Algorithmen und Komplexität

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Algorithmen und Komplexität

Stephan Schulz

stephan.schulz@dhbw-stuttgart.de Jan Hladik

jan.hladik@dhbw-stuttgart.de

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Inhaltsverzeichnis I

1 Einf ¨uhrung 2 Komplexit ¨at

O-Notation

Einschub: Logarithmen Komplexit ¨at anschaulich Dynamisches

Programmieren Rekurrenzen und Divide&Conquer 3 Arrays

4 Listen 5 Sortieren

Einfache Sortierverfahren Sortieren mit Divide-and-Conquer Heaps and Heapsort Sortieren – Abschluss 6 Schl ¨usselmengen/Wert-

Verwaltung

Bin äre Suchb äume Balancierte B äume und AVL-B äume

Hashing 7 Graph-Algorithmen

Minimale Spannb ¨aume

& Algorithmus von Prim K ¨urzeste Wege/Dijkstra 8 Zusammenfassung 9 Einzelvorlesungen

Vorlesung 1 Vorlesung 2 Vorlesung 3 Vorlesung 4 Vorlesung 5 Vorlesung 6 Vorlesung 7 Vorlesung 8 Vorlesung 9 Vorlesung 10

Vorlesung 11 Vorlesung 12 Vorlesung 13 Vorlesung 14 Vorlesung 15 Vorlesung 16 Vorlesung 17 Vorlesung 18 Vorlesung 19 Vorlesung 20 Vorlesung 21 Vorlesung 22

10 L ¨osungen Einfache O-Bestimmung O-Bestimmung Master-Theorem Analyse von Selection-Sort

Einf ¨ugen in AVL-B ¨aume

2

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Semester ¨ubersicht

I Was sind Algorithmen?

I Wie kann man die Komplexit ¨at von Algorithmen beschreiben?

I Platzbedarf

I Zeitbedarf

I Mathematische Werkzeuge zur Komplexit ¨atsanalyse

I Z.B. Rekurrenzrelationen

I Klassifikation von Algorithmen

I Z.B. Brute Force, Greedy, Divide&Conquer, Dynamic Programming

I Ans ¨atze zur Algorithmenentwicklung

I Algorithmen und Datenstrukturen

I Arrays

I Listen

I Suchb ¨aume

I Heaps

I Hashes

I Graphen

3

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Sonstiges zum Kurs

I Begleitendes LaborAngewandte Informatik

I Algorithmentwicklung in C

I Webseiten zum Kurs:

http://wwwlehre.dhbw-stuttgart.de/˜sschulz/algo2018.html

I Folienskript zur Vorlesung

I Aufgaben zum Labor

I Musterl ¨osungen

4

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Literatur

I Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein:Introduction to Algorithms

I 3. Auflage 2009, moderner Klassiker (der Titel l ¨ugt)

I Robert Sedgewick, Kevin Wayne:Algorithms

I 4. Auflage 2011, moderner Klassiker

I Ahnlich auch als¨ Algorithms in C/Java/C++

I Donald Knuth:The Art of Computer Programming

I Die Bibel, seit 1962, Band 1 1968 (3. Auflage 1997), Band 4a 2011, Band 5 geplant f ¨ur 2020 (!)

I Niklaus Wirth:Algorithmen und Datenstrukturen

I Deutschsprachiger Klassiker (1. Auflage 1975), 5. Auflage 2013

5

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Literatur

5

(7)

Literatur

5

(8)

Literatur

5

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Informelle Definition: Algorithmus

I Ein Algorithmus ist ein Verfahren zur L ¨osung eines Problems oder einer Problemklasse

I Ein Algorithmus. . .

