Uber die Pythagoraszahl von Funktionenkorpern
DiplomarbeitimFach Mathematik
von
Robert Schmaus
Universitat Konstanz
FachbereichMathematik und Statistik
Februar 2001
1. Gutachter: PD Dr. Jochen Koenigsmann
2. Gutachter: Prof.Dr. Alexander Prestel
DievorliegendeArbeitist(End?) StationeinesWeges,denichalleinnichthatte
gehen konnen. Ich mochte mich an dieserStelle beiallen bedanken, die mich
aufdiesemWegstuckweisebegleitetundweitergebrachthaben.
MeinherzlichsterDankgiltHerrnPDDr.JochenKoenigsmannundHerrnProf.
Dr. Alexander Prestel. Jochen Koenigsmann danke ich nicht nur fur die fan-
tastische Betreuung dieser Arbeit und die wertvollenTipps und Anleitungen,
ohne die ich mehr als einmal nicht weitergekommen ware, sondern vorallem
auch fur das lockereund freundschaftlicheArbeitsklima, in dem dies geschah.
Prof.Prestelmochteichdafurdanken,dassermirdiesesspannendeundheraus-
forderndeThemavorgeschlagenunderlauterthatundmirdieGelegenheitbot,
in Vortragen in kleinem Rahmen meine Ergebnissezur Diskussion zu stellen.
DaruberhinausmochteichihmaberauchDanksagenfureineReiheinteressan-
terVorlesungen,diemirzwaroftvielabverlangthaben,diemiraberstetssehr
vielzuruckgegebenhabenundmirsoeinanregendesStudium ermoglichten.
IchmochtedenvielenMenschendanken,durchdiemeinAufenthalt anderUni
Konstanzund meinLeben bereichertwurden. Stellvertretend seinen hier ge-
nannt:UlrikevonLuxburg,FlorianBerchtold,ThomasJacobi,MarkusSchweig-
hofer(dem ich ausserdemeinenBeweisdieserArbeitverdanke),FrankSchuh-
macher, Klausund Sabine von Heusinger,Barbelund Micha, MikeTheNice,
denmeistenjetzigenundehemaligenBewohnernder
"
Freihofstrasse\. Ichdanke
meinerFrauundFreundinChiara.
Ich danke meinen Eltern, die mir dieses Studium erleichtert und ermoglicht
haben.
Kreuzlingen,2.Februar2001
Danksagung iii
Inhaltsverzeichnis v
Einleitung 1
1 Quadratische Formen
uberKorpern 7
1.1 GrundlagenzuquadratischenFormen . . . 7
1.2 DerWittring . . . 10
1.3 Psterformenuber Korpern . . . 16
2 Galois-Kohomologieunddas Cup-Produkt 19 2.1 Galois-Kohomologie . . . 19
2.1.1 ProniteGruppenundModuln . . . 19
2.1.2 InhomogeneundhomogeneKohomologie . . . 21
2.1.3 Kohomologiegruppenin niederenDimensionen . . . 24
2.2 Die exakteKohomologiesequenz. . . 29
2.3 VertraglicheHomomorphismen . . . 33
2.3.1 Restriktion . . . 35
2.3.2 Korestriktion . . . 35
2.4 DasCup-Produkt. . . 37
2.5 Die kohomologischeDimension . . . 40
3 Algebraische K-Theorie 41 3.1 DerMilnorring . . . 41
3.2 Konkrete BeispielevonK n F . . . 45
3.2.1 EndlicheKorper . . . 45
3.2.2 ReellabgeschlosseneKorper. . . 46
3.3 K-GruppenundquadratischenFormen. . . 48
3.4 Die Surjektionk n F !I n =I n+1 . . . 55
4.2 EineobereSchrankefurdiePythagoraszahl . . . 61
Verzeichnisse 67
Index . . . 67
Bibliographie . . . 69
Die Pythagoraszahl, ihre Hintergrunde und die
Milnorsche Vermutung
HorenwirheutedenNamenPythagoras,sodenkenwirunweigerlichaneinrecht-
winkligesDreieck. Auf dieseWeise lernenwir imAllgemeinen den beruhmten
SatzvonPythagoraskennen:
C
B
A b
a
c
SeidasDreieckABC gegeben,wobeiderWinkelin
C gerade
2
betrage. Bezeichnenwir die den Win-
keln in A;B undC gegenuberliegenden Seitenent-
sprechedmita;b undc,sogiltdieGleichung
a 2
+b 2
=c 2
:
Dawir sicherlichvoneinem nicht-degeneriertenDreieck ausgehen, werdenwir
implizit angenommen haben, dass a und b (und folglich c) echt positiv reelle
Zahlen sind. So ergibt sich fur uns eine neue, algebraische Interpretation des
SatzesvonPythagoras: DieSummederQuadratezweiervonNullverschiedener
reeller Zahlen, ist wieder ein Quadrat in R. Oder allgemeiner: Fur n 2 N
und a
1
;::: ;a
n
2 R (wobei o.B.d.A. allea
i
6= 0) gilt:
P
n
i=1 a
i 2
2 R 2
{ eine
Quadratsummebeliebiger(endlicher)LangeistselbsteinQuadrat.
Mitdernotwendigen LangevonQuadratsummeneines
uberQendlich erzeug-
tenKorpersF beschaftigtsichdie vorliegendeDiplomarbeit. Schaen wiruns
zunachsteinen Begrisapparat.
Denition1 Fur einenKorperF bezeichnen wir mit P
F 2
die Menge der
Quadratsummen P
n
i=1 a
i 2
6=0,wo n2N beliebig unda
1
;:::;a
n
2F sind.
Mit k
P
F 2
bezeichnen wir die Menge derQuadratsummen P
n
i=1 a
i 2
6=0, wo
nkund a
1
;:::;a
n
2F sind.
Oensichtlich gilt k
P
F 2
P
F 2
furallek2N. Dawirunsfurdienotwendige
LangevonQuadratsummeninteressieren,stelltsichfurunsdieFrage: Existiert
stetseink2N,sodass k
P
F 2
= P
F 2
? Danngiltnaturlich l
P
F 2
= P
F 2
fur
Denition2 AlsPythagoraszahlvonF bezeichnen wirdie folgende Groe:
p(F):=min (
k2N[f1g
k
X
F 2
= X
F 2
)
;
wobei p(F)=1genau dann,wenn k
P
F 2
( P
F 2
furalle k2N gilt.
DietiefeFrage,obp(F)<1fureine
uberF
0
endlicherzeugteKorpererweite-
rungF F
0
ist,warimausgehenden20. JahrhundertMittelpunktzahlreicher
Ergebnisse und Vermutungen. Es sei im Folgenden stets d := trdeg(F=F
0 ).
AlbrechtPsterbewiesetwa1967,dassp(F)2 d
,fallsF
0
einreellabgeschlos-
senerKorperist(etwaF
0
=R).
FallsF einnicht-reellerKorperist(d.h. 12 P
F 2
),istdieFragederEndlich-
keitderPythagoraszahlschnellgelost:
Denition3 SeiF einnicht-reellerKorper,danndenierenwirdieStufevon
F durch
s(F):=min (
k2N
12
k
X
F 2
)
Fur dieStufeeinesKorpersgiltdannderfolgende
Satz 4 Fur einen nichtreellen Korper F gilts(F)=2 k
fur eink2N.
Beweis: Sei k 2 N so gewahlt, dass 2 k
s(F) < 2 k +1
. Setze n := 2 k
und
' := n <1> = 1;:::;1 (zur Theorie der quadratischen Formen und
derPsterformenvlg.Kapitel1dieserArbeit). NachVoraussetzungexistieren
s=s(F)vieleElemente e
1
;:::;e
s 2F
,sodass0=1+e 2
1
+:::+e 2
s .
Setzea:=1+e 2
1
+:::+e 2
n 1
undb:=e 2
n
+:::+e 2
s
. Sowohlaalsauchbwerden
dannvon'dargestelltundesgilta6=0(andernfallswares(F)<2 k
{ !).
DaPsterformenmultiplikativ sind,giltab=c 2
1
+:::+c 2
n
fur gewissec
i 2F.
Daandererseitsa+b=0ist,giltauchdieGleichung a 2
=ab,alsoist
1= ab
a 2
=
c
1
a
2
+:::+
c
n
a
2
undsomits(F)=n=2 k
.
DieFragenach derPythagoraszahlnichtreellerKorperlasst sichmit Hilfe der
Stufenunfolgendermassenbeantworten:
Die Pythagoraszahlundihre unde 3
Lemma5 Fur einennicht-reellen Korper F gilts(F)p(F)s(F)+1.
Beweis: Fallschar(F)=2,soistp(F)=s(F)=1,denn esgilt
n
X
i=1 a
i 2
= n
X
i=1 a
i
!
2
:
Sei also char(F) 6= 2, s = s(F) und 1 = e
1 2
+:::+e
s 2
. Fur beliebiges
a2 P
F 2
gilt
a=
a+1
2
2
+( 1)
a 1
2
2
=
a+1
2
2
+
e
1 (a 1)
2
2
+:::+
e
s (a 1)
2
2
2 s+1
X
F 2
Angenommenp(F)<s,dannwurdeauchinsbesondereeineDarstellungder 1
alsQuadratsummederLangep(F)existieren,wasvolligabsurdist.
