Analysis II für M, LaG/M, Ph 10. Tutoriumsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2010/11
Prof. Dr. Christian Herrmann 14.1.2011
Vassilis Gregoriades Horst Heck
Aufgaben
Aufgabe T10.1
(a) Es seienI,J⊂RIntervalle undγ:I →Rnundγ˜:J →Rnzwei stetig differenzierbare Kurven. Die Kurven heißen äquivalent, falls es eine monoton wachsende, stetig differenzierbare, bijektive Funktion ϕ :J → I gibt, so dass γ(ϕ(t)) =γ(t)˜ für allet∈J gilt.γ˜heißt auch Umparametrisierung vonγ.
Zeigen Sie, dass sich jede stetig differenzierbare Kurve nach der Weglänge parametrisieren lässt, d.h. zu jeder Kurve γgibt es eine Umparametrisierungγ, so dass˜ |γ˜0|=1gilt.
(b) Zeigen Sie, dass das Kurvenintegral unabhängig von der gewählten Parametrisierung ist. Genauer: Ist f ◦γstetig undγ˜eine Umparametrisierung vonγ, so gilt
Z
γ
f(x)dx= Z
˜γ
f(x)dx.
Aufgabe T10.2
Beweisen Sie: Eine MengeM ⊂Rnist genau dann einen-dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit vonRn, wennMinRnoffen ist.
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