136. Für die gegebenen Spannungszustände S =σijeiej berechne man die Hauptspannungen σI, σII,σIII.
137. Für die gegebenen Spannungszustände S =σijeiej berechne man die Hauptspannungen σI, σII,σIII.
138. Gegeben sei der Spannungstensor S bezüglich einer kartesischen Basis durch
S=σ0
(a) Um welche Art eines Spannungszustandes handelt es sich hierbei?
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des TensorsS.
(c) Stellen Sie S bezüglich seiner Hauptachsen dar.
(d) Geben Sie den Spannungsvektorσn(ϕ) an, der sich für eine beliebige Schnittrichtung ϕ aus diesem Spannungszustand ergibt.
(e) Unter welchem Winkel ˆϕ treten die maximalen Normalspannungen auf und wie groß sind sie?
(f) Zeichnen Sie den Mohrschen Spannungskreis.
Geg.:σ0
139. Ein dreieckiges Blech ist an einen horizontalen Trä-ger angeschweißt und wird durch die über die je-weilige Querschnittsfläche konstanten Normalspan-nungen σx =σ0 und σy =−σ0 belastet. Die Geo-metrie der Anordnung wird u.a. durch den Winkel ϕ= 15◦ charakterisiert.
σ0
σ0
ϕ y
x
(a) Zeichnen Sie den Mohrschen Kreis und lesen Sie aus diesem die Normal- und Schub-spannung in der Schweißnaht ab.
(b) Schneiden Sie nun das Dreieckselement von der Schweißnaht frei und werten Sie das Kräftegleichgewicht am Element aus. Verifizieren Sie die Ergebnisse aus Aufgabenteil (a)
Geg.:σ0,ϕ= 15◦
140. Ein dünnes Blech wird in der x-y-Ebene belastet, sodass sich im Inneren ein ebener Spannungs-zustand einstellt. Die Spannun-gen im Punkt P auf Schnittflä-chen senkrecht zu den Koordina-tenachsenxundysind bekannt.
(a) Identifizieren Sie die Span-nungskomponenten σx, σy und τxy.
P ϕ
y
σ0 x
2σ0
Blech
(b) Zeichnen Sie den Mohrschen Spannungskreis. Bitte beachten Sie, dass nur saubere Zeichnungen bepunktet werden!
(c) Geben Sie die maximale Schubspannung τmax und die Hauptspannungen an. Unter wel-chen Winkelnϕ∗i treten die Hauptspannungen auf?
Geg.:σ0
141. Gegeben ist der ebene Spannungszustand σxx = 7mmN2, σyy = 1mmN2 und τxy = 4mmN2 im x, y-Koordinatensystem.
(a) Bestimmen Sie die Hauptspannungen σ1 und σ2. (b) Wie groß ist die maximale Schubspannungτmax?
(c) Skizzieren Sie den Mohrschen Spannungskreis für diesen Spannungszustand und kenn-zeichnen Sieσxx,σyy,τxy,σ1 und σ2.
(d) Bestimmen Sie die Normalspannungen σξξ und σηη und die Schubspannung τξη für das umϕ= 45◦gegenüber demx, y-System um diez-Achse gedrehteξ, η-Koordinatensystem und zeichnen Sie auch diese in den Mohrkreis ein.
142. Der untersuchte ebene Spannungszustand besteht aus einer Normalspannung σ0 = 100 MPa in Richtung der x-Achse und einer noch unbekannten Schubspannungτ0.
(a) Bestimmen Sie den Betrag der Schubspannung τ0, so daß die größte Normalspannung 100 MPa beträgt.
(b) Wie groß ist nun die maximale Schubspannung?
σ0 τ0 y
x
143. Der gezeigteMohrsche Spannungskreis dient der Darstellung und Untersuchung eines ebenen Spannungszustandes, für den der zugehörige Punkt (σxx, τxy) bereits in den Kreis eingetragen ist. Die folgenden Teilaufgaben sollen mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises und der unten gegeben Größen beantwortet werden (Lesen Sie ab und zeichnen Sie ein!)
σ τ
0 σ0
σ0 2σ0
2σ0
(σxx, τxy)
(a) Bestimmen Sie durch Ablesen den Spannungstensorσ bezüglich der Koordinaten (x, y).
(b) Bestimmen Sie graphisch die Hauptspannungenσ1, σ2und die maximale Schubspannung τmax.
(c) Geben Sie einen Ausdruck für den Winkelϕ∗ an, unter dem die Hauptspannungenσ1, σ2 auftreten und bestimmen Sie hiermitϕ∗.
(d) Geben Sieeinen Winkel ˆϕan, für den eine der Normalspannungen verschwindet. Geben Sie zusätzlich den Spannungstensor bezüglich der um ˆϕgedrehten Koordinaten (ξ, η) an und kennzeichnen Sie den zugehörigen Punkt imMohrschen Spannungskreis.
Geg.:σ0, tan 37◦≈3/4
144. Der Spannungszustand an einem Punkt in einer dünnen Stahlplatte ist nebenstehend abgebildet. Bestimmen Sie
(a) die Hauptrichtungen und Hauptspannungen, (b) die maximale Schubspannung und
(c) die Spannungskomponenten für ein Element, das aus dem abgebildeten durch Drehung um 30◦ entgegen dem Uhrzeigersinn entsteht.