Demnachgiltinsgesamts(F)p(F)s(F)+1.
FallsF einKorperpositiverCharakteristikist,so lasstsich mitdemvorherge-
hendenLemmaeineobereSchrankefurp(F)angeben,dennesgiltdasfolgende
Lemma (daseineAbschwachung von Theorem 3.4aus dem Buch Squares von
A.R.Rajwadedarstellt,vgl.[31]):
Lemma6 s(F)2fur alleKorper F mitchar(F)>0.
Beweis: Seip:=char(F). Oenbargenugtes,dieBehauptungfurF
p
zuzeigen,
wop2N prim.
Fur p=2istwegen 1=1=1 2
allesklar.
Seip>2undx
1
;x
2
2f0;1;:::; p 1
2
gZso dassx
1 2
x
2 2
mod p. Dannist
x
1 2fx
2
; x
2
g. Esgilt x
2
p x
2
mod p;daaber
p x
2 p
p 1
2
= p+1
2
>
p 1
2
;
mussschonx
1
=x
2 sein.
Damitgilt: #fx 2
j0x p 1
2
g=#f 1 y 2
j0y p 1
2 g=
p+1
2 .
Nach dem pidgeon-hole-principle existieren alsoganze Zahlen0x;y p 1
2 ,
sodassx 2
1 y
2
modp,d.h. 1x 2
+y 2
modp.
ZusammenmitLemma5ergibtsichp(F)3furjedenKorperF mitpositiver
Charakteristik. Noch exakter konnenwir sogarimFallF =F
q
werden,woq
Lemma7 p(F
q
)=2fur alleq=p n
,wo p>2primund n1ist.
Beweis: SeiF =F
q
. Wirzeigen,dassF
=(F
) 2
=f(F
) 2
;"(F
) 2
g,wo"kein
Quadrat,aberdieSumme zweierQuadrateist.
BetrachtedazudenGruppenhomomorphismusinF
,derxaufx 2
abbildet. Der
KerndieserAbbildungistf1g,somitgiltj(F
) 2
j= q 1
2
undjFn (F
) 2
j= q 1
2 .
FolglichistF
=(F
) 2
["(F
) 2
fur"2=(F
) 2
undp(F)2.
Betrachtenundie Mengen fx 2
j x2Fgundf" y 2
jy 2Fg. Beide Mengen
habenKardinalitat q+1
2
,alsoistihrSchnittnichtleerundesexistierenx;y2F,
sodassx 2
+y 2
=". Nachdem"2F
n(F
) 2
beliebigwar,folgtp(F)2.
Diegroe ungelosteFrageblieb,obp(F)immerendlichist, fallsF
0
=Q. Den
entscheidendenSchritt machtenColliot-Theleneund Jannsenin ihrem Artikel
Sommesdecarresdanslescorpsdefonctions(1991),wosiedasProblemaufdie
BeantwortungderMilnorschenVermutungen(s.u.) undeinerVermutungKatos
reduzierten, nach derein gewisses
"
hoher-dimensionales Lokal-Global-Prinzip\
furdieKohomolohiegruppeH d+2
(F)gilt(wobeiwiederd=trdeg(F=Q)). Kato
selbstbewiesseineVermutungfurdenFalld=1;Janssenveriziertesiefurden
Falld=2und
"
imPrinzip\furalled2N(vgl.[25,S.37]). UnterVoraussetzung
dieser Vermutung lasst sich fur d 2 die Abschatzung p(F) 2 d+1
zeigen.
(Ausfuhrlichernachzulesenin [24].)
Wir konnen jedoch KatosVermutung vollig umgehen, falls wir uns mit einer
etwas groberen Abschatzung fur p(F) zufrieden geben. Bei dieser, von Jon
Arason vorgeschlagenenBeweisidee (die wir im Kapitel 4 ausfuhren) erhalten
wir die Abschatzung p(F) 2 d+2
. Dabei geht entscheidend die Milnorsche
Vermutung ein (die sich jedoch durch die Arbeit Voevodskys inzwischen zur
Gewissheitgewandelthat).
Da nach dem Satz von Euler-Lagrange p(Q) = 4 ist, ist diese Abschatzung
sicherlichscharffurd=0. Furd=1hatColliot-Thelenegezeigt,dassp(F)7
([7]),unddieseAbschatzungwurdevonPopineinembislangunveroentlichen
Artikel aufp(F)6verscharft. Vermutlich giltaberp(F)5fur d=1, was
wegenp(Q(t))=5(Pourchet1971)auch diekleinsteobereSchrankeware.
(3)
k
n F
(1)
I n
=I n+1
(2)
H n
(F;Z=2Z) [
[
[
^
^ s
n
'
'
' ) rn
w
e
n Wie schon der Satz von Pythago-
ras, betreen die Milnorschen Ver-
mutungen ebenfalls ein Dreieck {
vielmehr: eineMengevon(dreiecki-
gen) Diagrammen. Die Eckpunkte
des Dreiecks (und dieser Arbeit {
dieZierngebenjeweilsdieentspre-
chendeKapitelnummeran)stammenausdenGebietenderTheoriederquadra-
tischenFormen,derGaloiskohomologieundderalgebraischenK-Theorie.
Die Pythagoraszahlundihre unde 5
DieTheoriederquadratischenFormenbeganngrobmiteinemArtikelvonErnst
Witt (1937) mit dem Titel Theorie der quadratischen Formen in beliebigen
Korpern und wurde von Albrecht Pster (1966) weiter ausgefuhrt. Wir be-
trachtenin Kapitel1zunachstdieGrundlagenderquadratischenFormeneines
KorpersF. InAbschnitt1.2schaen wiruns dienotigenVoraussetzungen,um
denWittringW(F)unddessenFundamentalidealI(F)zudenieren. DasKa-
pitelschlietmiteinigenBetrachtungenzuPsterformenundderKonsequenz,
dassdieMengen 2
n
P
F 2
furallen2N Gruppenstrukturaufweisen.
Die allgemeine Kohomologietheorie fuhrten Henri Cartan und Samuel Eilen-
berg 1956 in ihrem Buch Homological Algebra ein, Galois-Kohomologiewurde
von Jean-Pierre Serre (1962, 1964) erstmals diskutiert. Wir werden in Ka-
pitel 2 zunachst pronite Gruppen, Moduln und homogene und inhomogene
Kohomologieeinfuhren. Konkretbetrachtenwirdanndie(allgemeinen)Koho-
mologiegruppen H 0
und H 1
und zeigen fur die GaloiskohomologiegruppeH 1
die Beziehungen H 1
(G
F
;
n )
= F
=(F
) n
und H 1
(G;E
) =1 (Satz 90 von
Hilbert),wobeiG
F
dieabsoluteGaloisgruppevonF,
n
dieGruppedern-ten
Einheitswurzeln und G = Gal(E=F) sind. Zwischen den Gruppen H n
(G;A)
undH n
(S;A)(woS GeineUntergruppeist)denierenwirdann dieAbbil-
dungenRes G
S
undCor S
G
;vonH p
(G;A)H q
(G;B)nachH p+q
(G;A
Z
B)fuhren
wirein Cup-Produkt ein. Mit der Denition der kohomologischenDimension
verlassenwirdiesesKapitel.
DerengeZusammenhangderTheoriederquadratischenFormenundderGalois-
Kohomologietauchtebereits1959ineinemArtikelvonT.A.Springererstmals
auf, Stiefel-Whitney Invarianten quadratischer Formen wurden von Delzant
(1962)eingefuhrtundvonScharlau(1967)genaueruntersucht.
InseinemfundamentalenArtikelAlgebraicK-theoryandquadraticforms(1970)
fuhrteMilnorseineK-GruppenK
n
F undk
n F =K
n F=2K
n
F einesKorpersF
ein und entdeckte die Homomorphismen s
n und r
n
. Wir werden in Kapitel
3dieserArbeit {nebenden Grundlagender algebraischenK-Theorie, einigen
konkreten Beispielen von K-Gruppen und der Siefel-Whitney Invariante w {
nur dieSurjektions
n
einfuhren.
DieExistenzderHomomorphismene
n
warlediglichfurn2bekannt{e
0 ,der
Dimensionsindex,e
1
,die Diskriminante,und e
2
,die Algebrenklasse, waren die
klassischenInvariantenquadratischerFormenineinermodernenVersion.Hierzu
seiauf dieausfuhrlicheEinleitungvonArasonsDissertation([1]) verwiesen.
InseinemArtikelstellteMilnordiefolgendenFragen:
0. IstderDurchschnittaller I n
(F)=0?
1. Ists
n
bijektivfurallen2NundalleKorperF?
2. Istr
n
bijektivfurallen2NundalleKorperF?
