1.2 Die Kinematik in einem bewegten Bezugssystem . . . . 3

(1)

Erg¨ anzungen zur Physik I

U. Straumann, 22. Oktober 2013 Physik - Institut Universit¨ at Z¨ urich

Inhaltsverzeichnis

1 Relativbewegungen 2

1.1 Relativit¨ atsprinzip der Mechanik . . . . 2

1.2 Die Kinematik in einem bewegten Bezugssystem . . . . 3

1.3 Die Dynamik in einem bewegten Bezugssystem . . . . 6

1.4 Beispiele und Spezialf¨ alle f¨ ur bewegte Systeme . . . . 7

1.4.1 Gleichf¨ ormig bewegtes System S

r

. . . . 7

1.4.2 Rein translatorisch beschleunigtes System S

_r

. . . . 7

1.4.3 Gleichf¨ ormig rotierendes System S

r

. . . . 7

1.5 Tr¨ agheitseffekte auf der Erde . . . . 9

2 Eigenschaften des Kreisels 11

2.1 Tr¨ agheitstensor und Eulersche Kreisel-Gleichungen . . . . 11

2.2 Der kr¨ aftefreie rotationssymmetrische Kreisel . . . . 15

2.3 Stabilit¨ at der Drehachse f¨ ur K¨ orper ohne Rotationssymmetrie . . . . 17

2.4 Symmetrischer Kreisel im Schwerefeld (Pr¨ azession) . . . . 18

2.5 Rotationsenergie und Energiesatz f¨ ur die allgemeine Drehung . . . . 20

(2)

1 Relativbewegungen

Bei der Diskussion der Newtonschen Prinzipien wurde betont, dass diese nur in einem Inertial- system g¨ ultig sind. Nach dem 1. Newtonschen Prinzip ist das ein solches Koordinatensystem, in dem ein isolierter, also keinen Kr¨ aften unterworfener Massenpunkt sich mit konstanter Ge- schwindigkeit bewegt.

¹

Als Inertialsystem haben wir meist ein auf der Erdoberfl¨ ache veranker- tes Koordinatensystem benutzt

²

. Die mit der Newtonschen Mechanik berechneten Bewegungen stimmten ausgezeichnet mit den Messungen ¨ uberein.

Es stellen sich dann die Fragen: Wie kann man verschiedene Inertialsysteme unterscheiden? Wie lauten die Bewegungsgleichungen in Nicht-Inertialsystemen? Insbesondere die Beantwortung der zweiten Frage ist von grosser praktischer Bedeutung, da wir sehen werden, dass Rechnungen oft vereinfacht werden k¨ onnen, wenn man sie in einem beschleunigten Nicht-Inertialsystem ausf¨ uhrt.

1.1 Relativit¨ atsprinzip der Mechanik

Ein Koordinatensystem k¨ onnen wir uns immer durch Vektoren in einem starren K¨ orper realisiert denken. In einem solchen K¨ orper bleiben per definitionem die Abst¨ ande beliebiger Punktepaare konstant. Wir betrachten zwei Systeme dieser Art, das S-System (z.B. Laborsystem) mit den xyz-Achsen und das relative S

_r

-System mit den x

_r

y

_r

z

_r

-Achsen (Abb. Seite 3). Der Ort eines Massenpunktes m wird durch die Ortsvektoren ~ r und ~ r

r

festgelegt.

Dann gilt ~ r = ~ r

◦

+ ~ r

_r

. (1)

Wir setzen voraus, dass in beiden Systemen die klassische, nicht-relativistische Mechanik gilt, d.h. alle Geschwindigkeiten sind klein gegen¨ uber der Lichtgeschwindigkeit (v c). Dann gelten bis zu einer hohen Genauigkeit die klassischen Vorstellungen von Raum, Zeit und Masse:

a) In beiden Systemen werden die gleichen Massst¨ abe zur L¨ angenmessung verwendet. Das impliziert, dass die Standard-Massst¨ abe von S und S

_r

verglichen werden k¨ onnen.

b) Beide Systeme benutzen die gleiche Zeit. Wenn in S eine Zeit ∆t zwischen zwei Ereignissen beobachtet wird, so wird in S

_r

das gleiche Intevall ∆t

_r

= ∆t gemesen.

c) Der Massenpunkt hat in beiden Systemen die gleiche Masse.

In der Relativit¨ atstheorie sind diese drei Annahmen nicht mehr haltbar, sobald die Geschwin- digkeiten der Gr¨ osse nach mit c vergleichbar werden.

Wir wollen nun annehmen, durch Versuche habe sich erwiesen, dass S ein Inertialsystem sei.

Dann l¨ asst sich sofort zeigen, dass auch S

r

ein Inertialsystem ist, falls es sich gleichf¨ ormig geradlinig gegen¨ uber S bewegt, d.h. wenn gilt

d~ r

◦

dt = ~ v

◦

= konst. (2)

1Vgl. Halliday, Kap. 5-3.

2und dabei die Rotation der Erde als kleinen Effekt vernachlässigt. Ein Labor auf der Erde ist bei genauer Messung jedoch ein beschleunigtes Nicht-Inertialsystem mit den entsprechenden Schein- oder Trägheitskräften.

(3)

Denn zweimalige Differenziation von Gl.(1) liefert d~ r

dt = ~ v = d~ r

◦

dt + d~ r

_r

dt = ~ v

◦

+ ~ v

_r

und d

²

~ r

dt

²

= ~a = d

²

~ r

_r

dt

²

= ~a

_r

.

Aus ~a = ~a

_r

folgt aber, dass die Kr¨ afte F ~ = m~a und F ~

_r

= m~a

_r

in beiden Systemen die gleichen sind; demzufolge gilt auch in S

r

die Newtonsche Mechanik, S

r

ist auch ein Inertialsystem. Alle Koordinatensysteme, die sich gleichf¨ ormig geradlinig gegen¨ uber einem Inertialsystem bewegen, sind also ebenfalls Inertialsysteme. Sie lassen sich nicht unterscheiden, und es ist daher unm¨ oglich festzustellen, ob eines dieser Systeme “absolut in Ruhe” ist. Dies ist das Relativit¨ atsprinzip der Mechanik.

Wenn Gl. (2) gilt, so l¨ asst sich Gl. (1) auch in der Form der Galilei-Transformation

~

r = ~ r

_r

+ ~ v

◦

t (3)

schreiben. Wenn diese Transformationsgleichung zwischen den Systemen S und S

_r

g¨ ultig ist, gilt das Relativit¨ atsprinzip der Mechanik, das man auch in folgenden Worten formulieren kann:

Es ist einem Beobachter unm¨oglich, mit Hilfe von mechanischen Experimenten herauszufinden, ob sein Bezugssystem in Ruhe oder in gleichf¨ormiger Bewe- gung ist.

Mittels anderer Wechselwirkungen wie z.B. elektrodynamischen oder optischen Versuchen ist eine solche Unterscheidung ebensowenig m¨ oglich.

1.2 Die Kinematik in einem bewegten Bezugssystem

Wir behandeln jetzt eine beliebige Bewegung (auch Rotationen und damit beschleunigte Sys- teme) des Systems S

_r

gegen¨ uber dem Inertialsystem S (im Folgenden Ruhe- oder Laborsystem genannt. Ein ausgedehnter K¨ orper mit einer allgemeinen Bewegung hat sechs Freiheitsgrade, 3 der Translation und 3 der Rotation. Es gelte wie oben die klassische Mechanik.

