BTU Cottbus
Lehrstuhl Numerische Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
Prof. Dr. G. Bader, F. Kemm, F. Rieper
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
Aufgaben zur Abgabe am 13.01.2006 www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/la1
1. (4 Punkte)
Die Abbildung f :R3 →R4 sei gegeben durch
(x1, x2, x3)T 7→(x1+x2, x1−x3, x2+x3,2x1+x2−x3)T . a) Untersuchen Sief auf Linearit¨at, Surjektivit¨at und Injektivit¨at.
b) Bestimmen Sie den Rang von f, eine Basis des Bildraums und den Kern.
2. (5 Punkte)
Die lineare Abbildungf :R4 →R3 sei definiert durch
f(x) =
1 2 −3 1
0 −1 2 4
2 1 −1 9
x .
a) Man ermittle Basen vonf(R4) sowie kernf und untersuche die Abbildung auf Surjektivit¨at und Injektivit¨at.
b) Der lineare Endomorphismus g des R3 sei gegeben durch
g(x) =
1 2 0
−2 −1 1 1 −2 1
x .
Man finde die Abbildungsmatrix von h= g◦f und untersuche h in gleicher Weise wie f im ersten Aufgabenteil.
3. (4 Punkte)
SeiV ein Vektorraum ¨uber dem K¨orperK. Die Vektoren~x1, . . . , ~xk ∈V seien linear unabh¨angig, ebenso die Vektoren ~xk+1, . . . , ~xm ∈V. Zeigen Sie, dass die Vektoren
~x1, . . . , ~xm genau dann linear unabh¨angig sind, wenn gilt:
[~x1, . . . , ~xk]∩[~xk+1, . . . , ~xm] ={~0}.
4. (5 Punkte)
Welche der folgenden Mengen sind Untervektorr¨aume von CN bzw. CC? a) A=A(N, b1, . . . , bN) :=
(an)∈CN|an=PN
k=1bkan−k∀n > N , N ∈N, b1, . . . , bN ∈C fest,
b) B :=
f ∈CC|f(1 +i) =c , c∈Cfest, c) C :=
f ∈CC|f injektiv , d) D:=
f ∈CC|f hat mindestens eine Nullstelle , e) E :=
f ∈CC|f(z) = 0 bis auf endlich viele z ∈C ,