Die Frage 0 losten bereits Jon Arason und Albrecht Pster in einem 1971
veroentlichtenArtikelnochbevorsieMilnorsArtikelkannten. EsbliebenFra-
gen1und2,diealsdieMilnorschenVermutungenindie Literatureingingen.
LetztendlichwurdenvonVoevodsky(1996)inseinemArtikelThe MilnorCon-
cectureFrage2,sowievonOrlov,VishikundVoevodskyinMotivic cohomology
of Pster quadratics and Milnor's conjecture on quadratic forms Frage 1 po-
sitiv beantwortet. Umeinen Einblickin die beeindruckendeKomplexitat von
VoevodskysArbeitzuerhalten,seietwaauf[25,S. 33]vewiesen.
Zu den Verweisen innnerhalb dieserArbeitsei angemerkt, dassReferenznum-
mern in runden Klammern stets auf numerierte Gleichungen, ungeklammerte
NummernaberaufDenitionen,Satzeund
ahnlichesverweisen. Zahleninecki-
genKlammernstellenwie
ublich VerweiseaufdasLiteraturverzeichnisdar.
Die Bibliographie dieserDiplomarbeit gehtzwaruber die Anzahl derBucher,
Artikel und Preprints hinaus, die leibhaftig in diese Arbeit eingeossen sind.
Vielmehrstellt sieeineSammlungder{auchimhistorischenSinne{wesentli-
chenArbeitenzudenimFolgendendiskutiertenTheorienundErgebnissendar.
DaandererseitsdieseBibliographiekeineswegseinmathematisches,sondernein
ganzundgargewohnlichesObjektdarstellt,kannsieallerdingskeinenAnspruch
aufVollstandigkeiterheben.
Quadratische Formen
uber
K
orpern
1.1 Grundlagen zu quadratischen Formen
Indiesem Abschnitt fuhren wir die grundlegendenBegrie und Resultateaus
demBereichderquadratischenFormenein. ObwohlwirspaterimWesentlichen
anformalreellenKorperninteressiertsein werden,werdenwirdie Grundlagen
etwasallgemeiner haltenundlediglichvoraussetzen, dassin diesem Kapitel F
stetseinKorpermitcharF 6=2ist(ausoensichtlichenGrunden).
Denition1.1 Eine quadratische Form
uber dem Korper F ist ein Polynom
f 2F[X
1
;:::;X
n
],das homogen vomGrad2ist:
f(X
1
;:::;X
n )=
n
X
i=1 n
X
j=1 b
ij X
i X
j
: (1.1)
Wirwerden imFolgenden stetsdavon ausgehen, dass f keine `unnotigen'Un-
bestimmten enthalt, d.h. dass in (1.1) gilt: Fur jede UnbestimmteX
j
existiert
eini,s.d.b
ij
6=0. nheit danndie Dimensionvonf. Bezeichnung: dimf.
Wo dies nicht zu Missverstandnissen fuhren kann, schreiben wir auch kurz:
f(X)2F[X], woX =(X
1
;:::;X
n ).
Bemerkung 1.2 Oensichtlichgilt fur die in1.1denierteFunktion
f(X)= n
X
i=1 n
X
j=1 1
2 (b
ij +b
ji )X
i X
j :
Durchdie Zuordnung
f 7!M
f
=(a
ij )
i;j :=
b
ij +b
ji
2
konnen wir einer quadratischen Form (eindeutig) eine symmetrische (nn)-
Matrixzuordnen. Furx2F n
istdann f(x)=x T
M
f x.
Denition1.3 Zweiquadratische Formen f;g2F[X]heienaquivalent, falls
dimf =dimg istundeseineMatrixP 2GL
F
(n)gibt,sodassP T
M
f P=M
g .
Bezeichnung: f
= g.
DiefolgendenAussagengeltenbezuglichder
AquivalenzvonquadratischenFor-
men:
Bemerkung 1.4 Seien f;g;h2F[X].
1. f
=g=)detM
g
=c 2
detM
f
furein c2F
.
2.
=
ist eine
Aquivalenzrelation auf dem F-Vektorraum der quadratischen
Formen
uberF,d.h.
i. f
= f
ii. f
=
g=)g
= f
iii. f
= g; g
=
h=)f
= h
Beweis: Vollkommentrivial.
Wirhabengesehen,dassjedequadratischeFormvoneinersymmetrischenMa-
trixuberF reprasentiertwird. WiesichzeigenwirdgibtunsdiesdieMoglich-
keit, unsauf quadratische Formen in Gestalt sogenannter Diagonalformenzu
konzentrieren,welcheinvielemsehreinfach zuhandhabensind.
Denition1.5 Einequadratische Form derGestalt
f(X
1
;:::;X
n )=a
1 X
1 2
+:::+a
n X
n 2
mita
1
;:::;a
n
2F heitDiagonalform. Bezeichnung: f =<a
1
;:::;a
n
>.
DerUrsprungdesNamensDiagonalform wirdunmittelbarklar,wennmansich
dieMatrixdarstellungvon<a
1
;:::;a
n
>betrachtet: EsisteineDiagonalmatrix
mita
ii
=a
i unda
ij
=0furi6=j. FolgenderSatz zeigt,dassjedequadratische
Form
aquivalentzueinerDiagonalformist.
Satz 1.6 Sei f 2F[X] eine quadratische Form der Dimension n. Dann exi-
stieren a
1
;:::;a
n
2F,s.d.f
=
<a
1
;:::;a
n
>ist.
Beweis: M
f
ist symmetrisch, also existiert eine Matrix P 2 GL
F
(n), s.d.
P T
M
f
P Diagonalgestalthat.
Quadratische Formen uber orpern 9
Lemma1.7 Fura;b;a
1
;:::;a
n
;b
1
;:::;b
n
2F gelten
1. <a; a>
=
<1; 1>,fallsa6=0.
2. <a;b>
=
<a+b;(a+b)ab>,fallsa;b;a+b6=0.
3. <a
1
;:::;a
n
>
=<a
1 b
1 2
;:::;a
n b
n 2
>, falls b
1
;:::;b
n 6=0.
Beweis:
1. MitP
1 :=
1
2
a+1
a 1 a 1
a+1
gilt
P
1 T
1 0
0 1
!
P
1
=
a 0
0 a
!
:
WegendetP
1
= 1
2
((a+1) 2
(a 1) 2
)=2a6=0folgtdieBehauptung.
2. Die Matrix P
2 :=
1
1 b
a
ist regular, da detP
2
= a+b 6= 0. Mit
P
2 T
M
<a;b>
P
2
=M
<a+b;(a+b)ab>
folgtdieBehauptung.
3. Oensichtlich ist die Diagonalmatrix P
3
= (p
ij
) regular, wo p
ii
= b
i .
DamitistdieBehauptungklar.
Denition1.8 Sei f eine quadratische Form uber F, a2 F. f stellt a dar,
falls esx
1
;:::;x
n
2F gibt,sodass f(x
1
;:::;x
n
)=aist.
f heit isotrop
uber F,falls es x
1
;:::;x
n
2F gibt, so dass nicht alle x
i
=0
undf(x
1
;:::;x
n
)=0. Ansonstenheit f anisotrop.
Das einfache Beispiel der quadratischen Form f(X
1
;X
2 ) := X
1 2
+X
2 2
zeigt,
dassetwadieEigenschaftIsotropiewesentlichvomjeweiligenKorperFabhangt:
f ist oensichtlich anisotrop
uberR, stellt aberdie 0nichttrivial
uberCdar,
dennf(1;i)=0.
Lemma1.9 Seienf;g quadratische Formen
uber F,f
=
g und a2F
.
1. f stelltadar ()g stellt adar.
2. f isotrop ()g isotrop.
Beweis: MitBemerkung 1.4genugtes,jeweils
"
)\ zuzeigen.
1. SeiM
f
=P T
M
g
P fur einP 2GL
F
(n),won=dimf. Nach Vorausset-
zung existiert x 2 F n
nf0g mit a = f(x) = x T
M
f
x =(Px) T
M
g Px =
g(Px). DaP regularist, istPx6=0,wasdieBehauptungzeigt.
2. Analogzu1.folgtderBeweisaus0=f(x)=g(Px), Px6=0.
Wir fuhren nun noch den Begri der Multiplikativitat quadratischer Formen
ein, der uns im Abschitt
uber eine spezielle Art quadratischer Formen, der
Denition1.10 Sei f eine quadratische Form der Dimension n
uber F und
x
1
;:::;x
n
;y
1
;:::;y
n
Unbestimmte. f heit multiplikativ, falls es Elemente
z
1
;::: ;z
n 2F(x
1
;:::;x
n
;y
1
;:::;y
n
)gibt,s.d.
f(x
1
;:::;x
n )f(y
1
;:::;y
n )=f(z
1
;:::;z
n ):
DemnachisteinequadratischeFormfmultiplikativuber F,fallsf(x)f(y)vonf
uberF(x;y)dargestelltwird. AusdieserTatsachefolgtunmittelbardienachste
Bemerkung 1.11 f multiplikativ uber F,E=F eineKorpererweiterung, dann
istf auch multiplikativ
uberE.