I . . . ¨uberf ¨uhrt eine Eingabe in eine Ausgabe

I . . . besteht aus endlich vielen Einzelschritten

I . . . ist ohne tiefes Verst ¨andnis durchf ¨uhrbar

I Jeder Einzelschritt ist wohldefiniert, ausf ¨uhrbar, und terminiert nach endlicher Zeit

I Gelegentliche Forderung: Der Algorithmus terminiert (problematisch)

I Formalisierung: z.B. Turing-Maschine

Alan Turing (1912–1954)

6

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Der Begriff Algorithmus

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

I Mathematiker, Astronom, Geograph

I geboren ca. 780 nahe des Aralsees (heute Usbekistan)

I gestorben ca. 850 in Bagdad

I Latinisiert alsAlgaurizin,Algorismi,Algoritmi

I zahlreiche Werke

I Algoritmi de numero Indorum

I Rechenverfahren

I Algebra

7

(11)

Der Begriff Algorithmus

I zahlreiche Werke

I Rechenverfahren

I Algebra

7

(12)

Der Begriff Algorithmus

I zahlreiche Werke

I Rechenverfahren

I Algebra

7

(13)

Einige Klassen von Algorithmen

I Suchalgorithmen

I Schl ¨ussel in Datenbank

I Pfad in Umgebung/Landkarte/Graph

I Beweis in Ableitungsraum

I Sortierverfahren

I Total

I Topologisch

I Optimierungsverfahren

I Spielpl ¨ane

I Kostenminimierung

I Komprimierung

I Lossy

I Lossless

I Mathematische Algorithmen

I Faktorisierung

I Gr ¨oßter gemeinsamer Teiler

I Gauß-Verfahren

I . . .

8

(14)

Beispiel: Euklids GGT-Algorithmus

I Problem: Finde den gr ößten gemeinsamen Teiler (GGT) (greatest common divisor, GCD) f ür zwei nat ürliche Zahlenaundb.

I Also: Eingabea,b∈N

I Ausgabe:c ∈Nmit folgenden Eigenschaften:

I cteiltaohne Rest

I cteiltbohne Rest

I cist die gr ¨oßte nat ¨urliche Zahl mit diesen Eigenschaften

I Beispiele:

I ggt(12,9) =3

I ggt(30,15) =15

I ggt(25,11) =1

9

(15)

Beispiel: Euklids GGT-Algorithmus

Euklid von Alexandria (ca. 3 Jh. v. Chr.), Elemente

I Berechnung des GGT in Euklids Worten:

Wenn CD aber AB nicht misst, und man nimmt bei AB, CD abwechselnd immer das kleinere vom gr ¨oßeren weg, dann muss (schließlich) eine Zahl

¨ubrig bleiben, die die vorangehende misst.

Elemente, Buch VII, Behauptung 2

10

(16)

Beispiel: Euklids GGT-Algorithmus

Euklid von Alexandria (ca. 3 Jh. v. Chr.), Elemente

I Berechnung des GGT in Euklids Worten:

Wenn CD aber AB nicht misst, und man nimmt bei AB, CD abwechselnd immer das kleinere vom gr ¨oßeren weg, dann muss (schließlich) eine Zahl

¨ubrig bleiben, die die vorangehende misst.

Elemente, Buch VII, Behauptung 2

10

(17)

Beispiel: Euklids GGT-Algorithmus

Euklids Algorithmus moderner:

I Gegeben: Zwei nat ¨urliche Zahlenaundb

I Wenna=b: Ende, der GGT ista

I Ansonsten:

I Seic die absolute Differenz vonaundb.

I Bestimme den GGT vonc und dem kleineren der beiden Werteaundb

DerPharos von Alexandria, Bild: Emad Victor Shenouda

11

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Ubung: Euklids GGT-Algorithmus ¨

I Algorithmus

I Gegeben: Zwei nat ¨urliche Zahlenaundb

I Wenna=b: Ende, der GGT ista

I Ansonsten: Seic die absolute Differenz vonaundb.

I Bestimme den GGT voncund dem kleineren der beiden Wertea undb

I Aufgabe: Bestimmen Sie mit Euklids Algorithmus die folgenden GGTs. Notieren Sie die Zwischenergebnisse.

