108. Ein Balken (Länge l, Biegesteifigkeit EI) ist wie skizziert gelagert und belastet. (Bei A ge-lenkig aber nicht verschieblich)
(a) Bestimmen Sie die Biegelinie mit Hilfe der Biegeliniendifferentialgleichung.
(b) Bestimmen Sie die Auflagerkraft im Ge-lenkA.
(c) An welcher Stelle tritt das betragsmäßig maximale Biegemoment auf?
Geg.:l,q0 ,EI
A B
z, w x q0
l EI
109. Der skizzierte Balken ist in A und B gelenkig gelagert und wird durch eine lineare Streckenlastq(x) belastet.
(a) Berechnen Sie die Biegelinie w(x).
(b) Erklären Sie, wie man die maximale Durchsenkung ˆ
w berechnen kann!
Geg.:q1,q2,l,EI
l x
z
A B
q1 q2
q(x)
110. Der skizzierte Balken ist links fest eingespannt und wird durch eine cosinusförmige Streckenlastq(x) belastet.
(a) Berechnen Sie die Durchbiegung w(x) und skizzie-ren Sie den Verlauf.
(b) Wie groß ist die maximale Durchsenkung ˆw?
Geg.:q0,l,EI
l x
z q0
q(x)
111. Der abgebildete schlanke Balken (BiegesteifigkeitEI, Längel) ist links fest eingespannt und wird über die gesamte Länge durch eine konstante Streckenlastq0belastet. Zudem greifen am rechten Ende eine EinzelkraftF und ein Moment M an. Zeigen Sie, daß für die Absenkung
ˆ
wund die Neigung ˆϕ des rechten Balkenendes gilt
ˆ
w= F l3
3EI +M l2
2EI + q0l4 8EI , ˆ
ϕ= F l2 2EI +M l
EI + q0l3 6EI . Geg.:q0,F,M,l,EI
l x
z
q0 F
M
112. Der abgebildete schlanke Balken (Biegesteifigkeit EI) ist links fest eingespannt und wird im Abschnitt BA durch eine konstante Streckenlast q0 belastet.
Bestimmen Sie die Absenkung des Punktes A.
Geg.:q0,l,EI l l
x
z
q0
A B
113. Das skizzierte Tragwerk ist im BereichAGdurch eine konstante Streckenlastq0 sowie in den PunktenC und B durch einzelne Kräfte F belastet.
(a) Begründen Sie die statische Be-stimmtheit des skizzierten Trag-werks.
(b) Berechnen Sie die Auflagerreak-tionen und die Gelenkkräfte.
(c) Berechnen Sie mit dem Schnitt-verfahren das Biegemoment im Bereich AG.
(d) Rechnen Sie im Folgenden mit dem Biegemomentenverlauf
M(x) =−1
2q0x2+ 1 2q0lx weiter. An welcher Stelle ˆx im Bereich AG tritt das maxima-le Biegemoment M(ˆx) auf? Wie groß ist dessen Betrag?
A
B
C
G F
F
EI z, w
x
q0
l
l l
(e) Ausgehend von dem in (d) gegebenem BiegemomentM(x) bestimmen Sie die Biegelinie im BereichAG.
Geg.:l,q0,EI,F
114. Der abgebildete Balken ist rechts fest eingespannt und links über ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. Der Balken wird durch eine lineare Streckenlast q(x) und eine KraftF belastet.
(a) Wie lautet die Differentialgleichung für die Durch-senkungw(x)?
A x B
z, w
l
q0 F
(b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Biegeliniendifferentialgleichung für diesen Last-fall und geben Sie die geometrischen und dynamischen Randbedingungen des Systems an.
(c) Bestimmen Sie die unbekannten Konstanten.
(d) Bestimmen Sie den VerdrehwinkelϕAim Lager A.
(e) Wie muss die Kraft F gewählt werden, damit die Durchsenkung w(0) = 0 wird?
Geg.:F,E,I,q0,l,
115. Berechnen Sie den Querverschiebungszustand der skizzierten Systeme durch Integration der
116. Der abgebildete schlanke Balken (Länge l, Biege-steifigkeitEI) ist links fest eingespannt und rechts über ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. Der Balken wird bei B durch ein MomentMB belastet.
(a) Ist der Balken statisch bestimmt gelagert?
Können die Schnittgrößen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen gewonnen wer-den?
(b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen und den Verlauf des Biegemomentes mit Hilfe der Biegeliniendifferentialgleichung.
(c) Nutzen Sie das Superpositionsprinzip, um den Aufgabenteil (b) zu lösen.
(d) Wie groß ist das maximale Biegemoment im Balken?
Geg.:MB,l,EI
117. Der abgebildete schlanke Balken (Länge l, Biegesteifigkeit EI) ist rechts fest eingespannt und links über ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. Der Balken wird durch eine lineare Streckenlastq(x) belastet.