Das bewegte Bezugssystem sei ein starrer Raum S

_r

(x

_r

, y

_r

, z

_r

) (Fahr- zeug), der vom ruhenden System S(x, y, z) aus beschrieben wird mit

~

r

◦

, ~ v

◦

(Ortsvektor und Geschwindigkeit des Ursprungs von S

_r

) und

~

ω (Winkelgeschwindigkeit von S

_r

um eine Achse durch den Ursprung von S

r

). Im relativen System S

r

(x

r

, y

r

, z

r

) wird eine Masse m mit ~ r

r

,

~

v

r

und ~a

r

gekennzeichnet. Im ruhenden System beschreiben ~ r, ~ v und ~a die Masse m. F¨ ur eine reine Translation von S

_r

gilt: ~ v = ~ v

◦

. F¨ ur eine reine Rotation von S

r

gilt f¨ ur einen Massenpunkt: ~ v = ~ ω

×

~ r

r

.

6

- 1

~ ω

S z

x y

6

- 1

S

r

z

_r

x

_r

y

r

7

~ r

◦

~ r

_r

m

u

Der Koordinatenursprung von S

r

liegt auf der Drehachse. Die Winkelgeschwindigkeit ist (im

Gegensatz zum Drehimpuls ~ L

◦

und dem Drehmoment ~ τ

◦

) unabh¨ angig von der Wahl des Bezugs-

punktes.

(4)

Beweis: P

◦

und ´ P

◦

seien zwei beliebige Bezugspunkte mit relativem Verbindungsvektor ~ s.

~ ω

6 -

Sr

zr

xr

~

rr

mt

P◦

@I:@^~^r^´p_~_s^P^´^◦

Die F¨ uhrungsgeschwindigkeit des Fahrzeuges ist

~ v

F

= ~ v

◦

+~ ω×~ r

r

bzw. ~ v

F

= ´ ~ v

◦

+´ ~ ω× ~ r ´

r

; weiter ist ~ v ´

◦

= ~ v

◦

+~ ω×~ s; ~ r ´

r

= ~ r

r−~

s

⇒

~ v

F

= ~ v

◦

+~ ω

×~

r

= ~ v

◦

+ ~ ω

×~

s+ ´ ~ ω

×~

r

r−

~ ω ´

×~

s

⇒

(~ ω

−

~ ω) ´

×~

r

= (~ ω

−

~ ω) ´

×~

s.

Diese Vektorgleichung kann nur dann f¨ ur alle ~ r

r

erf¨ ullt werden, wenn ~ ω = ´ ω ~ gilt, qed.

F¨ ur eine allgemeine Bewegung des Fahrzeuges ist die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes beschrieben durch die Addition

³

der beiden oben angegebenen Terme f¨ ur reine Translation bzw.

Rotation: ~ v

_F

= ~ v

◦

+ ~ ω

×

~ r

r

. Mit der absoluten Zeit

⁴

t = t

r

und unter Beachtung der Tatsache, dass infolge der Drehung d

_r

~ r

_r

dt

⁶⁼

d~ r

_r

dt ist

⁵

, gilt in den beiden Systemen f¨ ur den Ortsvektor, die Geschwindigkeit und den Beschleunigungsvektor eines Punktes:

S(x, y, z) S

r

(x

r

, y

r

, z

r

) Relativbewegung Ort: ~ r(t) = ~ r

◦

+ ~ r

_r

~ r

_r

(t

_r

) = ~ r

_r

(t) Geschwindigkeit: ~ v = d~ r

dt ~ v

r

= d

_r

~ r

_r

dt

_r

= d

_r

~ r

_r

dt Beschleuigung: ~a = d~ v

dt = d

²

~ r

dt

²

~a

_r

= d

r

~ v

r

dt = d

²_r

~ r

r

dt

²

Spezialfall: nur F¨ uhrungsgeschwindigkeit m mit Fahrzeug verbunden

~ v

F

= ~ v

◦

+ ~ ω

×

~ r

r

~ r

r

= konst

~a

F

= d~ v

_F

dt

~vr=0

~ v

r

= ~a

r

= 0

Gefragt wird nun nach der Beziehung zwischen den beiden Systemen. F¨ ur den allgemeinen Fall mit der Masse m und ~ v

_r 6= 0 setzt sich die Geschwindigkeit aus der F¨

uhrungsgeschwindigkeit des Fahrzeugs ~ v

F

und der vom Fahrzeug aus gesehenen Geschwindigkeit ~ v

r

zusammen:

~ v = ~ v

_F

+ ~ v

_r

= ~ v

◦

+ ~ ω

×

~ r

_r

+ ~ v

_r

= ~ v

◦

+ ~ ω

×

~ r

_r

+ d

_r

~ r

_r

:::::::::::::::::

dt

(4) Andererseits kann diese gesamte Geschwindigkeit ~ v auch durch Ableiten des gesamten Ortsvek-

3Beachte, dass~vF,~v◦ und ~ω×~rr alle drei normale polare Vektoren sind, die addiert werden k¨onnen. Axiale Vektoren wie~ωk¨onnen nicht so einfach addiert werden.

4Dies gilt nur fürvc; sonst muss die Relativitätstheorie bemüht werden.

5d~r_r

dt differenziert im ruhenden und ^d^r_dt^~^r^r im bewegten System. Wegen der relativen Bewegung und der Drehung k¨onnen diese beiden Ableitungen nicht identisch sein – wir m¨ussen eine Beziehung zwischen beiden suchen.

(5)

tors im System S berechent werden:

~ v = d

dt (~ r

◦

+ ~ r

r

) = ~ v

◦

+ d~ r

r

::::::::

dt

(5) Die beiden Gleichungen sind gleich, die Beziehung f¨ ur die Transformation der Ableitung vom System S in das System S

_r

lautet also

d~ r

_r

dt = d

_r

~ r

_r

dt + ~ ω

×

~ r

_r

(6)

Dies gilt nicht nur f¨ ur ~ r

_r

sondern auch f¨ ur jeden beliebigen Vektor A ~ d ~ A

dt = d

_r

A ~

dt + ~ ω

×

A ~ (7)

F¨ ur die Beschleunigungen gilt:

•

Absolutbeschleunigung: ~a =

^d~_dt^v

=

^d_dt²^~^r

•

Relativbeschleunigung: ~a

_r

=

^d^r_dt^~^v^r

=

^d_dt²^r^~^r2^r

•

F¨ uhrungsbeschleunigung: ~a

_F

=

^d~_dt^v^F dr~rr

dt =~vr=0

Mit den Gleichungen (4) und (7) kann ein Zusammenhang zwischen den Beschleunigungen ge- funden werden:

Es ist d~ ω

:::

dt

= d

_r

~ ω

dt + ~ ω

×

~ ω

| {z }

=0

= d

_r

~ ω

:::

dt

und ~a = d~ v dt = d~ v

◦

dt + d

dt (~ ω

×

~ r

_r

) + d dt

d

_r

~ r

_r

dt

.

