Analysis II für M, LaG/M, Ph 4. Tutoriumsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2010/11
Prof. Dr. Christian Herrmann 12.11.2010
Vassilis Gregoriades Horst Heck
Aufgaben
Aufgabe T4.1
Es sei(X,d)ein metrischer Raum undA⊂X. Zeigen Sie, dass die Funktion dist(·,A):X→Rgegeben durch dist(x,A):=inf
y∈Ad(x,y)
(Lipschitz-)stetig ist.
Aufgabe T4.2 (Lemma von Urysohn)
Beweisen Sie die folgende Aussage: Es sei(X,d)ein metrischer Raum undA,B⊂X abgeschlossen mitA∩B=;. Dann gibt es eine stetige Funktionϕ:X→R, für dieϕ(x) =1für allex∈Aundϕ(x) =0für allex∈Bgilt.
Aufgabe T4.3
Zeigen Sie, dass die Supremumsnorm inRnnicht durch ein Skalarprodukt definiert werden kann. Das heißt, es gibt kein Skalarprodukt〈· | ·〉:Rn×Rn→Rmitkxk∞=p
〈x|x〉.
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