Denition1.12 Eine quadratische Form f heit stark multiplikativ uber F,
falls f(x)f
= f
uber F(x).
Lemma1.13 f starkmultiplikativ =)f multiplikativ.
Beweis: x
1
;:::;x
n
;y
1
;:::;y
n
seien Unbestimmte. Nach Voraussetzung ist
M
f(x)f
=P T
M
f
P fureinP 2GL
F(x)
(n),alsogilt
f(x)f(y)=y T
M
f(x)f y
=(Py) T
M
f (Py)
=f(Py);
alsof(x)f(y)=f(z)furz=Py2F(x;y).
1.2 Der Wittring
Weiter oben sprachen wir uber den F-Vektorraum der quadratischen Formen
uber F. Unser Ziel wird es zunachst sein, auf der Menge der quadratischen
FormeneineneueAdditionundeineMultiplikation zuerklaren,dieunsspater
zurStruktur desWittringesfuhrensoll.
Denition1.14 Seien f;g quadratische Formen. Wir denieren die orthogo-
naleSumme f ?g durch
M
f?g :=
M
f 0
0 M
g
!
:
Esgilt also dimf ?g=dimf+dimg.
Fur n2N denierenwirnf :=f ?:::?f
| {z }
nmal
Insbesonderegilt: <a ;:::;a >?<b ;:::;b >=<a ;:::;a ;b ;:::;b >:
Lemma1.15 Seienf;g;f
1
;f
2
;g
1
;g
2
quadratische Formen
uber F. Danngilt
1. f ?g
= g?f.
2. f
1
=f
2
; g
1
=g
2
=)f
1
?g
1
=f
2
?g
2 .
Beweis:
1. MitE
k
bezeichnenwirdie (kk)-Einheitsmatrix. Seienn:=dimf und
m:=dimg. MitderregularenMatrixP :=
0
E
m En
0
ist
0 E
m
E
n 0
!
M
f 0
0 M
g
!
0 E
n
E
m 0
!
= M
g 0
0 M
f
!
2. Seien P;Q regulare Matritzen, so dass M
f
1
= P T
M
f
2
P und M
g
1
=
Q T
M
g2
QDanngilt
P T
0
0 Q
T
!
M
f2 0
0 M
g2
!
P 0
0 Q
!
= M
f1 0
0 M
g1
!
Lemma1.16 Seif einequadratische Form,n=dimf und a2F
. Es gilt
f stelltadar () 9b
1
;::: ;b
n 1
2F s.d. f
=
<a;b
1
;:::;b
n 1
>:
Beweis:
"
(\ isttrivial.
"
)\ Nach Satz 1.6 gibt esa
1
;:::;a
n
2 F mit f
=
<a
1
;:::;a
n
>, das heit
alsoa= P
n
i=1 a
i x
i 2
furgewissex
i
2F. OhneEinschrankungseiendiea
i
soindiziert,dassx
1
;:::;x
r
6=0und x
r+1
=:::=x
n
=0furein r2N.
NachLemma 1.7.3giltf
=
<a
1 x
1 2
;:::;a
r x
r 2
;a
r+1
;:::;a
n
>unddurch
(r 1)-maligesAnwenden von1.7.2erhalten wirf
=
<a;b
1
;:::;b
n 1
>
furpassendeb
i
2F.
Wir haben bisherden Begriregularlediglichauf Matritzen angewandt. Eine
regulareMatrixistdadurchcharakterisiert,dasssieeinenichttverschwindende
Determinantebesitzt. DiesenBegrisetzenwirnuninvollkommenkanonischer
FormaufquadratischeFormenfort:
Denition1.17 Einequadratische Formf heit regular, fallsdetM
f 6=0.
EinesimpleFolgerungausdem vorhergehendenLemmaistdannfolgendes
Korollar1.18 Sei f einequadratische Form,n=dimf. Danngibt esr2N
undeineregulareFormg,sodass f
g?(n r)<0>ist.
Beweis: Lasst sich mit identischen Bezeichnungen sofort aus dem Beweisvon
Lemma1.16ablesen.
EinesehrwichtigeEigenschaftregularerisotroperFormenzeigtderfolgende
Satz 1.19 Sei f eine regulare quadratische Form. f ist genau dann isotrop,
wenneseinequadratische Formg gibt,sodass f
=<1; 1>?g ist.
Beweis:
"
(\ isttrivial.
"
)\ Sei n = dimf. Da f regular ist, existieren a
1
;:::;a
n 2 F
, so dass
f
=<a
1
;:::;a
n
>. Weiter existieren x
1
;:::;x
n
2F, nichtalle x
i
=0,
sodass0= P
n
i=1 a
i x
i 2
. Seietwax
1
6=0. Dann gilt
a
1
= n
X
i=2 a
i
x
i
x
1
2
)<a
2
;:::;a
n
> stellt a
1 dar
)<a
2
;:::;a
n
>
=
< a
1
;b
1
;::: ;b
n 2
>
)f
=
<a
1
; a
1
>
| {z }
=
<1; 1>
nachLemma1:7:1
?<b
1
;:::;b
n 2
>
| {z }
=:g
DieseVorarbeitwird nunimfolgendenwichtigenResultatzusammengefasst:
Satz 1.20(Witt) Zu jeder quadratischen Form f gibt es r;s 2 N und eine
anisotroperegularequadratische Formg,sodass
f
=
r<0>?s<1; 1>?g:
Dabei sindr;seindeutigund g bis auf
Aquivalenz eindeutigbestimmt.
Beweis: DieExistenzvonr;sundgfolgtsofortausLemma1.18undSatz1.19.
Um die Eindeutigkeit von r;s und g zu zeigen benutzen wir den Wittschen
Kurzungssatz,denwirhiernurangebenundzudessenBeweiswiretwaauf[28]
verweisen.
Kurzungssatz 1.21(Witt) Es seien f;g;h quadratische Formen
uber
F,sodassh?f
=
h?g. Danngiltf
=
g.
Geltenun
f
=r<0>?s<1; 1>?g
=r 0
<0>?s 0
<1; 1>?g 0
mitetwar<r 0
. MitdemKurzungssatzfolgtdann
0 0 0
wasBemerkung1.4widerspricht,dadieDeterminantederlinkenSeiteungleich,
diederrechtenSeitejedochgleichNullist. Alsogiltr=r 0
undnach 1.21also
s<1; 1>?g
= s
0
<1; 1>?g 0
.
Falls nun etwa s < s 0
, dann folgt aus 1.21 g
= (s
0
s) <1; 1>? g 0
, im
Widerspruchzu Lemma1.9 undSatz 1.19,da g anisotrop,<1; 1>?g 0
aber
isotropist. Demnach musss=s 0
und entsprechend desKurzungssatzesg
= g
0
sein,womitdieEindeutigkeitgezeigtist.
Denition1.22 Die quadratische Form g aus dem vorigen Satz 1.20 heit
KernformoderanisotroperKernvonf.
Zusatzlich zur orthogonalen Summe fuhren wir nun eine Multiplikation von
quadratischen Formen ein. Wie wir gesehen haben genugt es, wenn sich die
DenitiondabeilediglichaufdieMultiplikationvonDiagonalformenerstreckt.
Denition1.23 FurDiagonalformen<a
1
;:::;a
n
>,<b
1
;:::;b
m
>denieren
wir
<a
1
;:::;a
n
><b
1
;:::;b
m
>:=<a
1 b
1
;a
1 b
2
;:::;a
1 b
m
;a
2 b
1
;:::;a
n b
m
>
= n
?
i=1 m
?
j=1
<a
i b
j
>
Bemerkung 1.24 Seienf;g;h;f
i
;g
i
Diagonalformen
1. fg
= gf
2. f
1
= f
2
; g
1
= g
2
=)f
1 g
1
= f
2 g
2
3. (f ?g)h
=
(fh)?(gh)
4. f<1; 1>
=(dimf)<1; 1>
Beweis: 1.,3.,und4. sindtrivial. Wir zeigendahernur2. Esseien
f
1
=<a
1
;:::;a
n
> f
2
=<a 0
1
;::: ;a 0
n
>
g
1
=<b
1
;:::;b
m
> g
2
=<b 0
1
;:::;b 0
m
>:
Esgibtein P2GL
F
(n),sodass
P T
M
<a1;:::;an>
P =M
<a 0
1
;:::;a 0
n
>
alsoauch,indemwirbeideSeitenderGleichungmitb
j
multiplizieren
P T
M
<a1bj;:::;anbj>
P =M
<a 0
1 bj;:::;a
0
n bj>
fur alle 1j m. Esgilt daher<a
1 b
j
;:::;a
n b
j
>
=
<a 0
1 b
j
;:::;a 0
n b
j
> fur
allej,unddamit
m
?
j=1
<a
1 b
j
;:::;a
n b
j
>
| {z }
=f1g1
= m
?
j=1
<a 0
1 b
j
;:::;a 0
n b
j
>
| {z }
=f2g1
Analogzeigtmanf
2 g
1
= f
2 g
2
. DieBehauptungfolgtdannmit 1.4.
