Analysis II für M, LaG/M, Ph 6. Tutoriumsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2010/11
Prof. Dr. Christian Herrmann 26.11.2010
Vassilis Gregoriades Horst Heck
Aufgaben
Aufgabe T6.1 (Die Exponentialfunktion für Matrizen)
Die Exponentialfunktion für Matrizenexp :Rn×n→Rn×nist durch exp(A) =
X∞
k=0
1 k!Ak gegeben. Verwenden Sie ohne Beweis, dass die ReiheP∞
k=0 1
k!kAkkfür jede MatrixA∈Rn×nkonvergent ist. (Sie dürfen das natürlich auch gerne beweisen.)
(a) Zeigen Sie, dassexpwohldefiniert ist.
(b) Berechnen Sie die Exponentialfunktion von
A:=
1 0 0 0 2 0 0 0 3
und B:=
1 2 0 0 1 0 0 0 2
.
(c) Es seienA,P∈Rn×nundPinvertierbar. Zeigen Sie, dassexp(P−1AP) =P−1exp(A)Pgilt.
(d) Berechnen Sie die Richtungsableitung der Matrixexponentialabbildung in Richtung Aam Punkt 0 (d.h. bei der Nullmatrix).
Aufgabe T6.2
Gegeben seien zwei Funktionen f,F :R3→R, wobei f stetig differenzierbar ist und∇f(x) =x·F(x)für allex ∈R3 gilt. Zeigen Sie, dass f(x) =f(y)für allex,y∈R3mitkxk2=kyk2gilt.
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