Komplexität theorie

(1)

Komplexität ^theorie

^-

Lesung ⁵

Steffen ^Reith

17.5.17

(2)

Beweis

^:

^Sei

^Meine ^nicht ^det ^. TM ^mit

Platzbedarf

^s ¹

und M^' eine TM die die

Raum konstruiobarheit

garantiert

^.

Konstruiere

ein det . TMN die

auf Eingabe

^w ^, ⁿ ⁼ ^Iwl

•

wie

folgt ^arbeitet

1 o_O ^!

ⁱ ^,

^markiere

^scu ⁾

^Band

^zelten

^auf

^Arbeits ^bandt ^via

neo

^° ^\

^wo

•

, ^\

^\ ^o^Io

^/

^o ii

^Simulation

^von ^M ^'^.

, schreibe

alle Konfigurationen

^von

^M auf ^Band

²

µ

ⁱⁱⁱ ^,

^Markiere

^Start

^konfig

^rot

In ^'_an_. iv_,

solange

^es ^noch

rote Konfigurationen gibt

^wieder ^-

ubl

hole ^v_, _und vi ,

(3)

v, sei k die erste rote

Konfiguration

^. ^Markiere

K

grün

vi ,

Markiere

alle unmarkierte

Nachfolge konfigurationen

(

in einem Schritt _erreichbar

! )

von K rot ,

vii ,

Falls

eine ahz ^.

End honfig

^markiert ^ist ^, ^so

akzeptiere

_, ^sonst

^lehne

^ab ^.

Zeitbedarf

^von ^N ^:

Die Anzahl der

Schleifen

^durch

läufe

iy ^- ^v,

ist

^durch ^die

Anzahl

der

konfigs ^beschränkt

, da in

jedem ^Schritt

^eine

Uonfig grün gefärbt

^wird ^⇒

^#

^Schleifen

durchläuft ²⁰⁴

^" ^"

(4)

Grund

3

Schritt Zeitdefarf

i_,

20W

^" ⁾

DSPACELSCNDEDTIME ( 20C

^"

)

ii ,

2004

^" ^.su ) #

Konfigo

^Schritte ^pro

^Kaufig

iii _, Olsen

)

^alle

^Zeichen

^ansehen

iv

,

204C

^"

⁾

^. Olsen

)

^#

konfig

^.

Länge Ronfig

v,

204

^" ⁾ ^. _Olsen_,

)

^#

Konfig

^.

^Test auf

^rot

vi ₎

204C

^" ⁾ ^.Olsen^,

)

^Alle

^Uoufigs durchlaufen

^.

Umfärbeu

vii

2044.06cm

) ^- ^" ^- ^. Test

auf

^ahz

⇒

Zeitbedarf

^:

2044

^" ^.

2094

^" ^. Olsen,

)

^→

zocsad

,

falls

^schier

_logzscus #

(5)

4

Satz

(

Satz von

Savitch )

^: Sei senn

logn

^raum

koustruivbar

,

dann

gilt

NSPACE l _Ski

)

^E

DSPACEUSCND

^?

)

Beweise

Sei

^M ^eine nicht det . TM ^mit

Platzbedarf

^s ^und

w mit lwtn die

Eingabe

^von ^M ^.

Die _folgende ^rehursive Prozedur _test

, ob

Koufig Kz

^von ^M ^mit ^w ^aus

konfig

^K^, ⁱⁿ ^E

^2T ^Schritten

erreichbar

^ist ^,

(6)

boot ^erreichbar ^l ^ke

_, ^kz _, ^t

⁾

⁵

if ^lke

⁼ ⁼

^{Kz )}

¹¹ ⁽

^kz

^ist ^direkter

_Nachfolger

^von ^Ke

⁾

^{

return

true _;

.

richtig

^" ^Mitte

}

el

seif

⁽ ^E- ^=D

² _g

Own ^o_O

return false

; , g.

mit I. ?

^- ^- ^- ^- ^-

?

^Kz

} else

^h

for

^all ⁽

Konfigurationen

^K ^mit

Platzbedarf

^s ⁾

^{

teile

^& ^herrsche ^-0

if

⁽

^erreichbar ^Cke

^, ^K^, ^t ^-¹⁾ ^Xth ^erreichbar

^CK.kz

^, ^t ^-^{1) )}

^l

return ^treu

}

:

^turn

_false

^.

(7)

Sei _nun k_. die Start

konfiguration

^von ^M ^und ^d ^EIN ^, ^so ^dass

zdsc

^" ^der

Raumbedarf

^von ^M ^.

Def

^det ^. ^TM ^N ^wie

_folgt

^:

for

^all

⁽

^awz ^.

Konfigurationen ^k

^von ^M ^mit

Eingabe

^w ^und

Platzbedarf

^scus ⁾

^{) 2}

if ⁽

^erreichbar ^Lka ^, ^K ^, ^d. ^sch

⁾ ⁾ 2 return

^treu _;

}

return false

^.

(8)

Analyse

^d.

^Platz

^: ⁷

• N

muß

^Variablen ^K^,

kr

_, Uz ^und ^t

speichern

^mit

Platzbedarf

Olsen

)

.

Rekurs

_ions

tiefe beträgt

^d.su ⁾ ⁼ ^Olsen ^,⁾

⇒

gesamter Platzbedarf

^: ^0C ⁽ ^sch ⁾

²⁾ ^#

Nun

definieren

^wir

einige spezielle Komplexität

^klassen ^:

DI

^"

. L ⁼ _aeg DSPACE

llogu ⁾

° NL ⁼

def ^NSPACE ^C

Iogu ⁾

•

P

⁼ _eng

DTIMEL nd

^"

)

⁼

^DTIME

⁽

poly )

° ⁼

auf NTIME NP ( noc

^"

)

(9)

°

PSPACE

⁼ _eng

DSPACEC

^noc

)

⁼ NSPACEL noc )

Poly ^non [ _Satz v. Savitch

• EXP ⁼ _aeg DTIME

(

2

n°4 )

• NEXP ⁼ _aeg NTIME ( ²

" ° "

)

Damit ergibt

^sich ^das

^folgende

^Inclusions

^diagramm

^:

IN ^EXP

Fjxp

PSPACE L E NL EPE ^NPE PSPACEEEXPENEXP

iftiiie

S I

NL

in

Komplexität theorie