Komplexität theorie

(1)

Komplexität ^theorie

^-

_Vorlesung ²

26.4.17

Steffen

Reith

(2)

1

Def

^: ^„ Komplexität ^klasse ^" Gegeben ^sei

Io

^-

Komplexität

^, ^T ^-

Algorithmentyp

^lz ^. ^B. ^RAM^, ^TM ^, ^Ruby^, ^C ^, ^... ⁾ ^und ^eine

, ,

Schranken

fht

^t ^; ÎN ^→ ÎN ^, ^dann ^" ^fast îmmer ^.^.

i. almost everywhere

if

^klasse^, ^"

{ ^Fz TOIH ^OIH

)

Eugh

⁾⁼ ag 2

^f

_LI^I ^vom

^f L

_Sprache^ist

^Typ

^total^T ^der^und^und

^f

ês^berechnetês êx ^.êx ^.êinêin

Algorithms

^und

^Algorithms ^ÄGÄIS

^A^A ^vom

Typ ^T ^der ^das ^Wort problem ^von ^L entscheidet und

oiakaetls

Er Eaetz gdw ês êx ^. êin ^no ^7,0 ûnd t.cn ⁾ Ê tzln ⁾

für

^alle ^Nino

(3)

2

FIOI

⁽ ^OH ⁾

⁾

^auf

µ

^Fr

^Ilht ⁾

^{, ,} ^Funktions ^klasse ^"

TETLOHD

⁼ _auf _{Uno TÄ} ⁽ ^k ^. ^t ) _{, ,} Sprach ^klasse ^"

1.3 ^, Deterministische Berechnungen

Für die Rechen zeit eines deterministischen

Algorithmen typs

schreiben _wir DTIME ( kurz ^: ^Zeit) ^und

für

^den

Speicherplatz

DSPACE l _kurz ^: Raum / Platz

)

In d. Theoretischen

Informatik

^werden ^besonders ^die Algorithmen

typen

TM ^und RAM verwendet ( einfache Analyse ^!

)

^. ^Hier ^: ^Ein ^- ^und

(4)

Mehr band ^- ^TM ( ertl ^. ^mit ^luur ^lesbaren ⁾ Eingabe ^band ^und ³ ( ^nur ^schreib

barem)

_Ausgabe band _.

Wird eine mehrstellige Fht berechnet _, ^so ^sind ^die

Argumente

- ( ^* , D _, ⁰ _, E)

auf

^dem _Eingabe ^{band durch}

lrennsymbole separiert

^.

Sei ^M eine L Mehr band ) TM und x eine Eingabe ^instanz ^, ^dann

DTIMEncxg.mg {

A ^" ^÷

dgeaiistanhtes

^,

:p

^M

;

^bei ^Eingabe ^× ^,

undef , sonst

DSPACEncxh.mg {

ttbLYL.ndgeaje.IM#besnuchsteg.ppFefdernndef

, sonst

(5)

Sank

^: ^Sei ^tln ^{) Ii} ⁿ ^, ^dann ^kann

_jede

^Mehr ^band ^TM ^M ⁴

mit DTIMEMH ⁾ ^von ^einer ^1- ^Band ^TM ^M ^' ⁱⁿ DTIMEM ^,

lt

^?

)

^simuliert ^werden ^.

Beweise ^M ^habe ^k ^Bänder , dann ^wird ^M ^' wie

folgt

konstruiert .

M ^' speichert

auf

îhrem ^Band ^die Înhalte ûnd ^Kopf^.

positionen hintereinander

, getrennt ^durch ^ein ^Sonder ^zeichen ( _{z.B. #}

)

^. Ein Schritt ^von ^M bedeutet nun , dass ^M ^'

das gesäumte Band durchlaufen ^muß ^um ^alle Änderungen

auszuführen

^l ^Bandin ^halte ^, Kopfpositionen

)

^.

(6)

Kopf ⁵

M ^: ^ta ri

- ^- - . 1 1 0 ^- ^- ^-

Ftp ^Zellen

On

^- ^- ^.

a-

^. ^# ¹ ⁰ ^# ^b ^b ^# ^- ^- ^- ^- ^-

- . - -

a b b ^- ^- ^- ^-

:

_pf ^Kopfµ

Alphabet

-2=20,1

^, â.^b ^} Âlphabet ^-2^'⁼ ^20,1^, Ê. ¹ , a. b. e. b- } Ein Simulations schritt

benötigt

^Olten ⁾ ^Zeit ^, ^also

^benötigt

die Simulation _von M durch ^M ^' im worst case Olten ) ^. #

Been ^Der letzte Satz

Iäßt

^sich

auf Oltilogt

⁾ ^verbessern^,

Komplexität theorie