Wende den Operator d

dt von Gl.(7) auf d

_r

~ r

_r

dt an: d

dt d

_r

~ r

_r

dt

= d

_r

dt

d

_r

~ r

_r

dt

+ ~ ω

×

d

_r

~ r

_r

dt

⇒

~a = d~ v

◦

dt + d~ ω

dt

×

~ r

r

+ ~ ω

×

d~ r

r

dt + d

²_r

~ r

r

dt

²

+ ~ ω

×

d

r

~ r

r

dt , mit Gl.(7) f¨ ur A ~ = ~ r

_r

wird ~a = d~ v

◦

dt + d~ ω

dt

×

~ r

_r

+ ~ ω

×

d

_r

~ r

_r

dt + ~ ω

×

(~ ω

×

~ r

_r

) + d

²_r

~ r

_r

dt

²

+ ~ ω

×

d

_r

~ r

_r

dt

~a = d~ v

◦

dt + d~ ω

dt

×

~ r

_r

+ ~ ω

×

(~ ω

×

~ r

_r

)

| {z }

~a

_F

+ 2

·

~ ω

×

d

_r

~ r

_r

dt

| {z }

~a

_C

+ d

²_r

~ r

_r

dt

²

| {z }

~a

_r

(8)

~a = + +

Wir k¨ onnen also zusammenfassen:

~a = ~a

F

+ ~a

r

+ 2

·

~ ω

×

~ v

r

= ~a

F

+ ~a

r

+ ~a

C

(9)

(6)

Die verschiedenen Beschleunigungsterme bezeichnen wir wie folgt:

~a

F

= ~a

T

+ ~a

Z

+ ~a

ω

Fuehrungsbeschleunigung (10)

~a

T

= d~ v

◦

dt Beschleunigung des Ursprungs von S

r

(11)

~a

_Z

= ~ ω

×

(~ ω

×

~ r

_r

) Zentrifugal

−

Beschleunigung (12)

~a

ω

= d~ ω

dt

×

~ r

r

Beschleunigung aufgrund Aenderung von ~ ω (13)

~a

_C

= 2

·

~ ω

×

~ v

_r

Coriolisbeschleunigung (14)

~a

_r

= d

²_r

~ r

_r

dt

²

Relativbeschleunigung, gemessen in S

_r

(15)

Eine Coriolisbeschleunigung ~a

_C

tritt nur dann auf, wenn das bewegte System eine Drehung ~ ω ausf¨ uhrt und der Massenpunkt eine Relativgeschwindigkeit ~ v

r6= 0 hat (und

~ v

r

nicht parallel zu

~

ω liegt).

1.3 Die Dynamik in einem bewegten Bezugssystem

Das Aktionsprinzip der Bewegung eines K¨ orpers mit Masse m im System S ist m~a =

n

X

i=1

F ~

_i

= F ~ mit F ~ gleich den resultierenden ¨ ausseren Kr¨ aften. Dann gilt auch (mit Gl.(9)):

m~a = m(~a

_r

+ ~a

_F

+ ~a

_C

) = F . ~

Ein in S

_r

mitbewegter Beobachter registriert nur die Relativbeschleunigung ~a

_r

und findet deshalb f¨ ur das Aktionsprinzip m~a

r

= F ~

−

m~a

F−m~a_C

bzw. (mit

−m~a_F

=: Z ~ sowie

−m~a_C

=

−2·

m(~ ω

×

~

v

r

) = 2

·

m(~ v

r×

~ ω) =: C) ~

m~a

r

= F ~ + Z ~ + C ~ (Aktionsprinzip im bewegten System). (16)

Z ~ (die F¨ uhrungskraft, in der die Zentrifugalkraft

−m~

ω

×

(~ ω

×

~ r

_r

) enthalten ist) und C ~ (die Co-

rioliskraft) haben die Dimension einer Kraft; sie sind jedoch in S keine wahrhaft existierenden

Kr¨ afte, sondern Schein- oder Tr¨ agheitskr¨ afte, die ein bewegter Beobachter als Korrektur in die

Newtonsche Bewegungsgleichung einf¨ uhren muss, wenn er dort an Stelle der Beschleunigung ~a

die Relativbeschleunigung ~a

_r

einsetzt. Sie haben keine Reaktionskr¨ afte. Obwohl sie nur Schein-

oder Tr¨ agheitskr¨ afte sind, existieren sie als reale Kraft im bewegten System S

r

. Ein beschleunig-

tes Bezugssystem ist kein in sich abgeschlossenes Inertialsystem, es m¨ ussen von aussen Kr¨ afte

wirken, um das System mit Massen zu beschleunigen.

(7)

1.4 Beispiele und Spezialf¨ alle f¨ ur bewegte Systeme

1.4.1 Gleichf¨ormig bewegtes System

S

_r

Es ist ~ v

_F

= ~ v

◦

= konst, folglich ~a

_F

= ~a

_C

= 0 und somit ~a

_r

= ~a. Dann ist auch S

_r

ein Inertialsystem, wie wir schon in Abschnitt 1 diskutiert haben.

1.4.2 Rein translatorisch beschleunigtes System

S

_r

In einem rein translatorisch beschleunigten Bezugssystem gilt ω ~ = 0, C ~ = 0 und damit m~a

_r

= F ~ + Z ~ = F ~

−

m~a

_F

. Mit ~ v

_F

= ~ v

◦

(t) folgt ~a

_F

=

^d~_dt^v◦

= ~a

◦

. Damit sp¨ urt z.B. der Insasse eines mit ~a

◦

beschleunigten Fahrzeuges die Kraft m~a

r

= F ~

−

m~a

◦

. Wenn die auf ihn wirkende Kraft F ~ = 0 ist, erf¨ ahrt er die beschleunigende Tr¨ agheitskraft m~a

_r

=

−m~a_◦

. S und S

_r

sind nicht mehr

¨ aquivalent, in den beiden Systemen werden unterschiedliche Beschleunigungen gemessen.

Beispiel: Mathematisches Pendel auf einer vertikal beschleunigten Plattform

6

x

-

z

A

A A

A AAu

`

?

Z

A A A K

F

^∗

ϕ

?

G

6

a

◦

Es ist Z ~ =

−m~a_◦

=

−ma_◦

~ k und damit die Bewegungsgleichung f¨ ur die Tangentialkomponente

m` d

²_r

ϕ

dt

²

=

−(mg

+ ma

◦

) sin ϕ.

F¨ ur kleine Ausschl¨ age ist sin ϕ

'

ϕ, also d

²_r

ϕ

dt

²

+

g + a

◦

`

ϕ = 0. Mit dem Ansatz

ϕ(t) = ϕ

◦

cos(Ωt

−

δ) ist Ω =

r

g + a

◦

` die Kreisfrequenz des Pendels.

F¨ allt die Plattform frei, so ist g =

−a_◦

, also Ω = 0, d.h. die Schwingungsdauer T =

^2π_Ω

ist unendlich. Der freie Fall merkt keine Gravitationskraft.

1.4.3 Gleichf¨ormig rotierendes System

S

r

Die translatorische Bewegung verschwindet ~ v

◦

= 0. w ~ ist konstant. Wir behandeln zwei Experi- mente auf dem Drehtisch.

a) Ein Massenpunkt m sei auf einer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ~ ω sich drehenden,

horizontalen Unterlage durch eine Feder mit der Drehachse verbunden. m sei relativ zur

Unterlage in Ruhe. Es herrscht scheinbares Gleichgewicht. Im ruhenden System beschreibt

m eine Kreisbahn. Die wahren Kr¨ afte sind, wenn keine Reibungen vorhanden sind,

(8)

6

~ ω

~ r

r -

∼∼∼∼∼ u⁶^-

?

Z ~

N ~ G ~ F ~

_F

G = N und F

F

= m v

²

r = mr

r

ω

²

.