ImfolgendenschrankenwirunsereBetrachtungauf regularequadratische For-
men ein, ohne dies immer zu erwahnen. Dass dies allerdings nur scheinbar
eineEinschrankungist, zeigtder
Ubergangvonbeliebigenquadratischen For-
menzuihrerDarstellunginDiagonalform: in einerFormf lassenwirlediglich
Summanden derForm0X
j 2
weg, wasdieQualitatvonf aberinkeinerWeise
beeintrachtigt.
Wirstellennuneine
AhnlichkeitsbeziehungzwischenQuadratischenFormenher,
die sich lediglich durch ein Vielfachesder Hyperbolischen Ebene <1; 1> un-
terscheiden. MitanderenWortenbedeutetdies,dasswirunsauf
Ahnlichkeits-
klassen von quadratischen Formen konzentrieren,die sichim wesentlichen nur
in ihrer Kernformunterscheiden. Diese
Ahnlichkeitsklassen werdenspaterdie
ElementedesWittringessein.
Denition1.25 Seienf;gregularequadratischeFormen
uberF. f undgheis-
sen
ahnlich, falls esn;m2Ngibt, sodass f ?n<1; 1>
=
g?m<1; 1>.
Bezeichnung: f g.
OhneMuhe veriziertmandieAussagen derfolgenden
Bemerkung 1.26 Seienf;g;h(regulare)quadratische Formen.
1. f
=
g()f g und dimf =dimg:
2. isteine
Aquivalenzrelation, d.h.
i. f f
ii. f g)gf
iii. f g;gh)f h
KommenwirnunzumZieldiesesAbschnittes,derDenition desWittringes.
Denition1.27 Fur eine quadratische Form f sei f := f
~
f j f
~
fg. Mit
W(F)bezeichnenwirdieMengeder
Ahnlichkeitsklassenregularerquadratischer
Formen
uber demKorper F.
FallsdiesnichtzuUnklarheitenfuhrt, schreibenwirfurW(F)nur W.
Satz 1.28 DieOperationen ?undinduzieren eineAdditionund Multiplika-
tionaufW =W(F)undmachen W damitzu einemkommutativen Ring.
Beweis: Seienf
i
;g
i
(i=1;2)regulareDiagonalformen. Zuzeigenistnoch
f
1 f
2
; g
1 g
2
=) f
1
?g
1 f
2
?g
2
(O
1 )
f
1 g
1 f
2 g
2
(O
2 )
O
1
istoensichtlichrichtig. FurO
2 gilt:
n
1
<1; 1>?f
1
= n
2
<1; 1>?f
2
m
1
<1; 1>?g
1
= m
2
<1; 1>?g
2
furgewissen
i
;m
i
2N. Esfolgtmit Lemma1.24
f
1 g
1
?
=m1dimf1<1; 1>
z }| {
f
1 m
1
<1; 1>?
=n
1 dimg
1
<1; 1>
z }| {
g
1 n
1
<1; 1>?n
1 m
1
=2<1; 1>
z }| {
<1; 1><1; 1>
=(f
1
?n
1
<1; 1>)(g
1
?m
1
<1; 1>)
=(f
2
?n
2
<1; 1>)(g
2
?m
2
<1; 1>)
=f
2 g
2
?(m
2 dimf
2 +n
2 dimg
2 +2m
2 n
2
)<1; 1>
alsogiltf
1 g
1 f
2 g
2 .
Oensichtlich giltfurW: 0
W
=<1; 1>und1
W
=<1>. Wegen
<a
1
;::: ;a
n
>?< a
1
;:::; a
n
>
=
<a
1
; a
1
>?:::?<a
n
; a
n
>
=
n<1; 1>
<1; 1>
istalso <a
1
;::: ;a
n
>=< a
1
;:::; a
n
>in W.
DieOperationen?undsindalsowohldeniertundermoglichendiefolgende
Denition1.29 (W(F);?;) heitWittringvonF.
Beispiel:SeiF =C. Dann istjedesElementinF einQuadratundesgilt
<a
1
;:::;a
2n
>
=
<1; 1;:::;1; 1>
=
n<1; 1>
<a
1
;:::;a
2n+1
>
=
<1; 1;:::;1; 1;1>
=
n<1; 1>?<1>;
alsogibtesinW(C)nurdieKlassen
<a
1
;:::;a
2n
>=0 und <a
1
;:::;a
2n+1
>=1;
d.h.W(C)
=F
2 .
ZumAbschlussunsererBetrachtungquadratischerFormenunddesWittringes
denierenwirnuneinbesonderesIdealdesRingesW(F),dasgenau die
Aqui-
valenzklassender quadratischen Formen von geraderDimension enthalt. Wir
setzenalso
I(F):=f<a
1
;:::;a
2n
>ja
1
;:::;a
2n 2F
g:
Bemerkung 1.30 SeiF einKorper. Danngelten
1. I(F) isteinIdeal vonW(F)
2. W(F)=I(F)
=F
2
3. I(F) isteinmaximalesIdeal.
Beweis:
1. DieIdealeigenschaftvonI =I(F)istklarmitderDenition von.
2. BetrachtedieAbbildung
': W(F) ! F
2
<a
1
;:::;a
n
> 7 ! n mod2
Wiemansofortsieht,ist'einRinghomomorphismusmitKern(')=I(F).
MitdemHomomorphiesatzfolgtdieBehauptung.
3. Folgtsofortaus2.
1.3 Psterformen
uber Korpern
MitderPsterformstellenwirnunnocheinebesondereErscheinungvonquadra-
tischenFormenvor. WirwerdenindiesemAbschnittlediglichaufeinespezielle
EigenartvonPsterformen eingehen,namlich deren Multiplikativitat. Von ihr
ausgehendzeigenwir, dasseineMengevonQuadratsummenderLange(maxi-
mal)2 n
Gruppeneigenschaftenbesitzt.
Denition1.31 Seien a
1
;:::;a
n 2F
:
a
1
;:::;a
n :=
n
O
i=1
<1;a
i
>
heiteinen-fachePsterform.
EinigetrivialeBemerkungen:
i. dima ;:::;a =2 n
Pfisterformen uber orpern 17
ii.
a
1
;:::;a
n
=a
1
a
2
;:::;a
n
=<1;a
1
>a
2
;:::;a
n
=a
2
;:::;a
n
?a
1 a
2
;:::;a
n
wobeia
1 a
2
;:::;a
n
=<a
1
;a
1 a
2
>:::<a
1
;a
1 a
n
>ist.
iii. JedePsterformstellt die1dar.
iv. Wegena
1
;:::;a
n 2F
sindPsterformenregular.
Satz 1.32(Pster) Psterformen
uberKorpernsindstark multiplikativ.
Beweis: WirzeigenmitInduktionnachn: Falls':=a
1
;:::;a
n
anisotrop,
x 2 F (2
n
)
nf0gund A := M
'
, dann gibt esB
x 2 GL
F (2
n
) mit B
x T
AB
x
=
'(x)A.
n=0: Dann ist'=<1>undmitB
x
:=x2GL
F (2
0
)=F
gilt
B
x T
AB
x
=x 2
A='(x)A:
n0: Seiena
1
;:::;a
n
;a2F
und':=a
1
;::: ;a
n
. Dann ist
a
1
;:::;a
n
;a='?a':
NachIVgiltfur ';x6=0undA=M
'
: EsgibtB
x 2GL
F (2
n
)mitB
x T
AB
x
=
'(x)A. Diezu'agehorigeMatrixistalso
~
A:=
A
0 0
aA
.
Seien nun y;z 2 F (2
n
)
, so dass x :=
y
z
6= 0: Dann gilt (' ? a')(x) =
'(y)+a'(z).
Fallsy=0,istnotwendigz6=0undB
z
existiertnachInduktionsvoraussetzung.
SetzeB
x :=
0
Bz aBz
0
,dann istdetB
x
=adetB
z
6=0undesgilt
B
x T
~
AB
x
=
0 B
z T
aB
z T
0
!
A 0
0 aA
!
0 aB
z
B
z 0
!
=
0 aB
z T
A
aB
z T
A 0
!
0 aB
z
B
z 0
!
= aB
z T
AB
z
0
0 a
2
B
z T
AB
z
!
IV
=
a'(z)A 0
0 a
2
'(z)A
!
=('(y)
|{z}
=0
+a'(z))
~
A
=('?a')(x)
~
A
~
Fallsz=0,sofolgtB
x T
~
AB
x
=('a)
~
Amit B
x :=
B
y
0 0
B
y
in analoger
Weise.
Falls y;z 6= 0, liefert B
x :=
B
y
B
z aB
z
C
wo C := (B
z T
A) 1
B
y T
(AB
z ), das
gewunscheErgebnis.
MitLemma 1.13folgtsofort
Korollar1.33 Psterformen
uberKorpernsindmultiplikativ.
Korollar1.34 Sei' einePsterform. Dann istG('):=(Bild(')\F
) eine
Untergruppe vonF
.
