ef ab cd = +

Hans Walser, [20140817]

Additionstheorem für Verhältnisse im Dreieck Herkunft: R., B.

1 Das Theorem

Die Abbildung 1 zeigt die geometrische Situation:

Abb. 1: Situation Mit den Bezeichnungen der Abbildung 1 gilt:

e

f =^a_b+_d^c

2 Beweisskizze

Die Aussage des Theorems ist affin invariant. Wir können daher mit dem Dreieck der Abbildung 2 arbeiten.

Abb. 2: Beweisfigur

Für den Schnittpunkt S erhalten wir mit einiger Rechnung die Koordinaten:

a

b

c

d e

f

a b

c d

e f

x y

S

R

Hans Walser: Additionstheorem für Verhältnisse im Dreieck 2 / 3

S= ^{ad a+b}( )

ad+bc+bd, ^{bc c+d}( )

ad+bc+bd

( )

vom Punkt R benötigen wir nur die x-Koordinate:

x_R =^{ad a+b}( )

ad+bc

Es ist dann:

e+f e = ^x_x^R

S = ^ad+bc+bd_ad+bc 1+ _e^f =1+_ad+bc^bd Somit ist:

f

e =_ad+bc^bd

e

f =^a_b+_d^c 3 Eine Ungleichung

Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 3.

Abb. 3: Bezeichnungen Dreimalige Anwendung des Additionstheorems liefert:

e₀ f₀ +^e_f¹

1+^e_f²

2 = ^a_a^2,0

2,1 +^a_a^1,0

(

)

(

)

(

)

= _a^a0,1

0,2 +^a_a^0,2

0,1

! "# $≥2# +^a_a^1,2

1,0 +^a_a^1,0

1,2

! "# $≥2# +^a_a^2,0

2,1 +_a^a2,1

2,0

! "# $≥2# ≥6 Gleichheit gilt genau dann, wenn S der Schwerpunkt ist.

A₀

B₀ B₁

B₂

A₁ A₂

S a_2,0

a_2,1 a_0,1 a_0,2

a_1,2

a_1,0

e₀ e₂

f₂ f₀ f₁

e₁

Hans Walser: Additionstheorem für Verhältnisse im Dreieck 3 / 3

4 Bemerkung

Das Theorem erinnert von ferne an den Satz von Ceva. Allerdings sind im Satz von Ceva die relevanten Verhältnisse multiplikativ verbunden.