Analysis II für M, LaG/M, Ph 12. Tutoriumsblatt

Analysis II für M, LaG/M, Ph 12. Tutoriumsblatt

Fachbereich Mathematik WS 2010/11

Prof. Dr. Christian Herrmann 28.1.2011

Vassilis Gregoriades Horst Heck

Aufgaben

Aufgabe T12.1

Gegeben sei der Kreisringsektor

K={(x,y)∈R²:x≥0,y≥0und9≤x²+y²≤81}.

Es seiσdie Polarkoordinatenabbildung. Geben Sie eine MengeBan, so dassσ(B) =Kgilt. Berechnen Sie den Flächen- inhalt vonKund den Schwerpunkt(x_S,y_S), der durch

x_S:= 1 µ(K)

Z

K

xd(x,y)

y_S:= 1 µ(K)

Z

K

yd(x,y)

definiert ist.

Lösung: Es giltB={(r,ϕ): 3≤r≤9und0≤ϕ≤^π₂}. Der Flächeninhalt ist µ(K) =

Z

K

d(x,y) = Zπ/2

0

Z9

3

drdϕ=18π.

Für den Schwerpunkt berechnet man

x_S= 1 µ(K)

Z

K

xd(x,y) = 1 µ(K)

Zπ/2 0

Z9

3

r²cosϕdrdϕ=13 π und

y_S= 1 µ(K)

Z

K

yd(x,y) = 1 µ(K)

Zπ/2 0

Z9

3

r²sinϕdrdϕ= 13 π.

Aufgabe T12.2 (Cantor Mengen)

Es seiα ∈]0, 1]. Wir definieren nun rekursiv eine Folge von MengenC_n^α ⊂[0, 1] welche jeweils aus der Vereinigung von2ⁿabgeschlossenen disjunkten Intervallen besteht. Es seiC₀^α= [0, 1].C_n^α₊₁entsteht ausC_n^α, indem man zu jedem Teilintervall[a,b]ausC_n^αdas offene Intervall]^a+₂^b−_2·3^αn+1, ^a+b

2 +_2·3^α_n+1[der Länge ^α

3ⁿ⁺¹ herausnimmt. Z.B ist also

C₁=C₀\ 1

2− α 2·3,1

2+ α 2·3

=

0,1 2− α

2·3

∪ 1

2+ α 2·3, 1

Die MengeC^α:=T

n∈NC_n^α wird modifizierte Cantormenge genannt.

1

(a) Zeigen sie, dassC^αabgeschlossen und[0, 1]\C^αdicht in[0, 1]ist.

(b) Zeigen Sie, dassC^αnur fürα=1Jordan messbar ist und bestimmen Sie in diesem Fall das Jordan Maß vonC¹. (c) Für die folgenden Teilaufgaben sei nunα=1. In diesem Fall nennt man die MengeC:=C¹Cantormenge. Zeigen

Sie, dass sich jedes Element ausCfür genau eine Folge(a_n)n∈ {0, 1}^Nin der FormP∞ n=12a_n

3ⁿ schreiben läßt.

Hinweis:Benutzen Sie, dass sich jedesx∈[0, 1]triadisch darstellen läßt. D.h. jedesx∈[0, 1]läßt sich durch eine Reihex=P∞

n=1 b_n

3ⁿ mitb_n∈ {0, 1, 2}darstellen.

(d) Zeigen Sie, dass die Funktionφ:C→[0, 1],P∞ n=12an

3ⁿ 7→P∞ n=1

a_n

2ⁿ surjektiv, monoton steigend aber nicht injektiv ist.

Hinweise:(i) Jeder Punkt in[0, 1]hat eine binäre Darstellung. (ii) Seia,b∈C mita<bin der Darstellung aus (c). Betrachten Sie den kleinsten Koefiizientena_k,b_k∈ {0, 1}, so dassb_k6=a_kist. (iii) Berechneφ(¹₃)undφ(²₃). (e) Zu x ∈ [0, 1]\C sei α(x) = inf{y ∈ C|(y,x)⊂ [0, 1]\C}. Zeigen Sie, dass die sogenannte Cantorfunktion

ψ:[0, 1]→[0, 1],

x7→

φ(x) falls x∈C φ(α(x)) falls x∈[0, 1]\C

stetig und monoton steigend ist. (Sie ist sogar in allen Punktenx6∈Cdifferenzierbar und es giltψ⁰(x) =0.) Hinweis:Aus der Monotonie und der Surjektivität folgt schon die Stetigkeit.