Ein mitbewegter Beobachter muss eine Scheinkraft ein- zuf¨ uhren, um sich die relative Ruhe erkl¨ aren zu k¨ onnen. Es ist

~ v

F

= ~ ω

×

~ r

r

, ~ v

r

= 0, also C ~ = 0

sowie ˙ ~ v

◦

= 0 und

^d~_dt^ω

= 0. Damit ergibt sich die F¨ uhrungskraft aus Gl.(10) zu

Z ~ =

−m~a_F

=

−m[~

ω

×

(~ ω

×

~ r

_r

)] , der Zentrifugalkraft

⁶

. Ihr Betrag ist gerade Z = mr

_r

ω

²

(da ~ ω

⊥

~ r

r

steht). Z ~ und F ~

F

erf¨ ullen also die Gleichgewichtsbedingung im beschleunigten Relativsystem.

b) Vom Ursprung des ruhenden Systems S aus bewegt sich eine Masse m mit konstanter Geschwindigkeit v

◦

, es wirken keine ¨ ausseren Kr¨ afte. Der Beobachter in S

_r

sieht eine spiralf¨ ormig nach aussen bewegte Masse, f¨ ur welche die Geschwindigkeit direkt angege- ben werden kann; in Polarkoordinaten hat sie die Komponenten v

_rr

=

^d^r_dt^r^r

= v

◦

und v

rϕ

= r

rdrϕr

dt

=

−ωr_r

. Nach einer einfachen Integration erh¨ alt man hieraus auch die Ortskoordinaten r

_r

= v

◦

t und ϕ

_r

=

−ωt. Gem¨

ass Gl.(16) gilt f¨ ur den Beobachter das Aktionsprinzip

m~a

_r

= Z ~ + C ~ =

−m~a_F −

m~a

_C

=

−m·

~ ω

×

(~ ω

×

~ r

_r

)

−

2m

·

~ ω

×

~ v

_r

,

d.h. er beobachtet eine Zentrifugalkraft und eine Corioliskraft. Letztere sucht die Richtung der Geschwindigkeit dauernd zu ¨ andern ohne den Betrag zu beeinflussen, wie dies auf der Erde bei den Monsunen, Passatwinden und dem Golfstrom ebenfalls beobachtet wird.

Versucht der Beobachter in S

_r

die Masse festzuhalten, so muss er eine Reaktionskraft zu Z ~ + C ~ aufbringen.

6Zur Zentrifugalkraft: vgl. Formel (6-35) im Halliday, Kap.6-5.

(9)

1.5 Tr¨ agheitseffekte auf der Erde

In den vorausgegangenen Beispielen spielte der H¨ orsaal und damit die Erde die Rolle des ruhenden Systems. Diese Wahl f¨ uhrte zu keinen Widerspr¨ uchen mit der Erfahrung, obwohl die Erde ein bewegtes Bezugssystem ist. Der Grund liegt darin, dass auf der Erde Z und C viel kleiner als mg sind. Es k¨ onnen aber terrestrische Versuche ausgef¨ uhrt werden, die eindeutig die Tr¨ agheitseffekte als Folge des Bewegungszustandes der Erde zeigen.

Ein Beispiel: Nachweis der Erdrotation mit dem Foucaultpendel

N

S m

β ω^→

ω^→

Ein schwingendes Pendel beh¨ alt infolge der Tr¨ agheit seine Schwingungsebene im Raum bei. Dieses eigent¨ umliche Verhal- ten offenbart sich beim Foucault-Versuch

⁷

(1850/51 in Paris).

Ein Ort auf der Erde mit der geographischen Breite β rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω

·

sin β um eine zur Erd- oberfl¨ ache senkrechte Achse; mit dieser Winkelgeschwindigkeit dreht sich die Erde unter dem schwingenden Pendel hinweg. Die effektive Umlaufszeit der Horizontalebene relativ zur Schwin- gungsebene des Pendels in der geographischen Breite β ist T = 2π/ω sin β mit ω = 2π/24 Stunden. Zur Berechnung wurde hier ~ ω bei der geographischen Breite β in die Komponenten senkrecht (ω

⊥

) und parallel (ω

_k

) zur Erdoberfl¨ ache zerlegt.

⁸

Die Pendelebene bleibt bei der Drehung im Raum S erhalten, es gilt die Drehimpulserhaltung und die Drehung ist direkt durch ω

⊥

gegeben. Es gilt f¨ ur die Corioliskraft C ~ = 2m(~ v

r×

~ ω) = 2m(~ v

_r×

ω

⊥

+ ~ v

_r×

ω

_k

), wobei nur der erste Term zu einer Auslenkung f¨ uhrt. F¨ ur Z¨ urich mit β

≈

47

^◦

ist T = 34h, am Pol erhalten wir T = 24h und am ¨ Aquator T =

∞.

Die Corioliskraft ist auch die Ursache daf¨ ur, dass Hochdruckgebiete auf der Nordhalbkugel im Uhrzeigersinn rotieren, Tiefdruckgebiete in Gegenrichtung. Bei einem Tiefdruckgebiet str¨ omt die Luft aufgrund des Druckgef¨ alles nach innen. Diese Str¨ omung wird auf der Nordhalbkugel durch die Corioliskraft nach rechts abgelenkt und es ergibt sich eine gegen den Uhrzeigersinn gerichtete Rotation.

7F¨ur eine ausf¨uhrlichere Darlegung siehe Halliday, Kap.16-10.

8Dies ist nur deshalb m¨oglich, weil es sich bei~ωum einen axialen Vektor handelt.

(10)

Schematische Darstellung der athmosph¨ rischen Zirkulation. Temperaturunterschiede f¨ uhren zu Fall- und Steigstr¨ omungen (rechts dargestellt), die wiederum Hoch- und Tiefdruckgebiete erzeu- gen. Die Corioliskraft bewirkt, dass rotierende Wirbel entstehen. Tiefdruckwirbel k¨ onnen durch bei der Kondensation der aufsteigenden Luftfeuchtigkeit freiwerdender Energie weiter angetrie- ben werden, sodass Wirbelst¨ urme entstehen. Referenz:

http://www.techniklexikon.net/d/atmosph¨arische zirkulation/atmosph¨arische zirkulation.htm

(11)

2 Eigenschaften des Kreisels

2.1 Tr¨ agheitstensor und Eulersche Kreisel-Gleichungen

Auf Grund der formalen ¨ Ahnlichkeit von Impuls- und Drehimpulssatz, also von d~ p

dt = F ~ und d~ L

◦

dt = ~ τ

◦

,

k¨ onnte man vermuten, dass der Beziehung ~ p = m~ v ein ¨ ahnlicher Zusammenhang zwischen L ~ und ~ ω bei der Rotation entspricht. Das ist aber im allgemeinen nicht der Fall. Die Beziehung L

◦z

= I

◦

ω gilt nur f¨ ur ebene Bewegungen.

⁹

Wird ein Punkt

◦

eines starren K¨ orpers festgehalten, dann nennt man die Bewegung um

◦

eine Kreiselung. Sie besitzt drei Rotationsfreiheitsgrade, die jedoch wesentlich komplizierter sind als drei reine Translationsfreiheitsgrade. Die Schwierigkeiten mehrerer Rotationsfreiheitsgrade haben folgende Gr¨ unde:

1. Es gibt keine Koordinaten, deren Ableitungen direkt Geschwindigkeiten darstellen, wie bei den Translationen. Drehungen sind Pseudovektoren (axiale Vektoren), deren Reihenfolge nicht wie bei polaren Vektoren vertauscht werden kann.

2. Die Tr¨ agheitsmomente h¨ angen von der Achsenwahl ab. ¨ Andert die Achse mit der Zeit die Richtung, so wird I = I (t), w¨ ahrend in Analogie f¨ ur Translationen die Masse m konstant ist.

3. F¨ ur Drehungen gilt im allgemeinen L ~

6=

I~ ω, da L ~ im allgemeinen nicht die Richtung von ~ ω hat. Das Tr¨ agheitsmoment muss daher durch einen Tensor

¹⁰ I

dargestellt werden, so dass gilt L ~ =

I~

ω.

