Lineare Algebra II
Tipps Serie 8
Alessio Mina und Leon Züger, ETH Zürich
Aufgabe 1 +2
Siehe Denition.
Aufgabe 3
Um die Hauptachsentransformation zu berechnen, muss man ein Eigenwertproblem lösen. Hier ist aber sowohl sie Transformation wie auch die rein quadratisce Form gegeben. Deswegen kann man einfach einsetzen und qA(x) =qd(y)überprüfen.
Aufgabe 4
Hauptachsentransformation von Aufgabe 3 ausführen.
Aufgabe 5
Gemäss einen Satz, ist die quadratische Form positiv denite ⇔ alle EW von A>0 sind. Aus Aufgabe 3 sieht man die EW sofort.
Aufgabe 6
a) Welche Dimension hat die Matrix A? Die Elemente auf der Diagonale sieht man sofort. Für die andere Elemente vergiss nicht, dass2x1x2 =x1x2+x2x1
b) Zuerst EW und EV nden. Um die Hauptachsentransformation auszuführen, müssen wir eine orthonormale Eigenbasis nden, anders gesagt muss T orthogonal sein (die Spalten sind zueiendern senkrecht und sind Vektoren mit Betrag 1). Eventuell Gram-Schmidt Verfahren.
c) Gemäss einen Satz, ist die quadratische Form positiv denite⇔ alle EW von A>0 sind.
d) Versuch mit einem in R2 Fall und dann kann man verallgemeinen. Eventuell ndest du Inspiration in der Aufgabe 2.3 auf dem Skript.
Aufgabe 7
Die allgemeine Form von einer Quadrik ist:xTAx+aTx=b. Was sind hierA,aund b? EW und EV nden. Achtung,T muss orthogonal sein (siehe Tipp Aufgabe 6b).
Transformation x=T y ausführen.
Quadratisch ergänzen, ein zweites Koordinatenwechsel denieren.
1
Aufgabe 8
Der Hinweis auf der Serie genügt.
2