I ggt(16,2)

I ggt(36,45)

I ggt(17,2)

I ggt(121,55)

I ggt(2,0)

12

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Spezifikation von Algorithmen

Algorithmen k ¨onnen auf verschiedene Arten beschrieben werden:

I Informeller Text

I Semi-Formaler Text

I Pseudo-Code

I Konkretes Programm in einer Programmiersprache

I Flussdiagramm

I . . .

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Euklid als (semi-formaler) Text

I Algorithmus: Gr ¨oßter gemeinsamer Teiler

I Eingabe: Zwei nat ¨urliche Zahlena,b

I Ausgabe: Gr ¨oßter gemeinsamer Teiler vonaundb

1 Wennagleich 0, dann ist das Ergebnisb. Ende.

2 Wennbgleich 0, dann ist das Ergebnisa. Ende.

3 Wennagr ¨oßer alsbist, dann setzeagleicha−b.

Mache mit Schritt 3 weiter.

4 Wennbgr ¨oßer alsaist, dann setzebgleichb−a.

5 Ansonsten:aist gleichb, und ist der gesuchte GGT. Ende.

14

(21)

Euklid als (Pseudo-)Code

def e u c l i d g c d ( a , b ) :

” ” ”

Compute t h e G r e a t e s t Common D i v i s o r o f two numbers , u s i n g E u c l i d ’ s n a i v e a l g o r i t h m .

” ” ” i f a ==0:

r e t u r n b i f b ==0:

r e t u r n a while a ! = b : i f a>b :

a=a−b else:

b=b−a r e t u r n a

15

(22)

Euklid Rekursiv

def e u c l i d g c d r ( a , b ) :

” ” ”

Compute t h e G r e a t e s t Common D i v i s o r o f two numbers , u s i n g E u c l i d ’ s n a i v e a l g o r i t h m .

” ” ” i f a ==0:

r e t u r n b i f b ==0:

r e t u r n a i f a>b :

r e t u r n e u c l i d g c d r ( a−b , b ) else:

r e t u r n e u c l i d g c d r ( b , b−a )

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Panta Rhei

I Flussdiagramm: Graphische Visualisierung des Algorithmus

I Wer findet den Fehler? Was passiert bei A=0,B 6=0?

17

(24)

Panta Rhei

I Wer findet den Fehler?

Was passiert bei A=0,B 6=0?

17

(25)

Panta Rhei

I Wer findet den Fehler?

Was passiert bei A=0,B6=0?

17

(26)

Ubung: Euklids Worst Case ¨

I Wie oft durchl äuft der Euklidsche Algorithmus im schlimmsten Fall f ür ein gegebenesa+bdie Schleife? Begr ünden Sie Ihr Ergebnis!

18

(27)

Das Geheimnis des Modulus

I Dermodulo-Operator ermittelt den Divisionsrestbei der ganzzahligen Division:

I Sei z.B.z=nq+r

I Dann ist

z/n=qmit Restr

I oder auch:

z/n=qundz%n=r

I Alternative Schreibweise:

zdivn=qundzmodn=r

Dividend

Divisor (Zähler)

(Nenner) Modulus

(Rest)

z.B. 15

z.B. 4 z.B. 3

Quotient z.B. 3

19

(28)

Modulus Teil 2

I Eigenschaften:

I Der Divisionsrestmodulonliegt zwischen 0 undn−1

I Aufeinanderfolgende Zahlen

kleinernhaben aufeinanderfolgende Divisionsreste

I Aufeinanderfolgende Zahlen haben meistensaufeinanderfolgende Divisionsreste (Ausnahme: Die gr ¨oßere ist glatt durchnteilbar)

I Verwendung:

I Kryptographie (RSA)

I Hashing

I “Faire” Verteilung aufnT ¨opfe

Dividend

Divisor (Zähler)

(Nenner) Modulus

(Rest)

z.B. 15

z.B. 4 z.B. 3

Quotient z.B. 3

20

(29)

Modulus Teil 3

Beispiele

Divident Divisor Quotient Modulus

0 3 0 0

1 3 0 1

2 3 0 2

3 3 1 0

4 3 1 1

5 3 1 2

6 3 2 0

25 17 1 8

26 17 1 9

27 17 1 10

34 17 2 0

35 17 2 1

Dividend

Divisor (Zähler)