Beweis: Seien '(x);'(y) 2 G('), dann gilt'(
x
'(x) ) =
'(x)
'(x) 2
= 1
'(x)
2 G('):
Weiteristwegen
'(x)'(y)='(x)y T
Ay
=y T
'(x)Ay
=y T
B
x T
AB
x y
='(B
x y)
'(x)'(y)2G(').
Fur beliebige ; 2F gilttrivialerweise 2
2
=() 2
und
2
2
=
2
{was
sich umstandlich soausdruckenlasst: Produkte undQuotientenvon Quadrat-
summen derLange 2 0
sindselbstwieder Quadratsummender Lange 2 0
. Mit-
hilfederPsterformenlasstsichdieseAussageaufQuadratsummenderLange
2 n
verallgemeinern. Wir wiederholenzunachstdieDenition 1derEinleitung:
Denition1.35 Fur einen Korper F bezeichnen wir mit P
F 2
die Menge
derQuadratsummen P
n
i=1 a
i 2
6=0,wo n2N und a
1
;:::;a
n
2F sind.
Mit k
P
F 2
bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen P
n
i=1 a
i 2
6=0, wo
nkund a
1
;:::;a
n
2F sind.
Korollar1.36 Mit n2N und
1
;
2 2
2 n
P
F 2
sind auch
1
2
; 1
2 2
2 n
P
F 2
Beweis:
2 n
P
F 2
=G(
n
z }| {
1;:::;1)=G(2 n
<1>). NachKorollar1.34ist 2
n
P
F 2
damiteineUntergruppevonF
.
Galois-Kohomologie und
das Cup-Produkt
2.1 Galois-Kohomologie
2.1.1 Pronite Gruppen und Moduln
Denition2.1 Eine proniteGruppe ist einetopologische Gruppe, die haus-
dorsch,kompakt und totalunzusammenhangendist.
Imklassischen Sinnewird eineproniteGruppedeniertalsderinverseLimes
einesprojektivesSystems endlicher Gruppen,vgl. dazuetwa[12], [32]. Die in
2.1gegebene Charakterisierungproniter Gruppen ist dann eine{ wenn auch
zurklassischenDenition aquivalente{Folgerung.
Beispiele:
1. Oensichtlichistjedediskrete endlicheGruppeGpronit, denn: Diskre-
te topologischeRaume sindhausdorsch,und dieeinzigen topologischen
UnterraumeU vonG,dieoenundabgeschlossensind,sindeinpunktige
Mengen. KompaktfolgtsofortausjGj<1:
2. Galoisgruppen(versehen mit derKrulltopologie, vgl.dazu diefolgenden
Seiten) sind pronit. Dies ist klarim endlichen Fall, denndann ist die
Krulltoplogiediskret. ImunendlichenFallistdie Galoisgruppeaberpro-
jektiverLimesvonendlichen Gruppen.
Lemma2.2 SeiGeinekompaktetopologischeGruppe,H GeineUntergrup-
pe. Danngilt
H oen () H abgeschlossen und [G:H]<1:
Beweis:
"
(\ Sei H abgeschlossen, [G : H] := n 2 N. Dann gibt es ein minimales
Reprasentantensystem
1
;::: ;
n
2G,sodass
G= n
[
i=1
i H:
sei
1
= 1. Also ist GnH = S
n
i=2
i
H abgeschlossen und somit H
oen.
"
)\ SeiH oen.
S
2G
H bildeteineoene
UberdeckungvonG. DaGnach
Voraussetzung kompakt ist, gibt es eine endliche Teiluberdeckung, also
gibtesn2N minimal,sodassG= S
n
i=1
i
H fur gewisse
i
2Gist. Es
folgt[G:H]=n<1.
DaNebenklassenvonH entwedergleichoderdisjunktsind,seiwieder
1
=1. AlsoistGnH = S
n
i=2
i
H oenundsomitH abgeschlossen.
Denition2.3 SeiG eine proniteGruppe. Ein G-Modul isteine (diskrete)
abelsche Gruppe A, auf der G stetig operiert. Also existiert eine (bezgl. der
diskreten Topologie auf A)stetige Abbildung
GA ! A
(;a) 7! a
mit
i. 1a=a
ii. (a)=()a
iii. (a+b)=a+b
Beispiele:
1. JedeabelscheGruppeAistbezuglichdertrivialenOperation(a=afur
alle a2A; 2G) eintrivialer G-Modul.
2. Sei L=F Galoiserweiterung, G := Gal(L=F). Wir versehen G auf die
folgendeWeisemit einerTopologie,derKrulltopologie: DieMengen
fGal(L=L 0
)j2G;L=L 0
endlichgaloissch;LL 0
Fg
bildendieBasisderKrulltopologie. DieMengen
fGal(L=L 0
)jL=L 0
endlich galoissch;LL 0
Fg
bildendemnacheineUmgebungsbasisfur2G. Gistzusammenmitder
KrulltopologieeineproniteGruppe. (Vgl.[12],[32])
Die Gruppen (L;+);(L
;) und ((L);), wo(L) die Gruppe der Ein-
heitswurzelninLbezeichne,sindG-ModulnbezuglichderGaloisoperation
x:=(x)fur 2G;x2L (bzw. x 2(L)),wiesofortausden Homo-
morphieeigenschaftender 2Gfolgt.
WirbezeichnenimFolgendendieKategoriederG-Modulnmit Mod(G).
2.1.2 Inhomogene und homogene Kohomologie
IndiesemAbschnittfuhrenwirdieKohomologiegruppenH n
sowohlzuerstauf
die inhomogene,alsdann auch auf die homogeneWeise ein. Auf beideArten
erhaltmanso(bisaufIsomorphie)dieselbenObjekte,sodasswirimAnschluss
gleichberechtigtauf beideDenitionen zuruckgreifenwerden.
EsseiimFolgendenstetsGeineproniteGruppeundA2Mod(G). Furn0
bezeichneG n
=G:::Gdasn-fachekartesischeProduktvonG,wobeiwir
G 0
:=f1g:=1setzen.
InhomogeneKohomologie
Denition2.4 WirdenierendieadditiveGruppederinhomogenenn-tenKo-
ketten C n
wie folgt:
C n
(G;A):=ff : G n
!Ajf stetigg:
Bemerkung 2.5 Esist stetsC 0
(G;A)
= A.
Beweis: WegenG 0
=1gilt
C 0
(G;A)=ff : 1!Ajf stetigg
=f17!aja2Ag
=A
Denition2.6 Fur n2N istder(n+1)-steKorandhomomorphismus
Æ
n+1 : C
n
(G;A)!C n+1
(G;A)
wohldeniertdurch
(Æ
n+1
f)():=
1 f(
2
;:::;
n+1
)+( 1) n+1
f(
1
;:::;
n )
+ n
X
i=1 ( 1)
i
f(
1
;:::;
i 1
;(
i
i+1 );
i+2
;:::;
n+1 )
fur =( ;:::; )2G n+1
.
Um die Notation
ubersichtlich zu halten fuhren wirdie folgenden Abkurzungen
ein. Ein geordnetesTupel(
k
;:::;
l
)bezeichnen wirkurz mit
[k ;l]
.
Fur (
k
;:::;
i 1
;(
i
i+1 );
i+2
;:::;
l
)schreibenwirimFolgenden (i)
[k ;l]
. Die
Denitiondes(n+1)-sten Korandhomomorphismus schreibt sichdann kurzer
(Æ
n+1
f)():=
1 f(
[2;n+1]
)+( 1) n+1
f(
[1;n]
)+ n
X
i=1 ( 1)
i
f( (i)
[1;n+1]
)
Lemma2.7 Sein2N. Dann giltÆ
n+2 ÆÆ
n+1
=0.
Beweis: Esist
ublich, dieseGleichungdurch dasBeispieln=1zu `beweisen';
jedochwirdausderRechnungunmittelbarklar,dassdieBehauptungfurn>1
aufvolliganalogeWeise {allerdingsmitungleichhohem Aufwand {zuzeigen
ist. Sei alson=1,dannist
(Æ
3 ÆÆ
2 )(f)(
1
;
2
;
3 )=Æ
3 (Æ
2 f)(
1
;
2
;
3 )
=
1 (Æ
2 f)(
2
;
3 ) (Æ
2 f)(
1
;
2 )
(Æ
2 f)(
1
2
;
3 )+(Æ
2 f)(
1
;
2
3 )
=
1 (
2 f(
3 )+f(
2 ) f(
2
3 ))
(
1 f(
2 )+f(
1 ) f(
1
2 ))
(
1
2 f(
3 )+f(
1
2 ) f(
1
2
3 ))
+(
1 f(
2
3 )+f(
1 ) f(
1
2
3 ))
=0
Denition2.8 Fur den Korandhomomorphismus Æ denieren wirdie Gruppe
derinhomogenen n-KozykeldurchZ n
(G;A):=Kern(Æ
n+1 ), d.h.