(a) Ist der Balken statisch bestimmt gelagert? Können die Schnittgrößen allein aus den Gleichgewichtsbe-dingungen gewonnen werden?
(b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen im Lager A.
(c) Wie groß ist die Durchsenkungw(x) des Balkens?
(d) Bestimmen Sie den Verdrehwinkel ϕAim Lager A.
Geg.:q0,l,EI
118. Der abgebildete schlanke Balken (Länge l, Biege-steifigkeitEI) ist über drei Lager gestützt. Der Bal-ken wird über die gesamte Länge durch eine kon-stante Streckenlastq0 belastet.
(a) Ist der Balken statisch bestimmt gelagert?
Können die Schnittgrößen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen gewonnen wer-den?
x
z
q0
2
3l 13l
A B C
(b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen mit Hilfe der Biegeliniendifferentialgleichung.
(c) Überprüfen Sie die Auflagerkraft im Punkt B, in dem Sie diese nochmals mit Hilfe des Superpositionsprinzips berechnen.
(d) Wie groß ist die Neigung im Punkt A?
Geg.:q0,l,EI
119. Der nebenstehend skizzierte, längshomogene Balken ist an seinem rechten Ende durch eine vertikale Einzelkraft belastet.
(a) Lassen sich die Auflagerreaktionen alleine aus den Gleich-gewichtsbedingungen bestimmen? Begründen Sie ihre Antwort.
(b) Ermitteln Sie die Lagerkraft im Punkt B unter Verwen-dung des Superpositionsprinzips.
Geg.:F,l,EI
0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0
1 00 00 11 11 00 00 11 11 00 00 11 11
0 0 1 1 0 0 1 1 00 00 11 11 000 111 00 11
F
l l
A B C
120. Ein schubstarrer Balken (Länge 2l, konstante BiegesteifigkeitEIy) ist an seinem linken Ende fest eingespannt und im PunktB über ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. Der Balken wird über die gesamte Länge durch eine konstante Streckenlastq0 beansprucht.
(a) Bestimmen Sie die Auflagerkraft im Punkt B.
(b) Ermitteln Sie das Biegemonent an der Stelle x= 0.
(c) Wie groß ist der Neigungswinkel im Punkt B?
Geg.:l,q0,EIy =const
A B
z, w x
l l
EIy
q0
Hinweis:Wir empfehlen, diese Aufgabe mit Hilfe des Superpositionsprinzips zu lösen.
121. Geben Sie alle geometrischen und statischen Rand- und Übergangsbedingungen des skizzier-ten Systems an!
z
122. Mit dem skizzierten Radmutternkreuz wird ei-ne Radmutter mit dem Drehmoment MD an-gezogen. Das Radkreuz besteht aus Rundstahl (Durchmesserd, Materialkennwerte E undG).
(a) Bestimmen Sie die Kraft FD, mit der die beiden Enden A und B belastet werden, um das Drehmoment zu erzeugen. (Siehe Skiz-ze)
(b) Wie weit federn die Kraftangriffspunkte A und B zurück, wenn die Belastung zurück-genommen wird?
123. An einem Torsionsstab (Länge (a+b) ist horizontal ein Hebel der Länge c angebracht. Beide sind aus dem glei-chen Rundstahl gefertigt (Durchmesser D, E, G). Am Hebel wirkt senkrecht die KraftF. Die Durchbiegung des Tosionsstabes soll vernachlässigt werden, die Verschie-bungen und Drehungen sollen klein sein. Berechnen Sie die Absenkung des Kraftangriffspunktes P!
Geg.: a, b, c, D, ε, F, aus Tabellenwerk:
124. Für das gegebene dünnwandige, quadratische Hohlprofil sind in Bezug auf das gegebene Koordinatensystem die Flächenträg-heitsmomente zu bestimmen!
Geg.:a,δ ≪a
a δ
y
z
125. Die y- und z-Achse seien Hauptzentralachsen des skizzierten Flächenquerschnitts. Ermitteln Sie das axiale Flächenträgheitsmoment Iy mit Hilfe des erweiterten Tabellenverfahrens.
Geg.:b
y
z
b b b
b 2b 2b
2b
2b 2b
S
126. Bestimmen Sie die Flächenträgheitsmomente 2. Ordnung (Iyy, Izz und Iyz) für die für die gezeigten Querschnitte bzgl. der Flächenschwerpunkte.
z y
z y t
t
3t
4t h
h
2h
h 2
h 2
h 2
S
P b)
a)
Geg.:t,h
127. Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment Iηη des Rohrquerschnittes bzg. derη-Achse.
