Analysis II für M, LaG/M, Ph 13. Tutoriumsblatt

Analysis II für M, LaG/M, Ph 13. Tutoriumsblatt

Fachbereich Mathematik WS 2010/11

Prof. Dr. Christian Herrmann 4.2.2011

Vassilis Gregoriades Horst Heck

Aufgaben

Aufgabe T13.1

Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Viertelkreises mit dem Radiusr>0mit Hilfe des Gaußschen Satzes in der Ebene.

Aufgabe T13.2

Es seiM⊂R²ein grüner Bereich. Ferner erfülleu∈C²(M×R)die folgenden Bedingungen:

∆xu−u_{t t}=0 in M×R, u_t=0 auf ∂M×R. Beweisen Sie: Fürt∈Rist

E(t):=

Z

M

€u_t(x,t)²+k∇xu(x,t)k²Š dx

konstant. (Hierbei beziehen sich∆x:=∂₁²+∂₂²und∇xauf die Ortsvariable x∈M).

Anleitung:

a) Beweisen Sie mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes, dass fürf,g∈C²(M)gilt:

Z

M

〈∇f,∇g〉dx= Z

∂M

f〈~n,∇g〉dS− Z

M

f∆gdx

(Hierbei ist~ndie äußere Normale an M).

b) Zeigen Sie, dass ^{d E}_{d t} =0gilt.

Aufgabe T13.3

Berechnen Sie den Flächeninhalt des GebietsGaus G13.3 mit Hilfe des Greenschen Satzes.

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