Z n
(G;A)=ff : G n
!Ajf stetigund Æ
n+1
(f)0 auf G n+1
g:
Weiter setzenwir B n
(G;A):=Bild(Æ
n ), also
B n
(G;A)=ff : G n
!Ajf stetig, f =Æ
n
~
f fur ein
~
f 2C n 1
(G;A)g:
Bemerkung 2.9 Sein>0, danngilt: B n
(G;A)Z n
(G;A)C n
(G;A).
Beweis: DieBeziehungZ n
(G;A)C n
(G;A)istunmittelbarausderDenition
von Z n
ersichtlich. Sei nun f 2 B n
(G;A). Es gibt
~
f 2 C n 1
(G;A), so dass
f =Æ
n
~
f. NachLemma 2.7folgtaber
0=(Æ
n+1 ÆÆ
n )(
~
f)=Æ
n+1 f;
alsogiltf 2Kern(Æ
n+1 )=Z
n
(G;A).
DieseBeziehungenzwischendenUntergruppenZ n
undB n
derKokettengruppe
n
Denition2.10 Dien-te inhomogeneKohomologiegruppeH n
(G;A) desKo-
ketten-Komplexes
0 !C 0
(G;A) !C 1
(G;A) !:::
istdeniertdurch
H n
(G;A):=Z n
(G;A)=B n
(G;A):
Wirschreiben gelegentlichauch H n
(C(G;A);Æ).
HomogeneKohomologie
Denition2.11 Furn2Nheit
^
C n
(G;A):=ff: G n+1
!A jf stetig, f(
0
;:::;
n
)=f(
0
;:::;
n )
fur alle;
i 2Gg
dieGruppe derhomogenenn-tenKoketten.
Erganzend zu den Abkurzungen, die wir in Denition 2.6 eingefuhrt haben
setzenwir hii
[k ;l]
:=(
k
;:::;
i 1
;
i+1
;:::;
l
)furkil.
AnalogzuminhomogenenFalldenierenwirfurallen2NdenKorand-Operator
^
Æ
n+1 :
^
C n
(G;A) !
^
C n+1
(G;A)
durch
(
^
Æ
n+1 f)(
0
;:::;
n+1 ):=
n+1
X
i=0 ( 1)
i
f( hii
[0;n+1]
)
Wie man auf dieselbe Art wie im inhomogenen Fall schnell sieht, gilt wieder
^
Æ
n+1 Æ
^
Æ
n
=0fur allen2N,sodassdurch
0 !
^
C 0
(G;A) !
^
C 1
(G;A) !:::
wiedereinKoketten-Komplexentsteht,dessenn-teKohomologiegruppewirmit
^
H n
(G;A) bezeichnen. Genauergilt
^
H n
(G;A)=
^
Z n
(G;A)=
^
B n
(G;A);
wowieder
^
Z n
(G;A)=Kern(
^
Æ
n+1
) dieGruppe derhomogenen n-Kozykelund
^
B n
(G;A)=Bild(
^
Æ
n
)dieGruppederhomogenenn-Korandersind.
Wieschonerwahnt,giltH n
(G;A)
=
^
H n
(G;A),waswirhiernurandeutungswei-
seausfuhren wollen. DazudenierenwirzueinanderinverseHomomorphismen
zwischenden Koketten-Komplexen(C(G;A);Æ)und(
^
C(G;A);
^
Æ)durch
^
C n
(G;A) n
*
) C
n
(G;A)
wobei
(
n f)(
1
;:::;
n
):=f(1;
1
;
1
2
;:::;
1
2
n ) und
(
n g)(
0
;:::;
n
):=g(
1
0
1
; 1
1
2
;:::; 1
n 1
1 ):
Damiterhaltenwir
H n
(G;A)=H n
(C(G;A);Æ)
=H n
(
^
C n
(G;A);
^
Æ)
=
^
Z n
(G;A)=
^
B n
(G;A)=
^
H n
(G;A):
2.1.3 Kohomologiegruppen in niederen Dimensionen
1. InBemerkung2.9 wurdederFalln=0zwarausgenommen,dochmacht
die Denition der Kohomologiegruppeauch fur diesen Fall Sinn und es
gilt: H 0
(G;A)
= A G
, wo A G
:= fa 2 A j a = afur alle 2 Gg der
G-invarianteTeilvonAist.
Beweis: B 0
(G;A) =Bild(Æ
0 )
= C
1
(G;A)=0. Weiter istnach Bemer-
kung2.5C 0
(G;A)
=
Aunddamit
Z 0
(G;A)=Kern(Æ
1 )
=ff : 1!Aj(Æ
1
f)()=f f =0fur 2Gundf 2C 0
g
=
fa2Aja a=0furalle2Gg
=A G
DemnachgiltH 0
(G;A)=Z 0
=B 0
= A
G
.
2. Seif 2C 1
(G;A),dann giltnachDenition 2.6
(Æ
2 f)(
1
;
2 )=
1 f(
2 )+f(
1 ) f(
1
2 ):
Weitergilt
f 2Z 1
(G;A) () (Æ
2 f)0
() f(
1
2 )=
1 f(
2 )+f(
1
): (2.1)
Eine stetige Abbildung,die(2.1)erfullt, heit gekreuzter (verschrankter)
Homomorphismus.
B 1
(G;A)istgleichderMenge
ff : G!Aj9a2A
= C
0
s.d. (Æ
1
a)()=a a=f()f.a. g;
dasheitalso
B 1
(G;A)= (
G ! A
a2A
)
Alsokann man H 1
(G;A) auassenalsdie gekreuzten Homomorphismen
vonGnach A modulo den Abbildungen f
a
()=a a. FallsG trivial
aufAoperiert,soista=aunddamitB 1
(G;A)=f0g. Weiteristwegen
1 f(
2 )=f(
2 )
H 1
(G;A)=ff : G!Ajf(
1
2 )=f(
2 )+f(
1 )g
=ff : G!Ajf stetigerHomomorphismusg
3. SeiF einKorper,n2N,sodassggT(n;char(F))=:(n;char(F))=1und
n
F, wo
n
die multiplikativeGruppeder n-ten Einheitswurzeln im
algebraischen Abschluss e
F von F bezeichne. G
F
bezeichne die absolute
GaloisgruppevonF.
Insbesondere operiert Gdamit damittrivial auf F
, ebenso wieauf
n .
Wiein Beispiel2gezeigtgiltdemnach:
H 1
(G
F
;
n )
=
Hom(G
K
;
n ):
Betrachtenundie folgendeSequenzvonAbbildungen:
1 1
! (F
) n
2
! F
3
! Hom(G
F
;
n )
4
! 1
x 7 ! x 7 !
"
x :G
F
!
n
7!
( n p
x)
n p
x
#
Diese Sequenz ist exakt (zum Exaktheitsbegri vgl. Denition 2.14 im
folgenden Abschnitt
uber exakte Sequenzen), das heit
2
ist injektiv,
3
surjektiv und Kern(
3
) = Bild(
2 ) = (F
) n
. Nach dem Homomor-
phiesatzfolgtdaraus,dassH 1
(G
F
;
n )
=
Hom(G
F
;
n )
= F
=(F
) n
ist
(woraufwir imHauptteildieserArbeitzuruckgreifenwerden). Es bleibt
alsodieExaktheitderobigenSequenzzuzeigen:
i. Bild(
1
)=1=Kern(
2
)istklar.
ii. Bild(
2 )=(F
) n
=Kern(
3 ),denn
x2Bild(
2 ) ()
n p
x2F
() (
n p
x)
n p
x
=1furalle2G
F
()
x 1
iii. Zu zeigen bleibt, dass
3
surjektiv ist. Sei also 2 Hom(G
F
;
n ).
DasBildvonisteineUntergruppevon
n
,unddaherebenfallszy-
klisch, etwavom Gradd2N,wodjn. Bild ()istalsoisomorphzu
Gruppederd-ten Einheitswurzeln
d
, undwiridentizierenimFol-
gendenbeideGruppen(undhabensomit
d
n F
). Wirsetzen
vomGradd(zuDetailsbezgl.derBegriezyklischeErweiterungoder
derKummertheorievgl.etwa[16,S.175.]),denn
Gal(
e
F=E)=fjx=x furallex2Eg
=fjx=x furallex2Fix(Kern())g
=Kern()CG
F
Also ist E=F galoissch und Gal(E=F)
= G
F
=Kern()
=
Bild().
Nach der Kummertheorie folgt, dass E = F( d p
a) fur ein a 2 F
.
Dabeikonnenwiradergestaltwahlen,dassa2=F p
furallePrimteiler
pvonn.
MitderIdentizierung
d ,!
n
erhaltenwiranalogeineEinbettung
Hom(G
F
;
d
),!Hom(G
F
;
n
),undeinCharakter
b ():=
( d p
b)
d p
b 2
Hom(G
F
;
d
)wirddurchdieZuordnungb7!b n
d
zueinemCharakter
inHom(G
F
;
n ),denn
b n
d ()=
( n p
b n
d
)
n p
b n
d
= (
d p
b)
d p
b
=
b ():
Betrachtenun
a
. Danngilt
2Kern(
a ))
a ()=1
)( n p
a)= n p
a
)( d p
a)=( n p
a) n
d
= d p
a
)2Kern()
Demnach ist Kern(
a
) Kern(), und nach Wahl von a ist die
ErweiterungF(
n p
a)=F( d p
a)vomGrad n
d .
