F ¨ur welcheαist die Funktion in Polarkoordinaten f(r, φ) =rαsin(αφ) (1) ein Element ausH1(Ω)

Numerik Partieller Differentialgleichungen, Sommersemester 2011/2012 Aufgabenblatt 5

Prof. Peter Bastian Abgabe 30. Mai 2012

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 ABSCHATZUNG¨ H¹-NORM GEGENH ¨OLDER-NORM

SeiΩ = [a, b]⊂ R. Die H ¨older-Norm einer Funktionf : Ω→ Rf ¨urm∈N, α∈ (0,1]ist gegeben durch

kfk_C^m,α := X

|s|≤m

k∂^sfk∞+ X

|s|=m

sup{|f(x)−f(y)|

|x−y|^α ;x, y∈Ω, x6=y}

.

Sei1< p≤ ∞undα:= 1−_p¹. Dann gibt es eine KonstanteCundx₀ ∈Ω, so dass f ¨urf ∈C¹(Ω) gilt:

kfk_C0,α ≤ |f(x0)|+Ckf⁰k_L^p

Verwenden Sie hierzu die H ¨older-Ungleichung:

Seif ∈L^p(Ω), g∈L^q(Ω)und ¹_p +¹_q = 1, dann giltf g∈L¹(Ω)und kf gk_L1 ≤ kfk_Lpkgk_Lq.

3 Punkte U¨BUNG2 H¹ FUNKTIONEN

SeiΩ⊂R²die Einheitskugel.

1. F ¨ur welcheαist die Funktion in Polarkoordinaten

f(r, φ) =r^αsin(αφ) (1)

ein Element ausH¹(Ω).

2. Auf dem in der Abbildung dargestellten Gebiet Ω soll das Laplace-Problem ∆u = 0 gel ¨ost werden. Auf dem gesamten Rand werden Dirichlet-Randbedingungen verwendet.

Funktion (1) ist eine spezielle Form der harmonischen Funktion g(r, φ) =r^Θπ sin(π

Θφ).

Zeigen Sie, dassgharmonisch ist, also∆u= 0gilt.

Schreiben Sie explizit die Dirichlet-Randbedingungen.

(0,0) Θ

(1,0)

3 Punkte

U¨BUNG3 UNSTETIGEH¹ FUNKTIONEN IN2DUND3D

1. SeiΩ =B(0, R)⊂R², wobei

B(0, R) ={x∈R²| kxk< R}, 0< R < 1 e. Zeigen Sie, dass die Funktion

f(x) = ln

ln 1

r(x) , r(x) =

2

X

i=1

x²_i

!¹₂

inH¹(Ω)ist, obwohl diese Funktion unstetig ist (Singularit¨at in einem Punkt).

2. SeiΩ = B(0, R) ⊂ R³. Finden Sie eine Funktiong = g(x₁, x₂, x₃), die inH¹(Ω)ist und eine Singularit¨at nicht nur in einem Punkt hat, sondern auf einer 1D Kurve.

Hinweis: Inspiration in 1.

6 Punkte U¨BUNG4 LOKALEPK-BASIS

(0,0) (0,1)

(1,0)

Ωˆ

Die lokaleP k-Basis beschreibt auf einemd-dimensionalen Simplex (also Dreieck (2d), Tetraheder (3d), ...) allgemein eine Basis der Polynome vom Grad kleiner gleichk. Sie sind in zwei Dimensionen bez ¨uglich des (in der Abbildung) beschriebenen ReferenzdreiecksΩˆdefiniert (das Dreieck ist also ihr Definitionsgebiet).

In der Dateiuebung05.ccim Ordneruebungen/uebung05/ des aktuellendune-npdeModuls wird ge- zeigt, wie die im Moduldune-localfunctionsvorhandene Implementierung dieser Basis genutzt wer- den kann, um sowohl die Funktionswerte als auch die Ableitungen der einzelnen Basisfunktionen an einer gegebenen Koordinate zu berechnen.

1. Schreiben Sie einen Funktor, welcher zu einer gegebenen P k-Basis bestehend aus den Funk- tionen (ψ_i)i≤n_k mit ψ_i ∈ P^k( ˆΩ) und gegebenen Vektor aus Koeffizienten (α_i)i≤n_k aus R die Funktion

f(x) =

nk

X

i=1

α_iψ_i(x)

berechnet. Ein Skelett dieses Funktors ist bereits in der Datei functors.hh angelegt. Die zu- geh ¨orige Klasse heißt LocalFunctor. Sie m ¨ussen lediglich die operator() Funktion im- plementieren.

2. Nachdem der Funktor implementiert ist, sollten die erzeugten .vtu Dateien korrekte Visuali- sierungen derP k-Basisfunktionen enthalten. Beschreiben Sie qualitativ die charakteristischen Eigenschaften dieser Basisfunktionen.

3. Zeigen Sie, dass dieP k-Funktionen wirklich eine Basis der Polynomek-ter Ordnung auf dem Referenzdreieck darstellen. Implementieren Sie hierzu zun¨achst einen Funktor (analog zu dem derP k-Basis), welcher die Monom-Basisfunktionen auswertet. Verwenden Sie diese dann, um die lineare Unabh¨angigkeit derP k-Funktionen zu zeigen.

10 Punkte