BTU Cottbus
Lehrstuhl Numerische Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
Prof. Dr. G. Bader, F. Kemm, F. Rieper
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
Aufgaben zur Abgabe am 06.01.2006 www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/la1
1. (4 Punkte)
Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum ¨uber dem K¨orper K und f ein Endo- morphismus von V. Zeigen Sie die ¨Aquivalenz der folgenden Aussagen:
a) V = kernf +f(V) b) V = kernf ⊕f(V)
c) f(V) =f f(V)
d) dimf(V) = dimf f(V) 2. (4 Punkte)
Im VektorraumR3 seien die folgenden Vektoren gegeben:
~x1 =
0 0 1
, ~x2 =
0 1 0
, ~x3 =
1 1 1
, ~y1 =
1 0 1
, ~y2 =
1 1 0
, ~y3 =
2 1 1
.
a) Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung f von R3 nach R3 gibt mit f(~x1) =~y1 , f(~x2) =~y2 , f(~x3) =~y3 .
b) Bestimmen Sie kernf und f(R3) sowie die Dimension dieser Unterr¨aume.
c) Zeigen Sie, dass f eine Projektion ist, d. h. es gilt f ◦f =f. 3. (5 Punkte)
Sei V ein Vektorraum ¨uber K, f ein Endomorphismus von V und U <V ein Un- terraum mitf(U)⊂U. Die Elemente des Faktorraums V/U schreiben wir als [~x]∼. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Durch [~x]∼ 7→[f(~x)]∼ wird ein linearer Endomorphismus ˜f von V/U definiert.
b) Sindf|U (die Einschr¨ankung von f aufU) und ˜f injektiv, so ist auchf selbst injektiv.
c) Ist f(U) = U und ˜f surjektiv, so ist auch f selbst surjektiv.
d) Finden Sie eine intuitivere Schreibweise f¨ur die Elemente vonV/U und inter- pretieren Sie diese geometrisch f¨ur den Fall des Anschauungsraums.
4. (4 Punkte)
Sei H := {z ∈ C|Imz > 0} und G die Menge aller Abbildungen von H in die komplexen Zahlen mit
z 7→ az+b
cz+d , wobei a, b, c, d∈R und ad−bc= 1.
Zeigen Sie, dass G mit der Hintereinanderausf¨uhrung ◦ eine Gruppe bildet, und untersuchen Sie, ob diese abelsch ist.
5. (4 Punkte)
Sei (G,·) eine Gruppe und f : G→G ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:
a) Ist f◦f die identische Abbildung, und gibt es zu jedemx∈G ein y∈Gmit x=y−1·f(y),
so gilt
f(x) = x−1 ∀ x∈G . b) Gilt
f(x) = x−1 ∀ x∈G , so ist G abelsch.