(Nenner) Modulus

(Rest)

z.B. 15

z.B. 4 z.B. 3

Quotient z.B. 3

21

(30)

Modulus Teil 3

Beispiele

0 3 0 0

1 3 0 1

2 3 0 2

3 3 1 0

4 3 1 1

5 3 1 2

6 3 2 0

25 17 1 8

26 17 1 9

27 17 1 10

34 17 2 0

35 17 2 1

37 1

Dividend

Divisor (Zähler)

(Nenner) Modulus

(Rest)

z.B. 15

z.B. 4 z.B. 3

Quotient z.B. 3

21

(31)

Modulus Teil 3

Beispiele

0 3 0 0

1 3 0 1

2 3 0 2

3 3 1 0

4 3 1 1

5 3 1 2

6 3 2 0

25 17 1 8

26 17 1 9

27 17 1 10

34 17 2 0

35 17 2 1

37 1 37 0

Dividend

Divisor (Zähler)

(Nenner) Modulus

(Rest)

z.B. 15

z.B. 4 z.B. 3

Quotient z.B. 3

21

(32)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 19 mod 23 = 52 mod 2 = 82 mod 12 = 54 mod 29 = 66 mod 10 = 44 mod 26 = 12 mod 16 = 23 mod 15 = 96 mod 20 = 26 mod 15 = 87 mod 17 = 93 mod 26 = 64 mod 14 = 68 mod 20 = 99 mod 14 = 15 mod 25 = 36 mod 23 = 34 mod 19 = 28 mod 27 = 46 mod 14 = 71 mod 24 = 84 mod 24 = 62 mod 20 = 76 mod 27 = 21 mod 20 = 38 mod 17 = 96 mod 23 = 36 mod 14 = 44 mod 13 = 35 mod 25 = 72 mod 29 = 32 mod 7 =

22

(33)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 =

11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(34)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 =

19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(35)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 =

0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(36)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 =

10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(37)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 =

25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(38)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 =

6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(39)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 =

18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(40)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 =

12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(41)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 =

8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(42)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 =

16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(43)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 =

11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(44)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 =

2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

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(45)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 =

15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

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Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 =

8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

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Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 =

8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

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Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 =

1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

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Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 =

15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

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(50)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 =

13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

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(51)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 =

15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(52)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 =

1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(53)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 =

4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(54)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 =

23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(55)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 =

12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(56)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 =

2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(57)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 =

22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(58)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 =

1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(59)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 =

4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

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(60)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 =

4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

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(61)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 =

8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(62)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 =

5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

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(63)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 =

10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4 Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(64)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 =

14 32 mod 7 = 4 Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(65)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 =

4 Geschafft!

Ende Vorlesung 1

23

(66)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

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(67)

Ubung: Modulus ¨

11 mod 15 = 11 19 mod 23 = 19 52 mod 2 = 0 82 mod 12 = 10 54 mod 29 = 25 66 mod 10 = 6 44 mod 26 = 18 12 mod 16 = 12 23 mod 15 = 8 96 mod 20 = 16 26 mod 15 = 11 87 mod 17 = 2 93 mod 26 = 15 64 mod 14 = 8 68 mod 20 = 8 99 mod 14 = 1 15 mod 25 = 15 36 mod 23 = 13 34 mod 19 = 15 28 mod 27 = 1 46 mod 14 = 4 71 mod 24 = 23 84 mod 24 = 12 62 mod 20 = 2 76 mod 27 = 22 21 mod 20 = 1 38 mod 17 = 4 96 mod 23 = 4 36 mod 14 = 8 44 mod 13 = 5 35 mod 25 = 10 72 mod 29 = 14 32 mod 7 = 4

Geschafft!

