken. An welcher Stelle (x₀, z₀) tritt sie auf?

Hinweis:Das eingezeichnete Koordinatensystem hat seinen Ursprung im Fl¨achenschwerpunkt der Querschnittsfl¨ache.

Geg.:q₀= 10 N cm⁻¹,N₀= 100 kN, l= 8 m,t= 1 cm,h= 10 cm, s= (4h−t)/10

x y

z

h h

h 2

s

t t

t

120. Das Modell eines Tragfl¨ugelholms besteht aus einem einseitig fest eingespannten Balken der L¨angel. Der Tragfl¨ugelholm wird durch eine konstante Streckenlastq₀, die aus den Luftkr¨aften und dem Eigengewicht resultiert, belastet. Der Balken hat eine rechteckige Querschnittsfl¨ache A=bh. Die Balkenh¨ohe hist eine Funktion der L¨angskoordinatex. Das Material sei isotrop.

(a) Bestimmen Sie den Ver-lauf der Balkenh¨ohe h, so daß der maximale Be-trag der L¨angsspannung σmax uber die gesam-¨ te L¨ange des Balkens konstant und gleich der zul¨assigen Spannung σzul

ist.

(b) Berechnen Sie f¨ur diesen Fall die Biegelinie w(x).

Geg.:q₀,l,E,b,σ_zul

l

q₀

x y

z z

b

h

121. Bestimmen Sie die maximale Span-nung σ(x) in jedem Querschnitt x und stellen Sie diese graphisch dar!

Wie groß ist die maximale Normalspan-nung?

Geg.:b, h0, a, F

b b

h0 4h₀

a 3a

x₁ x₂

F

122. Der Holm eines Flugzeugtragfl¨ugels soll dimensioniert werden. Seine H¨ohe h(x) verlaufe linear von h₁ an der Fl¨ugelwurzel (x = 0) bis h₂ an der Fl¨ugelspitze (x = s). Das Fl¨achentr¨agheitsmoment seines Quer-schnitts soll angenommen werden als I_y(x) = ¹₄A_Gh(x)². Durch die Auf-triebskr¨afte wird der Holm mit einer viertelellipsenf¨ormigen Linienlast der Form q(x) =−^q_s⁰√

s²−x² belastet.

0 0 1 1 00 00 11 11 00 00 11 11 00 11 00 00 11 11

h1 h2

s x

q(x) Querschnitt:

h(x)

(a) Bestimmen Sie den Biegemomentenverlauf mit Hilfe der Schnittlastendifferentialglei-chungen!

(b) Benutzen Sie im folgenden die N¨aherung M(x) = ^q₃⁰(s−x)² und bestimmen Sie die maximale Zugspannung im Holm beix₁ = ¹₃s.

Geg.:q₀,s,h₁,h₂,AG

Tabelle (aus Bronstein), Abk¨urzungX =a²−x²: Z √

Xdx= 1 2 x√

X+a²arcsinx a

; Z

x√

Xdx=−1 3

√X³; Z

arcsinx

adx=xarcsinx a+√

X

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