Geg.:ri= 49 cm, t= 2 cm,e= 20 cm
eη η
y
z ri
t
128. Bestimmen Sie für das dargestellte gleichseitige Dreieck das FlächenträgheitsmomentIyy mittels Integration.
Geg.:a S
y
z a
129. Das abgebildete Maschinenteil (Querschnitt wie abgebildet) ist in den Endpunkten A und D gelenkig gelagert und wird in den Punkten B und C durch Einzelkräfte belastet.
x
y
z
z a
a
b
c l
t
t F
F
A B C D
(a) Bestimmen Sie den Verlauf des Biegemomentes im Balken AD. An welcher Stelle ist das Biegemoment am größten?
(b) Berechnen Sie den Flächenschwerpunkt der Querschnittsfläche. Anmerkung: Der Ur-sprung des eingezeichnete Koordinatensystem liegt im Flächenschwerpunkt der Quer-schnittsfläche.
(c) Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment Iyy.
(d) Wie groß sind die maximale Zug- und Druckspannung in dem Maschinenteil?
Geg.:F = 15 kN,a= 250 mm, l= 875 mm,t= 12 mm,b= 100 mm, c= 75 mm
130. Ein Stahlträger liegt auf zwei Steinwänden mit dem Abstand l auf und wird in der Mitte durch ein Gewicht mit der KraftGbelastet.
Der Stahlträger ist aus drei gleichen Flachstahlbändern zu einem I-Profil zusammengeschweißt.
Die Flachstahlbänder haben einen rechteckigen Querschnitt mit den Kantenlängen b und h (h > b).
(a) Bestimmen Sie das Biegemoment an der Krafteinleitungsstelle in der Mitte des Stahlträgers.
(b) Berechnen Sie die maximale Normal-spannung in diesem Querschnitt (an der Krafteinleitungsstelle). Benutzen Sie I =
1
2bh3 als Näherung für das Flächenträg-heitsmoment. Verwenden Sie nicht das exakte Flächenträgheitsmoment!
(c) Zeigen Sie, daß das maximale Biegemo-ment in der Mitte des Stahlträgers auf-tritt.
(d) Zeigen Sie, daß das tatsächliche Flächen-trägheitsmoment Iexakt größer ist als die Näherung I = 12bh3.
Geg.:l,b,h,G
131. Der abgebildete schlanke Balken (Querschnitt wie abgebildet) ist links fest eingespannt und wird bei B durch ein MomentM belastet. Die maximal zulässige Normalspannung seiσzul= 100 MPa. Wie groß darf das angelegte Biegemoment maximal sein, damit nirgends die zuläs-sige Normalspannung überschritten wird?
x
z y
z h
b
t M
A
B
Geg.:b= 80 mm, h= 120 mm,t= 8 mm,σzul= 100 MPa
132. Das abgebildete Maschinenteil (Querschnitt wie abgebildet) ist in den Endpunkten A und D gelenkig gelagert und wird in den Punkten B und C durch Einzelkräfte belastet. Wie groß sind die maximale Zug- und Druckspannung in dem Maschinenteil?
x y
z
z a
a
b
b
l
t F t
F
A B C D
Anmerkung: Der Ursprung des eingezeichneten Koordinatensystems liegt im Flächen-schwerpunkt der Querschnittsfläche.
Bei der Berechnung des FlächenträgheitsmomentesIyykann (näherungs-weise) vont≪bausgegangen werden.
Geg.:F,a,l,t,b
133. Für einen belasteten Balken der Länge l hat man folgende Schnittla-sten ermittelt:
N(x) = N0x
l , My(x) = q0
2(lx−x2) .
Berechnen Sie die maximale Normalspannung σmax im Balken. An welcher Stelle (x0, z0) tritt sie auf?
Hinweis:Das eingezeichnete Koordinatensystem hat seinen Ursprung im Flächenschwerpunkt der Querschnittsfläche.
Geg.:q0= 10 N cm−1,N0 = 100 kN,l= 8 m, t= 1 cm,h= 10 cm, s= (4h−t)/10
x y
z
h h
h 2
s
t t
t
134. Das Modell eines Tragflügelholms besteht aus einem einseitig fest eingespannten Balken der Längel. Der Tragflügelholm wird durch eine konstante Streckenlastq0, die aus den Luftkräften und dem Eigengewicht resultiert, belastet. Der Balken hat eine rechteckige Querschnittsfläche A=bh. Die Balkenhöheh ist eine Funktion der Längskoordinatex. Das Material sei isotrop.
(a) Bestimmen Sie den Ver-lauf der Balkenhöhe h, so daß der maximale Betrag der Längsspannung σmax
über die gesamte Län-ge des Balkens konstant und gleich der zulässigen Spannung σzul ist.
(b) Berechnen Sie für diesen Fall die Biegelinie w(x).
Geg.:q0,l,E,b,σzul
l
q0
x y
z z
b
h
135. Bestimmen Sie die maximale Span-nung σ(x) in jedem Querschnitt x und stellen Sie diese graphisch dar!
Wie groß ist die maximale Normalspan-nung?
Geg.:b, h0, a, F
b b
h0 4h0
3a a
x1 x2
F