Im Folgenden wird der Tr¨ agheitstensor rein buchhalterisch als Matrix eingef¨ uhrt

¹¹

, wobei die Rechenregeln in der Matrizendarstellung zwanglos einsichtig sind.

Ein Beispiel f¨ ur die Aussage L ~

6=

I~ ω ist die Hantel, deren Mitte mit einer vertikalen Achse verbunden ist, die mit ~ ω rotiert, und die nicht einer Symmetrieachse entspricht.

dL_o dϕ

m

m p₂

r₂ α

.

L_o

r^→₁=r^→ p^→₁=p^→

→

ω^→

→

Die Hantel ist um den Winkel α gegen diese Drehachse geneigt.

Der Drehimpuls L ~

◦

der Hantel bez¨ uglich

◦

ist L ~

◦

= ~ r

₁×

~ p

₁

+

~

r

2×

~ p

2

, was sich wegen

−~

r

2

= ~ r

1

=: ~ r und

−~

p

2

= ~ p

1

=: ~ p auch als L ~

◦

= 2(~ r

×

~ p) = 2m(~ r

×

~ v) schreiben l¨ asst. L ~

◦

dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ~ ω auf einem Kegelmantel um ~ ω mit dL

◦

/dt = L

◦

sin α dϕ/dt =

|~

ω

×

L ~

◦|;

L ~

◦

und ~ ω stehen also nicht parallel zueinander. Diese Bewegung ist nur m¨ oglich mit einem

¨ ausseren (z.B. durch Lagerkr¨ afte aufgebrachten) Drehmoment

~

τ

◦

:=

^d~^L◦_dt

= ~ ω

×

L ~

◦

; ohne Lagerkr¨ afte dreht die Hantel, bis L ~

◦ k

~ ω steht und ~ τ

◦

= 0 wird.

9Der Kringel im Index steht jeweils um anzugeben, dass die entsprechenden Gr¨ossen bez¨uglich eines raumfesten Bezugspunktes◦betrachtet werden.

10Tensoren sind physikalische Objekte, die durch ihr Transfomationsverhalten definiert sind. Beispielsweise sind Skalare Tensoren 0. Stufe; Vektoren sind Tensoren 1. Stufe. Tensoren 2. Stufe wie das Trägheitsmoment können im einmal gewählten Koordinatensystem durch einen×nMatrix dargestellt werden.

11Eine eingehendere Einf¨uhrung findet sich in den mathematischen Hilfsmitteln zur Physik I.

(12)

Wir wollen nun einen allgemeinen Zusammenhang zwischen L ~

◦

und ~ ω finden und dann mit Hilfe des Drehimpulssatzes Bewegungsgleichungen, die Eulerschen Kreiselgleichungen, aufstellen, die f¨ ur die Kreiselbewegung gelten, d.h. f¨ ur Bewegungen eines starren K¨ orpers, von dem ein Punkt fest gehalten wird.

Wenn bei einer Kreiselung ein Punkt des K¨ orpers im Raume fest bleibt, dann kann dieser Punkt

◦

als raum- (~ r

i

) und k¨ orperfester (´ ~ r

i

) Ursprung gew¨ ahlt werden. Es ist dann ~ r

i

= ´ ~ r

i

und die Zeitabh¨ angigkeit steckt im raumfesten System in den Komponenten von ~ r

_i

und im k¨ orperfesten System in den Basisvektoren

~i,^´~j,´~´k

von ´ ~ r

_i

. Es gilt nach der Definition des Drehimpulses f¨ ur einen Massenpunkt ~l

◦i

= m

_i

~ r

_i×

(~ ω

×

~ r

_i

) und damit f¨ ur n Massenpunkte

~ L

◦

=

n

X

i=1

~l

◦i

=

n

X

i=1

m

i

~ r

i×

(~ ω

×

~ r

i

) =

n

X

i=1

m

i

[r

²_i

~ ω

−

(~ r

i·

~ ω) ~ r

i

] (17) wobei im letzten Schritt wird die Vektoridentit¨ at

~a

×

( ~b

×

~ c) = (~a

·

~ c) ~b

−

(~a

·~b)

~ c (18) verwendet wurde.

F¨ ur einen ausgedehnten K¨ orper ergibt sich L ~

◦

=

Z

~

r

×~

v dm =

Z

~

r

×(~

ω

×~

r) dm =

Z

[r

²

~ ω

−

(~ r

·~

ω) ~ r ] dm =

Z

[r

²

~ ω

−(xω_x

+yω

y

+zω

z

) ~ r ] dm.

(19) Dabei h¨ angt ~ ω in der Summe nicht von i und im Integral nicht von der Massenverteilung ab.

Es besteht jetzt das mathematische Problem, wie man ~ ω aus der Summe herausziehen resp. vor das Integral stellen kann, um so die Beziehung L ~

◦

=

I◦

~ ω aufstellen und den Tr¨ agheitstensor

I◦

bestimmen zu k¨ onnen. Dazu berechnet man die drei Komponenten des Drehimpulses

¹²

L

◦x

= ω

_x

Z

(y

²

+ z

²

) dm

| {z }

I

xx

−ω_y Z

yx dm

| {z }

C

yx

−ω_z Z

zx dm

| {z }

C

zx

L

◦y

= ω

_y Z

(x

²

+ z

²

) dm

| {z }

I

yy

−ω_x Z

xy dm

| {z }

C

xy

−ω_z Z

yz dm

| {z }

C

yz

L

◦z

= ω

z

Z

(x

²

+ y

²

) dm

| {z }

I

zz

−ω_x Z

xz dm

| {z }

C

xz

−ω_y Z

yz dm

| {z }

C

yz

Die Tr¨ agheitsmomente I in den obigen Gleichungen sind in Analogie zum Tr¨ agheitsmoment der ebenen Bewegung definiert. Die ¨ ubrigen, nichtdiagonalen Terme C werden als Deviationsmomente bezeichnet. F¨ ur alle drei Komponenten erh¨ alt man so in einer buchhalterischen

:::::::::::::::::::::::::::

Anordnung

¹³

12Nat¨urlich erh¨alt man das gleiche Ergebnis, wenn man in Gl.(19) direkt das dreifache Vektorprodukt ausrechnet.

13Uberpr¨¨ ufe mittels Matrix-Vektor-Multiplikation (

”Multipliziere die einzelnen Zeilen-Terme der Matrix mit den Spalten-Termen des Vektors“).

(13)

L

◦x

=I

xx

ω

x−C_xy

ω

y−C_xz

ω

z

L

◦y

=I

_yy

ω

_y−C_yz

ω

_z−C_yx

ω

_x

L

◦z

=I

_zz

ω

_z−C_zx

ω

_x−C_zy

ω

_y

⇒

L ~

◦

=:

I

~ ω =





+I

xx −C_xy −C_xz

−C_yx

+I

_yy −C_yz

−C_zx −C_zy

+I

_zz









ω

x

ω

_y

ω

_z





, (20)

d.h. man kann den Tr¨ agheitstensor

I

als (3

×

3)-Matrix auffassen. In ausgeschriebener Form lautet er:

I

=





R

(y

²

+ z

²

) dm

−R

xy dm

−R

xz dm

−R

yx dm

R

(x

²

+ z

²

) dm

−R

yz dm

−R

zx dm

−R

zy dm

R

(x

²

+ y

²

) dm





. (21)

Jede Komponente des Drehimpulses ist eine lineare Funktion von allen Komponenten der Win- kelgeschwindigkeit ~ ω. Der Tr¨ agheitstensor