Ende Vorlesung 1

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(68)

GGT-Algorithmus von Euklid

I Algorithmus: Gr ¨oßter gemeinsamer Teiler

I Eingabe: Zwei nat ¨urliche Zahlena,b

I Ausgabe: Gr ¨oßter gemeinsamer Teiler vonaundb

1 Wennagleich 0, dann ist das Ergebnisb. Ende.

2 Wennbgleich 0, dann ist das Ergebnisa. Ende.

3 Wennagr ¨oßer alsbist, dann setzeagleicha−b.

4 Wennbgr ¨oßer alsaist, dann setzebgleichb−a.

5 Ansonsten:aist gleichb, und ist der gesuchte GGT. Ende.

24

(69)

Analyse: Euklids GGT-Algorithmus

Seio.B.d.A agr ¨oßer alsbund seigder ggt(a,b)

I Dann gilt:a=m·g undb=n·g f ¨urm,n∈Nundm>n

I Nach einem Schritt ist alsoa= (m−n)gundb=n·g

I gteilt immer nochaundb(Korrektheit!)

I Wennmgroß gegennist, dann durchl ¨auft der Algorithmus viele Schritte, bisa≤bgilt

Geht das auch schneller?

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(70)

Analyse: Euklids GGT-Algorithmus

Geht das auch schneller?

25

(71)

Euklid Schneller

I Beobachtung: Es wird so lange immer wiederbvonaabgezogen, bisa≤bgilt!

I Sei im folgendena⁰ der Originalwert vona

I Wenn wirb i-mal vona⁰abziehen, so gilt also:a⁰ =ib+a

I In anderen Worten:aist der Divisionsrest vona⁰/b!

Wir k ¨onnen also die wiederholten Subtraktionen durch eine Division mit Restberechnung ersetzen!

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(72)

Euklid Schneller

I Beobachtung: Es wird so lange immer wiederbvonaabgezogen, bisa≤bgilt!

I Sei im folgendena⁰ der Originalwert vona

I Wenn wirb i-mal vona⁰abziehen, so gilt also:a⁰ =ib+a

I In anderen Worten:aist der Divisionsrest vona⁰/b!

Wir k ¨onnen also die wiederholten Subtraktionen durch eine Division mit Restberechnung ersetzen!

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(73)

Euklid Schneller in (Pseudo)-Code

def e u c l i d g c d 2 ( a , b ) :

” ” ” Compute t h e G r e a t e s t Common D i v i s o r o f two numbers , u s i n g an improved v e r s i o n od E u c l i d ’ s a l g o r i t h m .

” ” ”

while a ! = b : i f a ==0:

r e t u r n b i f b ==0:

r e t u r n a i f a>b :

a=a%b else:

b=b%a r e t u r n a

27

(74)

Ubung: Euklid Schneller ¨

I Aufgabe: Bestimmen Sie mit dem verbesserten Algorithmus die folgenden GGTs. Notieren Sie die Zwischenergebnisse.

I ggt(16,2)

I ggt(36,45)

I ggt(17,2)

I ggt(121,55)

I ggt(89,55)

def e u c l i d g c d 2 ( a , b ) : while a ! = b :

i f a ==0:

r e t u r n b i f b ==0:

r e t u r n a i f a>b :

a=a%b else:

b=b%a r e t u r n a

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(75)

Gruppen ¨ubung: Analyse von Euklid

I Wie viele Schritte/Schleifendurchl ¨aufe braucht der Euklidsche Algorithmus ungef ¨ahr?

I Fall 1: Naiver Euklid (mit Subtraktiona−b):

I Schlimmster Fall:b=1, dann≈aSchritte

I Fall 2: Verbesserter Algorithmus mitModulus amodb

I Ans ¨atze: Betrachte z.B.max(a,b)odera+bvor und nach einem Schritt

I Wie entwickelt sich dieser Wert?

I Ista≥2b:amodb<b≤a/2

I Ista<2b:amodsb=a−b≤a−a/2≤a/2

I Also:aschrumpft auf h ¨ochstens die H ¨alfte

I Außerdem: Nach dem Schritt istbgr ¨oßergleich dem neuena

I Also: Im n ächsten Schritt schrumpftbauf h öchstens die H älfte

I Zusammen: Nach zwei Schritten ista+bum mindestens den Faktor 2 geschrumpft!