EinbeliebigerCharakter :G
F
!
d
istschon eindeutigbestimmt
durchdieAngabeseinesKernesundseinerAktionaufG
F
=Kern().
MitG
F
=Kern()
=Gal(E=F)betrachtedieAbbildung
: Gal(E=F) !!
d
<
n
7 ! ()
wo2. Analog:
a
: Gal(E=F) !!
d
7 !
(
d p
a)
d p
a
Es gilt: Gal(E=F)=h
0
i fur ein
0 2G
F
. Seiennun 0<i;j <d
mit i6=j und(i;d)=(j;d)=1. Dann ist Kern(
a
i)=Kern(
a j),
daF(
d p
a i
)=F(
d p
a j
)=F( d p
a). Angenommen
a i=
a
j. Danngilt
fur 2G
F
( d p
a i
)
d p
a i
= (
d p
a j
)
d p
a j
) d r
a i
a j
!
= d r
a i
a j
) d r
a i
a j
2F
)a i
2a j
F d
imWiderspruch zurWahlvoni;j.
Bezeichnen wir mit e
'
die Eulersche '-Funktion, dann gibt es also
e
'
(d)vieleverschiedeneCharakterederForm
a
i. Andererseitskann
esaberinsgesamtnur e
'
(d)vieleCharakteregeben,diesurjektivauf
d
sind. Folglichist=
a
i furein0<i<dmit(i;d)=1.
4. Satz 2.12(Satz 90 von Hilbert) SeiE=F galoissch, G:=Gal(E=F).
DannistH 1
(G;E
)=1.
Beweis: Wirsetzenzunachstvoraus,dassE=F eineendlicheErweiterung
ist.
Seif 2Z 1
(G;E
). DannistÆ
2
f =1,alsogiltfuralle; 2G
f()=f()f(): (2.2)
Aus der linearen Unabhangigkeit von Charakteren (Artin) folgt: Es exi-
stierteinx2E
,sodass
y:=
X
2G
f()x6=0:
Sei2G. Danngiltmit(2.2)
y= X
2G
f()x
= X
2G
f()f() 1
x
=f() 1
X
2G
f()x
=f() 1
y;
daG=G. Alsoist
f()=
y
y
1
= y
1
y 1
Es folgt f 2 B 1
(G;E
) = fh : G ! E
j 9g 2 E
; s.d. h() = g
g g.
Folglich gilt Z 1
(G;E
)B 1
(G;E
) unddie Behauptungfolgt ausBe-
FurE=F unendlichgaloisscherhaltmandieBehauptungdurchden
Uber-
gangzumprojektivenLimes.
WieindergangigenLiteratur(etwain[32,S.246])ublich,habenwirden
vorhergehendenSatzalsSatz 90 von Hilbert bezeichnet. Inseinerklassi-
schen Formulierung, diewirhier alsKorollaranfugen,erscheint
"
Hilbert
90\ infolgenderGestalt:
Korollar 2.13(Hilbert90 klassisch) Sei E=F endlich galoissch und
G=Gal(E=F)zyklisch, etwa G=hi. Seia2E
,dann gilt
N
E=F
(a)=1 () a= b
b
furein gewisses b2E:
N
E=F
bezeichne dabei die Normabbildung, vgl. dazu Abschnitt 2.3.2
uber
die Korestriktion,S. 36.
Beweis: Sein:=#G.
"
(\ N
E=F
(a)=a(a)::: n 1
(a)= (b)
b
2
(b)
(b)
n 1
(b)
n 2
(b) b
n 1
(b)
=1
"
)\ BetrachtedieAbbildung
x: G ! E
l
7 ! l 1
Y
i=0
i
(a)
x ist wohldeniert fur l 1, da x(1) = x(
n
) = Q
n 1
i=0
i
(a) =
N
E=F
(a)=1. Dann gilt
x(
r
s
)=x(
r+s
)
= r 1
Y
i=0
i
(a)
!
r+s 1
Y
i=r
i
(a)
!
= r 1
Y
i=0
i
(a)
!
r
s 1
Y
i=0
i
(a)
!
=x(
r
) r
x(
s
);
nach (2.2) imvorigen Satz ist also x 2 Z 1
(G;E
) und damit x 2
B 1
(G;E
). Dasheit,esexistiertein b2E
,so dassx(
k
)=
k
b
b
fur allek2N. Insbesondereistdamita=x()= b
b
.
2.2 Die exakte Kohomologiesequenz
Denition2.14 SeienA;B;CGruppen(oderRinge,Vektorraume::: ). Eine
Sequenz vonHomomorphismen
A
!B !C
heitexakt, falls Kern( )=Bild()ist.
Lemma2.15 SeiGproniteGruppe. Ist
0 !A i
!B j
!C !0
eineexakteSequenzvonG-Moduln,soinduziertdieseeinelangeexakteSequenz
vonKohomologiegruppen
0 !H 0
(G;A) !H 0
(G;B) !H 0
(G;C)
1
!
H 1
(G;A) !H 1
(G;B) !H 1
(G;C) 2
!:::
k
heitVerbindungshomomorpismus.
Beweis: Wirzeigenzunachst,dassdieSequenz
0 1
!C n
(G;A)
^
!C n
(G;B)
^
!C n
(G;C) 4
!0 (2.3)
exaktf.a. n 2N ist. Wir verstehen die Abbildung^ : C n
(G;A) ! C n
(G;B)
dabeidurchf 7!i(f);fur^entsprechend.
i. Bild(
1
)=0=Kern(^ ),daiinjektiv.
ii. Bild(^ )=Kern(
4 )=C
n
(G;C): Wir mussenzeigen, dass^surjektivist.
Seialsof :G n
!Cstetigund e
C=Bild(f). Dann gilt
G n
=
[
c2 e
C f
1
(c):
Da C diskret und f stetig sind, sind alle f 1
(c) oen in G n
; G n
wird
durchdief 1
(c)in disjunkteTeilmengenzerlegt.
Denieredie Abbildung ~g:G n
!B durch ~g
f 1
(c) :=b
c , wob
c 2j
1
(c)
beliebig(aberfest)gewahltist. Oensichtlichist~gdannstetigunderfullt
^(~g)=f.
iii. Esbleibtzuzeigen: Bild(^)=Kern(^).
"
\: Seif 2C n
(G;A). Dann ist^ (^(f))=j(i(f))=0,daA i
!B j
!C
"
\: Sei g 2 C n
(G;B), s.d. j(g) 0. Z.z.: es gibt f 2 C n
(G;A),
s.d.g=i(f). Betrachte dasDiagramm
G n
B C
A
w
g
(
(
( )
f
w
j
[ [
[ ]
i
Wegen j(g) = 0 ist Bild(g) Kern(j) = Bild(i)
=
A. Mit demselben
Argument,daswirobenfurdieDenitionderAbbildung~gbenutzthaben,
folgtdieExistenzvonf.
Der
UbersichthalberbezeichenwirdieAbbildungen^und^wiedermitiundj.
BetrachtenunfolgendesDiagramm
0
C n
(G;A) C
n
(G;B) C
n
(G;C)
0
0 C
n+1
(G;A) C n+1
(G;B) C n+1
(G;C) 0
0 C
n+2
(G;A) C n+2
(G;B) C n+2
(G;C) 0
w w
i
u
Æn+1
w
j
u
Æn+1
w
u
Æn+1
w w
i
u
Æn+2
w
j
u
Æn+2
w
u
Æn+2
w w
i
w
j
w
(2.4)
Seif 2C n
(G;A)und2G n+1
. Dann gilt
i(Æ
n+1
f)()=i(
1 f(
[2;n+1]
)+( 1) n+1
f(
[1;n]
)+ n
X
k =1 ( 1)
k
f( (k )
[1;n+1]
))
=Æ
n+1
(iÆf)() (2.5)
dainachVoraussetzungG-linearist. EntsprechendesgiltjeweilsfurjundÆ
n+2 ,
d.h.Diagramm(2.4)istkommutativ. Setze
i 0
: H n
(G;A) ! H n
(G;B)
f+B n
(G;A) 7 ! iÆf+B n
(G;B)
i 0
istdamit wohldeniert,dennfurf 2Z n
(G;A)giltÆ
n+1
(iÆf)=i(Æ
n+1 f)=
0, also iÆf 2 Z n
(G;B). Oensichtlich ist wegen (2.5) iÆf 2 B n
(G;B),
falls f 2B n
(G;A). Der Einfachkeithalberidentizieren wirdaherwieder die
Abbildungeniundi 0
undredenuber diewohldeniertenAbbildungen
H n
(G;A) i
! H
n
(G;B)
H n
(G;B) j
! H
n
(G;C)
KommenwirnunzurDenitiondesVerbindungshomomorphismus.
Sei ~c+B n
(G;C) 2 H n
(G;C) und c 2 ~c+B n
(G;C). Dann ist Æ
n+1 c = 0
n