I

ist reell und symmetrisch (C

ij

= C

ji

), und l¨ asst sich daher

¹⁴

bez¨ uglich eines geeigneten Koordinatensystems ´ S in Diagonalform darstellen. Die Devia- tionsmomente C

_ij

verschwinden somit allesamt, ¨ ubrig bleiben nur noch die Tr¨ agheitsmomente I

ii

der zum Hauptachsensystem ´ S geh¨ origen Hauptachsen. Die Einheitsvektoren entlang dieser Hauptachsen bezeichnen wir mit ~ e

1

, ~ e

2

, ~ e

3

. Wir haben also (mit den Abk¨ urzungen: I

xx

=: I

1

, I

_yy

=: I

₂

, I

_zz

=: I

₃

) f¨ ur ein Hauptachsensystem:

I

´ =





I

1

0 0 0 I

₂

0 0 0 I

₃





und damit L ~

◦

= I

₁

ω

₁

~ e

₁

+ I

₂

ω

₂

~ e

₂

+ I

₃

ω

₃

~ e

₃

. (22) Oft fallen die Hauptachsen mit den (Dreh-)Symmetrieachsen eines K¨ orpers zusammen (Bsp.:

ein Quader und die Achsen des Kartesischen Koordinatensystems). ~ L

◦

ist auch im Hauptach- sensystem nicht parallel zu ~ ω, da (ausser f¨ ur eine homogene Kugel) I

₁ 6=

I

₂ 6=

I

₃

ist.

Beispiel:

• • •

Als einfaches Beispiel sei der Tr¨ agheitstensor eines zweiatomigen Molek¨ uls (H

2

, N

2

, O

2

) im k¨ orperfesten Hauptachsensystem berechnet:

u u

i=1 i=2

d d

- 6

3

1 2 r

11

=

−d,

r

12

= 0, r

13

= 0, r

_i²

= r

²_i1

+ r

²_i2

+ r

²_i3

r

₂₁

= +d, r

₂₂

= 0, r

₂₃

= 0,

I

=





P

m

_i

(r

_i²−

r

_i1

r

_i1

)

−P

m

_i

r

_i1

r

_i2 −P

m

_i

r

_i1

r

_i3

−P

m

i

r

i2

r

i1 P

m

i

(r

²_i −

r

i2

r

i2

)

P

m

i

r

_i²

r

_i³

−P

m

_i

r

_i3

r

_i1 −P

m

_i

r

_i3

r

_i2 P

m

_i

(r

²_i −

r

_i3

r

_i3

)





I

= 2m





0 0 0 0 d

²

0 0 0 d

²





und I

1

= 0, I

2

= 2md

²

, I

3

= 2md

²

.

14wie in der Linearen Algebra noch gezeigt werden wird

(14)

• • •

Bildet man mit Gl.(20), die f¨ ur ein raumfestes Koordinatensystem hergeleitet wurde, die Be- wegungsgleichung (Drallsatz) ~ τ

◦

=

^d~_dt^L◦

, dann sind die Komponenten des Tr¨ agheitstensors zeitabh¨ angig

I

=

I(t) und der Drehimpuls

L ~

◦

wird kompliziert – es treten jedoch im raumfesten System keine Scheinkr¨ afte auf. Im k¨ orperfesten und damit bewegten Hauptachsen-System ist der Tr¨ agheitstensor diagonal und der Drehimpuls ist einfach entsprechend Gl.(22); daf¨ ur m¨ ussen im rotierenden System Scheinkr¨ afte eingef¨ uhrt werden. (Das Hauptachsensystem dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ~ ω gegen¨ uber dem raumfesten System.) Es war die Idee von Euler

¹⁵

, die Vorteile beider Systeme zu kombinieren und die Nachteile zu unterdr¨ ucken.

Wir befinden uns also im k¨ orperfesten, rotierenden System, und nehmen die Hauptachsen, in dem der Tr¨ agheitstensor diagonal ist, als Bezugssytem. Das ist die entscheidende Annahme f¨ ur die Eulergleichungen. Damit m¨ ussen wir in diesem beschleunigten Bezugssystem Zentrifugal- kr¨ afte Z als Scheinkr¨ afte einf¨ uhren. Wir lassen im folgenden die Striche bei den Koordinaten weg, r, v und L sowie die Ableitung

_dt^d

sind also im rotierenden System gemeint.

Mit der bei gem¨ ass Gleichung (16) definierten Zentrifugalkraft wird

Z ~ =

−m(~

ω

×

(~ ω

×

~ r)) (23)

Diese Scheinkraft erzeugt ein zus¨ atzliches (scheinbares) Drehmoment τ

_Z

wof¨ ur wir nach einsetzen von Z , unter Verwendung der Identit¨ at (18) erhalten:

~

τ

_Z

= ~ r

×

Z ~ =

−~

ω

×

L ~ (24) wobei auch verwendet wurde, dass ~ v und ~ r senkrecht aufeinander stehen und ~ v = ~ ω

×

~ r.

Im rotierenden System gilt also mit einem ¨ ausseren, “wirklichen” Drehmoment ~ τ :

~ τ + τ ~

Z

= d~ L

dt (25)

oder umsortiert und eingesetzt:

~ τ = d~ L

dt + ~ ω

×

L ~ (26)

das ist der Drallsatz im k¨ orperfest rotierenden System. Man h¨ atte diese Beziehung auch direkt durch Anwendung der Transformationsvorschrift (7) f¨ ur die Ableitung des Vektors L ~ bekommen k¨ onnen.

Befinden wir uns ausserdem im Hauptachsensystem mit den orthonormierten Koordinaten i = 1, 2, 3 ist der Tr¨ agheitstensor diagonal und es gilt deshalb

L

_i

= I

_i

ω

_i

(27)

15Leonard Euler (1707-1783), in Basel geboren, der Vater war Pastor in Riehen, studierte in Basel Theologie und dann Mathematik und Physik. Er war ein Anhänger der Wellentheorie des Lichtes, sein klassisches Werk populärer Wissenschaft: “Lettres à une Princesse d’Allemagne”.

(15)

was wir koordinatenweise in den Drallsatz (26) einsetzen. Damit sind wir bei den gesuchten Eulerschen Gleichungen angelangt:

τ

₁

= I

₁

dω

1

dt

−

(I

₂−

I

₃

)ω

₂

ω

₃

τ

2

= I

2

dω

₂

dt

−

(I

3−

I

1

)ω

3

ω

1

τ

₃

= I

₃

dω

3

dt

−

(I

₁−

I

₂

)ω

₁

ω

₂

die

Eulerschen Gleichungen

im k¨ orperfesten

Hauptachsensystem [123]

(28)

Mit diesem R¨ ustzeug kehren wir zum Kreisel zur¨ uck.

2.2 Der kr¨ aftefreie rotationssymmetrische Kreisel

Man betrachtet einen rotationssymetrischen starren K¨ orper mit einem Fixpunkt. Rotationssym- metrie bedeutet in unserem Formalisums, dass zwei der drei Tr¨ agheitsmomente gleich sind, z.B.

I

1

= I

2

.

Auf einen kr¨ aftefreien Kreisel wirkt kein Drehmoment (~ τ

◦

= 0). Er kann im Schwerefeld realisiert werden, indem man ihn im Schwerpunkt aufh¨ angt (der raumfeste Punkt

◦

ist dann gleich dem Schwerpunkt S) oder eine kardanische Aufh¨ angung w¨ ahlt.

¹⁶

Bei Rotationssymmetrie ist im k¨ orpereigenen System I

1

= I

2

=: I und die 3-Achse ist die Figurenachse durch den Schwerpunkt.