Lösung:

(a) C^α ist abzählbarer Schnitt abgeschlossener Mengen und damit abgeschlossen.[0, 1]\C^α ist dicht, denn zu jedem Punktx∈C^αliegt ein Punkty∈[0, 1]\C^αbeliebig nahe anx. Dies kann man sich folgendermassen klar machen.

Zu" >0genügend klein sei y:=x+"∈[0, 1](fallsx=1setze y:=x−"). Ist y∈[0, 1]\C^αist nichts mehr zu zeigen. Ist y∈C^α dann wird in einem genügend späten Iterationsschritt ein Intervall zwischenx und y entfernt, welches Elemente aus[0, 1]\C^αenthält. Insbesondere enthältC^αkein Intervall positiver Länge.

(b) In jedem Iterationsschritt werden vonC_n^α2ⁿdisjunkte Intervalle der Länge ^α

3ⁿ⁺¹ entfernt. Als ZerlegungenZ_nneh- men wir alle herausgenommenen Intervalle und die verbleibenden Teilintervalle vonC_n^α. Daher giltO(Z_n+1,C^α) = O(Zn,C^α)−2^{n α}

3ⁿ⁺¹. Rekursiv errechnet sichO(Zn,C^α) =1−α(¹₃+²₉+· · ·+²ⁿ⁻¹₃n ). Es ergibt sich

n→∞limO(Z_n,C^α) =1−α 2

X∞ j=1

(2

3)^j=1−α

Aus Teil (a) folgt, dassU(Zn,C^α) =0für jedesαgilt. Daher istC^αgenau für den Fallα=1messbar undC¹ist eine Nullmenge.

(c) Jeder Punkt in[0, 1]lässt sich triadisch darstellen. Es ist^b₃¹ ein Element vonC₁:=C₁¹genau dann wennb_k∈ {0, 2}.

Induktiv ergibt sichPn k=1

b_k

3^k ∈C_n:=C_n¹genau dann wennb_k∈ {0, 2}für allek=1 . . .n. Also gilt auchP_∞

n=1 2a_n

3ⁿ ∈ Cgenau dann wenn(a_n)n=a∈ {0, 1}^N. Verschiedener solcher Reihen ergeben verschiedene Elemente ausC, denn wenn sich zu zwei Folgena,b∈ {0, 1}^N die Einträgea_k,b_kzu einemk∈Nunterscheiden, dann liegtP∞

n=12a_n 3ⁿ in einem anderen Teilintervall vonC_k wieP∞

n=12bn

3ⁿ Bemerkung: Inbesondere folgt damit, dassC überabzählbar ist, da{0, 1}^Nüberabzählbar ist.

(d) Surjektivität: Zu jedem Elementx∈[0, 1]gibt es eine binäre Darstellungx=P∞ n=1

a_n

2ⁿ,a_n∈ {0, 1}. Folglich istφ surjektiv.

Injektivität:φist nicht injektiv, denn zum Beispiel ¹

3und ²

3liegen inCaber es gilt φ(1

3) =φ(0·2 3+

X∞ n=2

2 3ⁿ) =

X∞ n=2

1 2ⁿ= 1

2=φ(2 3+

X∞ n=2

0

3ⁿ) =φ(2 3).

Monotonie:Seien nun a,b∈C mita =P∞ n=2

2a_n

3ⁿ < b =P∞ n=2

2b_n

3ⁿ ∈C mita,b (mita_n,b_n ∈ {0, 1}). Seik die kleinste natürliche Zahl, für diea_k6=b_kgilt. Es ist

0<b−a=2(b_k−a_k) 3^k +2

X∞ n=k+1

b_n−a_n

3ⁿ <2(b_k−a_k) 3^k + 1

3^k. Also mussa_k=0undb_k=1gelten. Daher folgt

φ(a) =

k−1

X

n=1

a_n 2ⁿ+

X∞ n=k+1

a_n 2ⁿ≤

k−1

X

n=1

a_n 2ⁿ+

X∞ n=k+1

1 2ⁿ ≤

k−1

X

n=1

b_n 2ⁿ+ 1

2^k ≤ X∞ n=1

b_n

2ⁿ =φ(b).

Also istφmonoton steigend.

2

(e) ψist aufCmonoton steigend und in allen anderen Bereichen lokal konstant. Aus (c) folgt daher dasψmonoton stiegend und surjektiv ist. Daraus folgt aber schon die Stetigkeit, denn zu jedem offene IntervallUim Bild[0, 1]ist auchf⁻¹(U)ein offenes Intervall .

3