Übungen zur Algebraischen Zahlentheorie I

Übungen zur Algebraischen Zahlentheorie I

- 2. Blatt -

Prof. Dr. K. Wingberg WS 2009/2010

J. Bartels abzugeben bis Donnerstag, den 29. Oktober 2009 um 9:15 Uhr

. in den Kästen neben dem Seifertraum

http://www.mathi.uni-heidelberg.de/∼bartels/Vorlesung

Name: /name/ Matrikelnummer: /nr/

Übungsleiter: /uebleiter/

2. Name: /namezwei/ 2. Matrikelnummer: /nrzwei/

Man achte auf eine saubere Darstellung und eine ordentliche Schrift.

Bitte keine maschinell erstellten Lösungen abgeben.

Aufgabe 1 2 3 4 P

Punkte

1 . Aufgabe (6 Punkte):

Es seiOK der Ganzheitsring eines Zahlkörpers K/Qund daraus Z-linear unabhängige Elemente α₁, α₂, ..., α_n ∈ OK gegeben. Zeigen Sie, daÿ folgendes gilt:

a) Teilt eine Primzahlpden Quotienten der Diskriminanten d(α₁, ..., α_n)/d(OK), dann gibt es ganze Zahlen a₁, ..., a_n, so daÿ(a₁, ..., a_n, p) = 1und(Pn

i=1a_iα_i)/p∈ OK gilt.

b) Es seiαein primitives Element der Erweiterung K/Q, dessen Minimalpolynom inpEisen- steinsch ist. Dann teilt pnicht den Quotientend(α1, ..., αn)/d(OK).

2 . Aufgabe (6 Punkte):

Berechnen Sie die Ganzheitsringe von:

a) Q(√³ 2)

b) Q(α), wobei αNullstelle der GleichungX³+X+ 1 ist.

3 . Aufgabe (6 Punkte):

Es seiK=Q(√

51)unda:= (2,1 +√ 51). a) Zeigen Sie, daÿa= 2Z+ (1 +√

51)Zgilt.

i

b) Bestimmen Siea⁻¹={x∈K|xa⊆ OK}, welches auch das gebrochene Ideal a⁻¹ genannt wird.

c) Zeigen Sie, daÿa ein Primideal inOK ist.

d) Berechnen Sie die Anzahl der Elemente inOK/a. 4 . Aufgabe (6 Punkte):

Es seiK=Q(α), wobeiαeine Nullstelle des Polynomsf(X) =X³+X²−2X+ 8ist. Bestimmen Sie den Ganzheitsring dieses Zahlkörpers.

Hinweis: Indexformel und obige Aufgabe!

ii