I Wie oft kann eine Ganzzahl sich halbieren, bis 1 herauskommt? Anzahl der Schleifendurchl ¨aufe ist beschr ¨ankt durch 2 log₂(a+b)

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(76)

Gruppen ¨ubung: Analyse von Euklid

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(77)

Gruppen ¨ubung: Analyse von Euklid

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(78)

Gruppen ¨ubung: Analyse von Euklid

I Wie oft kann eine Ganzzahl sich halbieren, bis 1 herauskommt?

Anzahl der Schleifendurchl ¨aufe ist beschr ¨ankt durch 2 log₂(a+b)

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(79)

Gruppen ¨ubung: Analyse von Euklid

I Wie oft kann eine Ganzzahl sich halbieren, bis 1 herauskommt?

Anzahl der Schleifendurchl ¨aufe ist beschr ¨ankt durch 2 log₂(a+b)

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(80)

Ubung: Datenstrukturen ¨

I Zur L ¨osung eines gegebenen Problems kann es verschieden effiziente Algorithmen geben

I Oft wesentlich: Geschickte Organisation der Daten durch geeignete Datenstrukturen

I Ubung: Finden Sie die zu den 5 Namen in Spalte 1 geh ¨orende¨ Ziffernfolge inListe 1. Stoppen Sie Ihre Zeit!

Spalte 1 Dummy 1 Dummy 2 Dummy 3 Dummy 4 Dummy 5

Spalte 2

Mcdonald, Jeffrey Palmer, Katie Pierce, Jaime Schmidt, Tami French, Erica

Spalte 3 Sims, Helen Obrien, Kim Curry, Courtney Brewer, Marcella Thornton, Dwight

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(81)

Ubung: Datenstrukturen ¨

Spalte 1 Stone, Jo Pierce, Jaime Nunez, Glenda Hawkins, Mona Massey, Harold

Spalte 2

30

(82)

Ubung: Datenstrukturen ¨

Spalte 2

30

(83)

Ubung: Datenstrukturen ¨

Spalte 2

30

(84)

Datenstrukturen?

I Liste 1: Unsortiertes Array

I Lineare Suche

I Liste 2: Sortiertes Array

I Bin ¨are Suche (oder auch auch

“gef ¨uhlteInterpolationssuche”)

I Liste 3: Sortiertes Array mit pre-Hashing

I Ditto, aber mit besserem Einstiegspunkt

Wahl der geeigneten Datenstruktur erm ¨oglicht bessere/effizientere Suche!

“Bad programmers worry about the code. Good programmers worry about data structures and their relationships.”

— Linus Torvalds

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(85)

Datenstrukturen?

I Liste 1: Unsortiertes Array

I Lineare Suche

I Liste 2: Sortiertes Array

I Bin ¨are Suche (oder auch auch

“gef ¨uhlteInterpolationssuche”)

I Liste 3: Sortiertes Array mit pre-Hashing

I Ditto, aber mit besserem Einstiegspunkt

Wahl der geeigneten Datenstruktur erm ¨oglicht bessere/effizientere Suche!

“Bad programmers worry about the code. Good programmers worry about data structures and their relationships.”

— Linus Torvalds

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(86)

Komplexit ¨at

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(87)

Komplexit ¨at von Algorithmen

I Fragestellung: Wieteuerist ein Algorithmus?

I Konkreter:

I Wie viele (elementare) Schritte braucht er f ¨ur einen gegebene Eingabe?

I Wie viel Speicherplatz braucht er f ¨ur einen gegebene Eingabe?

I Allgemeiner:

I Wie viele elementare Schritte braucht ein Algorithmus f ¨ur Eingaben einer bestimmten L ¨ange?

I . . . im Durchschnitt?

I . . . schlimmstenfalls?

I Wie viel Speicher braucht ein Algorithmus f ¨ur Eingaben einer bestimmten L ¨ange?

I . . . im Durchschnitt?

I . . . schlimmstenfalls?

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