1 2

3

S=o

Mit den Eulerschen Gleichungen und dL

_s

dt = τ

_s

= τ

◦

= 0 ist

0 = I dω

₁

dt

−

(I

−

I

3

)ω

2

ω

3 |¹_I_dt^d · · ·

0 = I dω

2

dt

−

(I

₃−

I )ω

₃

ω

₁

0 = I

3

dω

₃

dt

−

(I

−

I )ω

1

ω

2

= I

3

dω

₃

dt

⇒

ω

3

= konst.

Kombiniert man wie angedeutet die beiden ersten Glei- chungen, so erh¨ alt man

3 S

0 = d

²

ω

1

dt

² −

I

−

I

3

I dω

2

dt ω

3

= ¨ ω

1−

(I

−

I

3

)(I

3−

I)

I

·

I ω

1·

ω

²₃

=: ¨ ω

1

+ ω

1·

ω

_◦²

. (29) Dies ist eine Schwingungsgleichung mit der konstanten Frequenz

ω

◦

= (I

3−

I )

I ω

3

(30)

und den L¨ osungen

ω

1

= c

·

sin(ω

◦

t

−

δ) (31)

16Ein Diskus fliegt frei von Drehmomenten, da die SchwerkraftG~ am Schwerpunkt angreift.

(16)

. Analog ergibt sich aus der umgekehrten Kombination der beiden Gleichungen ω

₂

=

−c·cos(ω_◦

t−

δ).

Beispiel Erde: Die Rotationsachse f¨ uhrt eine Nutationsbewegung aus mit einer Amplitude auf der Oberfl¨ ache der Erde von etwa 6 m. Aus der bekannten Form und unter Annahme einer konstanten Dichte erh¨ alt man eine Period von T

_gerechnet

= 304 Tage. Der gemessene Wert betr¨ agt T

_gemessen

= 433 Tage.

Der Unterschied kommt unter anderem dadurch zustande, dass die Erde kein starrer K¨ orper ist, sondern einen fl¨ ussigen Kern hat und nat¨ urlich keine homogene Dichteverteilung besitzt.

Zus¨ atzlich zu dieser freien Nutation kommt noch eine erzwungene Schwingung dazu, die von den jahreszeitlichen Massenverschiebungen auf der Erdoberfl¨ ache (Schnee etc.) und von unre- gelm¨ assigen Ereignissen (z.B. Erdbeben) erzeugt werden. Die effektiv gemessene Nutationsam- plitude schwant deshalb zwischen 2m und 8m.

ω

ω1

ω₂ ω3

3

2

1 c

Figurenachse Gangpol-

kegel

korperfestes System

"

→

ω^→

→

Im k¨ orperfesten System ist ω

₁²

+ ω

₂²

= ω

_⊥²

=: c

²

. ω

₁

und ω

₂

sind die Komponenten eines Vektors ~ ω

⊥

, der in der senkrecht zur 3-Achse stehenden Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit ω

◦

rotiert. Da ~ ω = ~ ω

⊥

+ ω

₃

~ e

₃

gilt, ist auch

|~

ω| = konst. So- mit muss sich ~ ω auf einem Kegel, dem Gangpolkegel, um die Figurenachse

¹⁷

drehen. Ist ω

₁

= ω

₂

= 0 und damit

~

ω = ~ ω

₃

= konst, dann bleibt der Kreisel in der Figuren- achse stehen (ruhender Kreisel). Im raumfesten System ist der Drehimpuls L ~

_s

= konst. Man w¨ ahlt daher zweckm¨ assig die z-Achse

↑↑

~ L

_s

= I

₁

ω

₁

~ e

₁

+ I

₂

ω

₂

~ e

₂

+ I

₃

ω

₃

~ e

₃

(I hat im k¨ orperfesten Hauptachsensystem nur Diagonalelemen- te). Die 3-Komponente des Drehimpulses ist L

s3

= I

3

ω

3

= L

_s

cos ϑ = konst.

Man beobachtet folgende Bewegungen der einzelnen Axialvektoren:

raumfestes System z 3

Nutations- kegel

ϑ L_s

L_s₃

→

~

ω dreht auf dem Gangpolkegel um die Figurenachse 3 im k¨ orperfesten Hauptachsensystem. Die Figurenachse 3 dreht unter dem konstanten Winkel ϑ um die raumfeste z-Achse (Nutationskegel). Wie bewegt sich ~ ω in Bezug auf die raumfeste z-Achse?

Aus der Energiebetrachtung K

rot

=

¹₂

~ ω

I_s

~ ω =

¹₂

~ ω

·

~ L

s

=

¹₂

ω

z

L

z

= konst (siehe sp¨ ater, Gl.(36)) muss mit L

_z

= L

_s

= konst auch ω

z

= konst gelten. Damit l¨ auft ~ ω auf einem Kegel um die z-Achse (Rastpolkegel).

C C C CO

(I

3−

I)ω

3

~ e

3

I~ ω

~ L

_s

C C C CCO

Wir ¨ uberzeugen uns, dass dann alle drei Vektoren L ~

s

, ~ ω und ~ e

3

( ˆ = 3-Achse) in jedem Moment in einer Ebene liegen. Es ist ja ~ L

s

= I(ω

₁

~ e

₁

+ ω

₂

~ e

₂

) + I

₃

ω

₃

~ e

₃

= I~ ω

⊥

+ I

₃

ω

₃

~ e

₃

= I(~ ω

−

ω

₃

~ e

₃

) + I

₃

ω

₃

~ e

₃

= I~ ω + (I

3−

I )ω

3

~ e

3

. Der Summenvektor L ~

s

liegt also in der durch die Komponentenvektoren ~ ω und ~ e

3

aufgespannten Ebene.

17so die Bezeichnung für die Hauptachse mit dem grössten Trägheitsmoment

(17)

Nutationskegel z

Rastpolkegel

Gangpolkegel 3

prolater Kreisel I₁ = I₂ > I₃ L_s

→ ω^→

Da die relative Lage der drei Vektoren sich nicht ¨ andert, bleibt als einzig m¨ ogliche Bewegung die Drehung dieser Ebe- ne um die raumfeste L

_s

-Richtung ¨ ubrig. Da sich aber ~ ω schon um die Figurenachse dreht und sich beide um die L ~

s

- Achse drehen, haben wir folgendes Resultat f¨ ur die

Bewegung des symmetrischen Kreisels:

¹⁸

3

L_s

→

ω^→

Gangpolkegel Nutations-

kegel

Rastpolkegel

oblater Kreisel I₁= I₂ < I₃ z

a) ~ ω dreht sich um L

s

auf dem raumfesten Rastpolke- gel.

b) ~ ω dreht sich um die Figurenachse 3 auf dem k¨ orperfesten Gangpolkegel.

c) Beide Kegel rollen aufeinander ab, ~ ω bildet die ge- meinsame Mantellinie.

d) Die Figurenachse dreht sich um ~ L

_s

auf dem raumfesten Nutationskegel.

Je nach Anfangsbedingungen ist nat¨ urlich auch der Spe- zialfall m¨ oglich, dass die ~ ω-Drehachse und die Figuren- achse mit der Richtung des raumfesten Drehimpulses zu- sammenfallen.

2.3 Stabilit¨ at der Drehachse f¨ ur K¨ orper ohne Rotationssymmetrie

Die Stabilit¨ at eines Systems z.B. im Schwerefeld kann untersucht werden, indem man kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage untersucht und die resultierende Bewegungsgleichung n¨ aherungsweise aufstellt.

Die Bewegungsgleichung ist dann vom Typ

stabil indifferent l a b i l

¨

x + a

²

x

≈

0. Mit a

²

> 0 erh¨ alt man eine L¨ osung x(t)

≈

cos(at); x(t) bleibt endlich, ist also stabil.

