Analysis II für M, LaG/M, Ph 1. Tutoriumsblatt

Analysis II für M, LaG/M, Ph 1. Tutoriumsblatt

Fachbereich Mathematik WS 2010/11

Apl. Prof. Christian Herrmann 22.10.2010

Vassilis Gregoriades Horst Heck

Aufgaben Aufgabe T1.1

(a) Sei f :I = [a,b]→K eine Treppenfunktion undλ∈K. Zeigen Sie, dass die Funktion λf auch eine Treppen- funktion ist undR

Iλf =λR

I f.

(b) Sei Z₁={a = x₀< x₁<· · ·< x_n= b} eine Zerlegung des Intervalls I = [a,b]. Seien c₁, . . . ,c_n∈K und eine Funktion f :I →K gegeben, sodass f(x) =c_i für alle x∈(x_i−1,x_i). Für jede Zerlegung Z₂={a= y₀< y₁<

· · ·<y_m=b}des Intervalls [a,b], für die Z₁⊆Z₂gilt, bestimme man d₁, . . . ,d_m∈K, sodass f(x) =d_j für alle x∈(y_j−1,y_j).

Hinweis. Zeigen Sie erstes, dass für jedes j=1, . . . ,mein einzigesi∈ {1, . . . ,n}gibt, sodass[y_j−1,y_j]⊆[x_i−1,x_i]. Daraus kann mand_j bestimmen.

(c) Seien f,g :I = [a,b]→K Treppenfunktionen. Zeigen Sie, dass die Funktion f +g auch Treppenfunktion ist und

Z

I

(f +g) = Z

I

f + Z

I

g.

Hinweis. Zeigen Sie, dass es eine gemeinsame Zerlegung Z={a=z₀<z₁<· · ·<z_N =b} des Intervalls[a,b] und a₁, . . . ,a_N, b₁, . . . ,b_N∈Kgibt, sodass f(x) =a_k und g(x) =b_k für alle x∈(z_k−1,z_k).

(d) Seien f,g:I→KTreppenfunktionen undλ,µ∈K. Zeigen Sie, dass die Funktionλf+µgauch Treppenfunktion ist und

Z

I

(λf +µg) =λ Z

I

f +µ Z

I

g.

(e) Es seien f,g:I→Ksprungstetige Funktionen undλ,µ∈K. Zeigen Sie, dass Z

I

(λf +µg) =λ Z

I

f +µ Z

I

g.

(f) Zeigen Sie, dass es für jede Treppenfunktion f :I→Kdie Funktion|f|auch Treppenfunktion ist und

| Z

I

f| ≤ Z

I

|f|

gilt.

Aufgabe T1.2 (Lemma 30.11)

(a) Sei eine Menge A6=; und eine Funktion f :A→ R, die nicht beschränkt ist. Zeigen Sie, dass es eine Folge (xn)n∈N⊆Agibt, sodass |f(xn)| → ∞.

(b) Sei eine Menge A6=; und eine Funktion f :A→R, die nicht beschränkt ist. Zeigen Sie, dass es eine monotone Folge(y_n)n∈N⊆Agibt, sodass|f(y_n)| → ∞.

Hinweis. Benutzen Sie Lemma 10.8.

(c) Sei eine Funktionf :[a,b]→R, die nicht beschränkt ist. Zeigen Sie, dass es eine monotone Folge(x_n)n∈N⊆[a,b] und ein x₀∈[a,b]gibt, sodass x_n→x₀und|f(x_n)| → ∞.

(d) Sei eine Funktion f :[a,b]→R, die nicht beschränkt ist. Zeigen Sie, dass f nicht sprungstetig ist. Also ist jede sprungstetige Funktion beschränkt.

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