100 MPa 60 MPa
48 MPa y
x
145. Der dargestellte Scheibenausschnitt steht unter der Wirkung der eingezeichneten Spannungen. Leite in diesem allgemei-nen Fall die Gleichungen für den MOHRschen Spannungs-kreis her!
(a) Fordere das Kräftegleichgewicht in x- undy-Richtung und bestimme daraus möglichst einfache Gleichungen fürσ und τ! Benutze Additionstheoreme!
τ σ σxx ϕ
σyy
τxy
τxy
x, ex y, ey
(b) Erzeuge durch Quadrieren und Addieren der Gleichungen eine Kreisgleichung!
(c) Identifiziere den Mittelpunkt, den Radius, die maximale Schubspannung und die Haupt-normalspannungen!
146. Ein dünnwandiges Rohr mit dem Außendurchmesserd, das aus einem wendelförmig gewickel-ten und verschweißgewickel-ten Stahlband der Breitebgefertigt ist, dient zum Übertragen eines Torsi-onsmomentes und einer axialen Druckkraft. In einem Schnitt senkrecht zur Rohrachse treten dabei die DruckspannungσD und die Schubspannungτ auf.
(a) Bei welchem VerhältnisσD/τ wird die Schweiß-naht nicht auf Schub beansprucht?
(b) Wie groß sind im Fall (a) die Normalspannun-gen in der Schweißnaht?
Geg.:d= 240 mm,b= 360 mm,σD = 4000 N/mm2 σD
σD
τ τ
147. Die dargestellte rechteckige Scheibe befindet sich in einem ebenen (sog. zweiachsigen) Span-nungszustand. Sie ist durch die Normalspan-nungen σxx = −5 N/m2 und σyy = 21 N/m2 belastet.
(a) Konstruiere den Mohrschen Kreis für diesen Spannungszustand! Bestimme grafisch und rechnerisch die Normal-und Schubspannung für ϕ= 60◦!
(b) Wie groß ist die maximale Schubspan-nung τmax und der zugehörige Winkel?
σ
τxy
τxy
τxy
τxy
τxy τxy
τ
ϕ σxx ϕ
σxx
σyy σyy
σyy
x, ex y, ey
(c) Wie groß sind die Hauptnormalspannungenσmin undσmaxund die zugehörigen Winkel?
(d) Wiederhole (a) bis (c) für den Fall, dass die Scheibe zusätzlich durch eine Schubspannung τxy = 10 N/m2 belastet wird!
148. Der ebene Spannungszustand im PunktP der Oberfläche eines Flug-zeugrumpfes wird durch das gezeig-te Flächenelement eindeutig charak-tisiert.
(a) Ermitteln Sie die maxima-len Schubspannungenτmax im Punkt P.
(b) Wie groß sind die Hauptspannungen und unter welchen Winkelnϕ∗i treten diese auf?
(c) Zeichnen Sie den Mohrschen Spannungskreis und markieren Sie die oben berechneten charakteristischen Werte (Achsenbeschriftungen nicht vergessen).
Geg.:σ0, 34√
3≈1,3
149. Gegeben ist ein dünnwandiger Zylinder (RadiusR, LängeL, Wand-dicket). Durch den im Inneren herrschenden Überdruckpentstehen Umfangs- und Längsspannungen in der Hülle.
Geg.:t= 10−3 m, p= 0,2 106 Pa undR= 0,5 m
(a) Bestimme die Längsspannungen σxx und die Umfangsspan-nungen σyy durch Freischnitt und mithilfe der Gleichge-wichtsbedingungen!
R
p l
(b) Konstruiere denMohrschen Kreis!
(c) Bestimme grafisch und rechnerisch die Normal- und Schubspannungen fürϕ= 60◦! (d) Wie groß ist die maximale Schubspannungτmax und der zugehörige Winkel?
150. Eine Welle ist wie skizziert gelagert und durch die Kräfte Fa und Fb sowie Torsions-momente MT an den Enden belastet. Der mittlere Abschnitt zwischen den Lagern (0<
x < c) soll dimensioniert, also der erforderli-che DurchmesserDbestimmt werden. In die-sem Bereich beträgt das Biegemoment:
x
(a) Der Querschnitt ˆx mit dem betragsmäßig größten Biegemoment ˆMb =M(ˆx) ist für die Dimensionierung der Welle maßgeblich. Bestimmen Sie ˆx und ˆMb. (Beachten Sie die Angaben zu den gegebenen Größen unten.)
(b) Wie groß sind das axiale und das polare FlächenträgheitsmomentIyundIpeines (Vollkreis-) Wellenquerschnitts mit dem DurchmesserD?
(c) Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom noch zu bestimmenden Durchmesser Dder Welle die maximale Normalspannung σxx (Zug) sowie die maximale Schubspannung τxy im Querschnitt ˆx. (Dkann in diesem Aufgabenteil als gegebene Größe angesehen werden.) (d) Die größte Hauptspannung σ1 darf nicht größer als die maximal zulässige Normal-spannungσzul sein. Bestimmen Sie den dazu erforderlichen WellendurchmesserD. (Zur Hauptspannungsberechnung kann derMohrsche Spannungskreis skizziert werden und daraus eine geeignete Formel abgelesen werden.)
Geg.:a,b,c,Fa,Fb,MT,E,σzul,a < b,Fa< Fb