Mit a

²

< 0 ist x(t)

≈

e

^at

und x(t)

→ ∞, die L¨

osung ist labil.

Allgemein ist f¨ ur eine kr¨ aftefreie Bewegung ~ τ

◦

= 0 und I

₁ 6=

I

₂ 6=

I

₃

im Hauptachsensystem.

Dreht sich der K¨ orper bei Stabilit¨ at praktisch nur um eine Hauptachse, dann ist ω

₁ ≈

ω

₂ ≈

0

18Die Figuren beschreiben einen prolaten Kreisel (I1 = I2 > I3), bei dem der Rastpolkegel ausserhalb auf dem Gangpolkegel l¨auft, und einen oblaten Kreisel (I1 =I2 < I3), bei dem der Rastpolkegel innerhalb des Gangpolkegels l¨auft.

(18)

und ω

₃ 6= 0 und die Eulerschen Gleichungen (Gl.(28)), wenn der quadratisch kleine Term

ω

₁

ω

₂

vernachl¨ assigt wird, sind

˙

ω

1−

I

2−

I

3

I

1

ω

2

ω

3

= 0, ω ˙

2−

I

3−

I

1

I

2

ω

3

ω

1

= 0, ω ˙

3−

I

1−

I

2

I

3

ω

1

ω

2

| {z }

≈

0 = 0

⇒

ω

3

= konst.

Durch Differenzieren der ersten beiden Gleichungen und Einsetzen erh¨ alt man f¨ ur ω

1

und ω

2

(analog zu S.15) die Schwingungsgleichungen

¨

ω

₁−

I

₂−

I

₃

I

₁

I

₃−

I

₁

I

₂

ω

²₃

| {z }

a

²

ω

₁

= 0 und ω ¨

₂−

I

₃−

I

₁

I

₂

I

₂−

I

₃

I

₁

ω

²₃

| {z }

a

²

ω

₂

= 0

ã

stabil f¨ ur a

²

> 0

⇒ ^I²_I^−I³

1

I3−I₁

I2

< 0, es muss dann I

3

das gr¨ osste oder das kleinste Tr¨ agheitsmoment um die Hauptachse 3 sein.

ã

instabil f¨ ur a

²

< 0

⇒

I

₁

< I

₃

< I

₂

f¨ uhrt ω

₁

exponentiell von einer zun¨ achst reinen Rotation um die Hauptachse 3 weg ins Torkeln.

Die Hauptachsen mit dem gr¨ossten und dem kleinsten Tr¨agheitsmoment sind stabile Drehachsen.

Anschauliche Betrachtung dieser Stabilit¨ atsbedingungen: Bei gleicher kinetischer Rotations- energie

¹₂

Iω

²

entspricht die Rotation um die Hauptachse mit dem maximalen (minimalen) Tr¨ agheitsmoment dem minimalen (maximalen) ω, d.h. ω kann bei erhaltener Energie der Rota- tion nicht mehr in beide Richtungen ver¨ andert werden.

Ein anderes Stabilit¨ atsbeispiel ist das Problem des Lassowerfers: Das Lasso klappt beim Drehen zu einem Stab zusammen, da das Tr¨ agheitsmoment f¨ ur den Stab mit der L¨ ange ` kleiner ist als f¨ ur einen Kreis mit dem Umfang 2` also I

Stab

=

₁₂¹

m`

²

< I

Kreis

=

_π¹2

m`

²

. Man muss deshalb beim Lassowerfen die Anfangsbedingungen besser w¨ ahlen und das Lasso steifer machen.

2.4 Symmetrischer Kreisel im Schwerefeld (Pr¨ azession)

z

6

c

α

~ r

sk

~ ω

k

L ~

◦

@

@@

@

@@

~ r

_s

?

G ~

Wir kehren zum symmetrischen Kreisel zur¨ uck. Der Kreisel sei jetzt aber nicht mehr im Schwerpunkt unterst¨ utzt, so dass das Gewicht ein Dreh- moment ~ τ

◦

= ~ r

_s×

G ~ aus¨ ubt und folglich L ~

◦

nicht mehr konstant ist. Die daraus resultierende Bewegung der Drehimpulsachse nennt man Pr¨ azession.

Zur Vereinfachung nehmen wir an, die Figurenachse, Drehachse und Dre- himpulsachse fallen zusammen und ~ r

_s

liege in der Figurenachse.

Es ist also L ~

◦k

~ ω

k

~ r

_s

.

(19)

Ferner sei ω

₃

sehr gross.

¹⁹

Dann sind wir nicht mehr auf die Euler-Gleichungen angewiesen, sondern k¨ onnen den

Drehimpulsatz ~ τ

◦

= ~ r

s×

G ~ = d~ L

◦

dt ben¨ utzen.

b -

? q

~ τ◦

~L◦

?

d~L◦

Da ~ τ

◦

senkrecht zu ~ L

◦

, aber parallel zu d~ L

◦

steht, muss d~ L

◦

senkrecht auf L ~

◦

stehen. Dieser Sachverhalt gilt f¨ ur jeden Augenblick, also muss sich die Spitze des ~ L

◦

-Vektors auf einem Kreis bewegen, ~ L

◦

selbst pr¨ azessiert auf einem Kegelmantel, dem Pr¨ azessionskegel, um die z-Achse. ~ L

◦

ist also ein Vektor, der im Relativsystem (Hauptachse) konstant ist und im Absolut- system nur seine Richtung, nicht aber seinen Betrag ¨ andert. Die Ableitung des Drehimpulses und somit das Drehmoment stehen deshalb senkrecht auf L ~

◦

, man kann somit schreiben (siehe auch Erg¨ anzungsbl¨ atter

” Relativbe- wegungen“, Gl.(5), S.3.):

L_o α

ω_p dL_o

→

~

τ

◦

= d~ L

◦

dt = ~ ω

p×

~ L

◦

.

ω

p

nennt man Pr¨ azessions-Kreisfrequenz. Der Drehimpulsvektor weicht also der angreifenden Kraft G ~ aus.

Da

|~

τ

◦|

=

d~ L

◦

dt

=

~ r

_s×

G ~

= r

_s

G sin α =

~ ω

_p×

L ~

◦

= ω

_p

L

◦

sin α gilt, folgt (32)

ω

p

= r

s

G L

◦

= r

s

M g ω

3

I

3

die Pr¨azessionsfrequenz des rasch rotierenden symmetrischen Kreisels

(unabh¨ angig von α). (33)

Infolge dieser Pr¨ azession hat der Kreisel einen kleinen Drehimpuls in der z-Richtung erhalten.

Falls jedoch ω

_p

ω

₃

ist, d.h. f¨ ur ω

₃²

r

s

M g

I

₃

, k¨ onnen wir diesen Drehimpuls vernachl¨ assigen und nur mit ~ L

◦

rechnen.

Eine genaue Rechnung mittels der Euler-Gleichungen zeigt, dass die Kreiselachse nicht eine ein- fache Pr¨ azession um die z-Achse ausf¨ uhrt, sondern dabei noch Schwankungen des Winkels α auf- treten (Nutation). Immerhin gibt es immer einen bestimmten Winkel α, bei dem die Pr¨ azession nutationsfrei ist. Insbesondere ist die senkrechte Lage α = 0 nutationsfrei, solange gilt

ω > ω

_krit

= 2 I

₃

p

M gr

s

I

1

.

schlafender Kreisel

(34)

19Der Grund f¨ur diese Annahme wird mit Gl.(33) klar.